Cho hệ phương trình \(\begin{cases}mx-y=4\\x+my=-2\end{cases}\) (m là tham số) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Tồn tại m để hệ phương trình đã cho vô nghiệm Hệ phương trình luôn có nghiệm và không có hệ thức nào giữa \(x,y\) độc lập đối với m. Hệ phương trình luôn có nghiệm và các nghiệm \(\left(x;y\right)\) của hệ luôn thỏa mãn phương trình \(x^2+y^2-2x-4y=0\) Hệ phương trình luôn có nghiệm và các nghiệm \(\left(x;y\right)\) của hệ luôn thỏa mãn phương trình \(x^2+y^2+2x+4y=0\) Hướng dẫn giải: Hệ đã cho có định thức \(D=m^2+4>0,\forall m\) nên hệ luôn có nghiệm. Hơn nữa, tính m từ mỗi phương trình của hệ ta được \(\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{y+4}{x}\\m=\dfrac{-2-x}{y}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{y+4}{x}=\dfrac{-2-x}{y}\Rightarrow y^2+4y=-x^2-2x\) \(\Rightarrow x^2+2x+y^2+4y=0\). Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm và các nghiệm \(\left(x;y\right)\) của hệ luôn thỏa mãn \(x^2+y^2+2x+4y=0\)
Giải hệ phương trình \(\begin{cases}x+3\left|y\right|=1\\x+y=-3\end{cases}\) \(\left(x=5;y=-2\right)\) và \(\left(x=5-;y=2\right)\) \(\left(x=2;y=1\right)\)và \(\left(x=-2;y=1\right)\) \(\left(x=-5;y=2\right)\) và \(\left(x=-2;y=-1\right)\) \(\left(x=-5;y=-2\right)\) và \(\left(x=-2;y=-1\right)\) Hướng dẫn giải: Phương trình thứ hai của hệ tương đương với \(x=-y-3\) (*). Thế vào phương trình thứ nhất ta được \(-y-3+3\left|y\right|=1\Leftrightarrow3\left|y\right|=y+4\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\ge-4\\3y=\pm\left(y+4\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow y=2;y=-1\). Thế trở lại (*) ta được hai nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(\left(x=-5;y=2\right)\) và \(\left(x=-2;y=-1\right)\). Vậy các nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(\left(x=-5;y=2\right)\) và \(\left(x=-2;y=-1\right)\).
Giải hệ phương trình \(\begin{cases}\left|x-1\right|+y=0\\2x-y=5\end{cases}\) \(x=-3;y=2\) \(x=2;y=-1\) \(x=4;y=-3\) \(x=-4;y=3\) Hướng dẫn giải: Từ phương trình thứ hai của hệ ta được \(y=2x-5\) (*). Thế vào phương trình thứ nhất ta được \(\left|x-1\right|=-2x+5\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x+5\ge0\\x-1=\pm\left(-2x+5\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{5}{2}\\x=2;x=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=2\), thế trở lại (*) ta được \(y=-1\). Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(x=2;y=-1\).
Giải hệ phương trình \(\begin{cases}\left|x-1\right|+\left|y-2\right|=1\\\left|x-1\right|+y=3\end{cases}\) \(x=2;y=2\) \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2\le y\le3\\x=4-y\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2\le y\le3\\x=-2+y\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(x=4;y=-1\) \(x=0;y=2\) Hướng dẫn giải: \(\begin{cases}\left|x-1\right|+\left|y-2\right|=1\\\left|x-1\right|+y=3\end{cases}\) Khử x ta được \(\left|y-2\right|-y=-2\Leftrightarrow\left|y-2\right|=y-2\Leftrightarrow y-2\ge0\)\(\Leftrightarrow y\ge2\) và hệ đã cho trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}y\ge2\\\left|x-1\right|+\left(y-2\right)=1\\\left|x-1\right|+y=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\ge2\\\left|x-1\right|=3-y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\ge2\\3-y\ge0\\x-1=\pm\left(3-y\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\le y\le3\\x=1\pm3\mp y\end{matrix}\right.\) Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm , các nghiệm là\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2\le y\le3\\x=4-y\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2\le y\le3\\x=-2+y\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) Chú ý: Các em học sinh có thể dễ kiểm tra được rằng \(\left(x=4;y=-1\right)\) không thỏa mãn hệ đã cho nên cũng không phải là nghiệm của hệ đã cho, do đó khẳng định "các nghiệm của hệ là \(\left(x=4;y=-1\right)\)" là khẳng định sai. Lại cũng dễ thử và thấy cả \(\left(x=2;y=2\right)\) lẫn \(\left(x=0;y=2\right)\) đều thỏa mãn hệ, do đó cả hai kết luận "nghiệm của hệ là \(\left(x=2;y=2\right)\)" và " nghiệm của hệ là \(\left(x=0;y=2\right)\) " đều là khẳng định sai (vì thiếu nghiệm). Vì vậy chắc chắn khẳng định "nghiệm của hệ là \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2\le y\le3\\x=4-y\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2\le y\le3\\x=-2+y\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) " phải là đáp án đúng.
Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình \(\begin{cases}2x-y=2-a\\x+2y=a+1\end{cases}\) có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)\) sao cho \(x^2+y^2\) đạt giá trị nhỏ nhất. \(a=1\) \(a=-1\) \(a=\frac{1}{2}\) \(a=-\frac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: Bằng một trong các phương pháp: thế; cộng đại số; sử dụng định thức các em có thể thấy hệ luôn có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{5-a}{5}\); \(y=\dfrac{3a}{5}\). Như vậy \(x^2+y^2=\left(\dfrac{5-a}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3a}{5}\right)^2=\dfrac{1}{25}\left(10a^2-10a+25\right)\) \(=\dfrac{1}{250}\left(10a-5\right)^2+\dfrac{225}{250}\ge\dfrac{9}{10}\). Giá trị nhỏ nhất đạt được khi \(a=\dfrac{1}{2}\) . Đáp số: \(a=\dfrac{1}{2}\).
Giải hệ phương trình : \(\begin{cases}\left|x\right|+2\left|y\right|=3\\7x+5y=2\end{cases}\) . \(\left(1;1\right)\) và \(\left(\frac{11}{9};-\frac{23}{9}\right)\) \(\left(-1;-1\right)\) và \(\left(\frac{11}{9};\frac{23}{9}\right)\) \(\left(1;-1\right)\) và \(\left(-\frac{11}{9};\frac{23}{9}\right)\) \(\left(-1;1\right)\) và \(\left(\frac{11}{9};\frac{23}{9}\right)\) Hướng dẫn giải: Phương trình thứ hai tương đương với \(y=\dfrac{2-7x}{5}\) (*). Thế (*) vào phương trình đầu ta được phương trình \(\left|x\right|+2\left|\dfrac{2-7x}{5}\right|=3\Leftrightarrow5\left|x\right|+2\left|2-7x\right|=15\) (**) Nếu \(x\le0\) thì (**) \(\Leftrightarrow-5x+2\left(2-7x\right)=15\Leftrightarrow x=-\dfrac{11}{19}\) (thỏa mãn điều kiện \(x\le0\)). Thế trở lại (*) ta được \(y=\dfrac{23}{19}\). Nghiệm thứ nhất của hệ là \(\left(x=-\dfrac{11}{19};y=\dfrac{23}{19}\right)\). Nếu \(0< x< \dfrac{2}{7}\) thì (**) \(\Leftrightarrow5x+2\left(2-7x\right)=15\Leftrightarrow x=-\dfrac{11}{9}\)(không thỏa mãn điều kiện \(0< x< \dfrac{2}{7}\)). Nếu \(x\ge\dfrac{2}{7}\) thì (**) \(\Leftrightarrow5x-2\left(2-7x\right)=15\Leftrightarrow x=1\)(thỏa mãn điều kiện \(x\ge\dfrac{2}{7}\)). Thế trở lại (*) ta được \(y=-1\) và \(\left(x=1;y=-1\right)\) là một nghiệm nữa của hệ. Đáp số: \(\left(x=-\dfrac{11}{19};y=\dfrac{23}{19}\right)\) và \(\left(x=1;y=-1\right)\).
Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình \(\begin{cases}mx+y=3\\x+my=2m+1\end{cases}\) có nghiệm nguyên ( x, y đều là những số nguyên) \(m=0;m=-2;m=1\) \(m=-1;m=2;m=3\) \(m=0;m=2;m=-1\) \(m=1;m=-3;m=4\) Hướng dẫn giải: Hệ đã cho có các định thức \(D=m^2-1;D_x=m-1;D_y=2m^2+m-3\). Nếu \(m=1\) thì hệ đã cho là \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\x+y=3\end{matrix}\right.\), hệ có vô số nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=3-t\end{matrix}\right.\) \(\left(t\in R\right)\), trong đó cũng có vô số nghiệm nguyên (ứng với các t nguyên). Nếu \(m=-1\) thì hệ đã cho là \(\left\{{}\begin{matrix}-x+y=3\\x-y=-1\end{matrix}\right.\) , hệ vô nghiệm. Nếu \(m\ne\pm1\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{m-1}{m^2-1}=\dfrac{1}{m+1};y=\dfrac{D_y}{D}=\dfrac{2m^2+m-3}{m^2-1}=\dfrac{2m+3}{m+1}=2+\dfrac{1}{m+1}\). Hệ sẽ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi \(m+1\) là ước số nguyên của 1, tức là \(m+1=\pm1\Leftrightarrow m=0;m=-2\). Đáp số: \(m=0;m=1;m=-2\).
Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình \(\begin{cases}mx-\left(m+1\right)y=3m\\x-2my=m+2\\x+2y=4\end{cases}\) có nghiệm. \(m=\frac{5}{2}\) \(m=-1\) \(m=\frac{2}{5}\) \(m=-\dfrac{2}{5};m=1\) Hướng dẫn giải: Hệ đã cho sẽ có nghiệm khi và chỉ khi hệ hai phương trình cuối có nghiệm thỏa mãn phương trình đầu tiên của hệ. Hệ hai phương trình cuối có các định thức \(D=1.2-1.\left(-2m\right)=2+2m\) , \(D_x=\left(m+2\right).2-4.\left(-2m\right)=10m+4\); \(D_y=1.4-1.\left(m+2\right)=2-m\). Nếu \(m=-1\) thì \(D=0,D_x=-6\ne0\) nên hệ vô nghiệm. Nếu \(m\ne-1\) thì \(D\ne0\), hệ có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{10m+4}{2+2m},y=\dfrac{D_y}{D}=\dfrac{2-m}{2+2m}\). Nghiệm này thỏa mãn phương trình đầu tiên của hệ khi \(m.\dfrac{10m+4}{2+2m}-\left(m+1\right).\dfrac{2-m}{2+2m}=3m\) \(\Leftrightarrow m\left(10m+4\right)-\left(m+1\right)\left(2-m\right)=3m\left(2+2m\right)\) \(\Leftrightarrow5m^2-3m-2=0\Leftrightarrow m=1;m=-\dfrac{2}{5}\). Đáp số: \(m=1;m=-\dfrac{2}{5}\)
Giải hệ phương trình \(\begin{cases}x+2y-x=7\\2x-y+z=2\\3x-5y+2z=-7\end{cases}\) . \(x=3;y=1;z=2\) \(x=2;y=3;z=1\) \(x=-3;y=-1;z=-2\) \(x=-2;y=-3;z=-1\) Hướng dẫn giải: Sử dụng máy tính cầm tay ta tìm được ngay đáp số là \(\left(x=2;y=3;z=1\right)\)
Hệ phương trình \(\begin{cases}2x+3y-z=6\\x-y+7z=8\\3x-y+2z=7\end{cases}\) có nghiệm là : \(x=2;y=1;z=1\) \(x=1;y=2;z=2\) \(x=-2;y=-1;z=-1\) \(x=-1;y=-2;z=-2\) Hướng dẫn giải: Sử dụng máy tính cầm tay ta tìm được ngay đáp số là \(\left(x=2;y=1;z=1\right)\)
