ĐẠO HÀM CẤP HAI- Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm \(f'\left(x\right)\) là một hàm số, thì đạo hàm cao cấp của hàm số \(f'\left(x\right)\) được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left(x\right)\) kí hiệu là \(f''\left(x\right)\) - Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm cấp (n-1) là \(f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\) thì đạo hàm cấp một của hàm số \(f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\) là đạo hàm cấp (n) của hàm số \(f\left(x\right)\). Ký hiệu là \(f^n\left(x\right)\)
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=\frac{5x^2-3x-20}{x^2-2x-3}\) . \(\frac{2\left(7x^3+15x^2-93x+77\right)}{\left(x^2-2x-3\right)^3}\) \(\frac{2\left(7x^3-15x^2+93x-77\right)}{\left(x^2-2x-3\right)^3}\) \(\frac{2\left(7x^3+15x^2+93x-77\right)}{\left(x^2-2x-3\right)^3}\) \(\frac{2\left(7x^3-15x^2-93x+77\right)}{\left(x^2-2x-3\right)^3}\) Hướng dẫn giải: - Viết lại hàm số đã cho dưới dạng chính tắc: \(y=\dfrac{5x^2-3x-20}{x^2-2x-3}=\dfrac{5\left(x^2-2x-3\right)+7x-5}{x^2-2x-3}=5+\dfrac{7x-5}{x^2-2x-3}=5+\dfrac{4\left(x+1\right)+3\left(x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\) \(y=5+4\left(x-3\right)^{-1}+3\left(x+1\right)^{-1}\) \(y'=-4\left(x-3\right)^{-2}-3\left(x+1\right)^{-2}\) \(y"=8\left(x-3\right)^{-3}+6\left(x+1\right)^{-3}=2\left(\dfrac{4}{\left(x-3\right)^3}+\dfrac{3}{\left(x+1\right)^3}\right)\) \(y"=\dfrac{2\left[4\left(x+1\right)^3+3\left(x-3\right)^3\right]}{\left(x-3\right)^3\left(x+1\right)^3}=\dfrac{2\left(7x^3-15x^2+93x-77\right)}{\left(x^2-2x-3\right)^2}\) Đáp số: \(y"=\dfrac{2\left(7x^3-15x^2+93x-77\right)}{\left(x^2-2x-3\right)^2}\)
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=\tan x\) . \(y"=-\dfrac{2\sin x}{\cos^3x}\) \(y"=\dfrac{2\sin x}{\cos^3x}\) \(y"=-\dfrac{\sin x}{\cos^3x}\) \(y"=\dfrac{\sin x}{\cos^3x}\) Hướng dẫn giải: \(y=\tan x\Rightarrow y'=\dfrac{1}{\cos^2x}\Rightarrow y"=-\dfrac{\left(\cos^2x\right)'}{\cos^4x}=-\dfrac{2\cos x.\left(-\sin x\right)}{\cos^4x}=\dfrac{2\sin x}{\cos^3x}\)
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=\dfrac{1}{1-x}\) . \(y"=\dfrac{2}{\left(1-x\right)^3}\) \(y"=\dfrac{-2}{\left(1-x\right)^3}\) \(y"=\dfrac{1}{\left(1-x\right)^3}\) \(y"=\dfrac{-1}{\left(1-x\right)^3}\) Hướng dẫn giải: \(y=\dfrac{1}{1-x}\Rightarrow y'=-\dfrac{-1}{\left(1-x\right)^2}=\left(1-x\right)^{-2}\)\(\Rightarrow y"=-2.\left(-1\right).\left(x-1\right)^{-3}=\dfrac{2}{\left(1-x\right)^3}\)
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=x\cos x-\sin x\) \(y"=\sin x-x\cos x\) \(y"=-\sin x-x\cos x\) \(y"=\cos x-x\sin x\) \(y"=-\sin x+x\cos x\) Hướng dẫn giải: \(y=x\cos x-\sin x\Rightarrow y'=\cos x+x.\left(-\sin x\right)-\cos x=-x\sin x\) . Do đó \(y"=-\sin x-x.\cos x\)
Cho hàm số \(y=\sin x\). Tính \(y.y"-y'.\cos x\) . \(\sin^2x-\cos^2x\) 1 -1 \(-2\cos^2x\) Hướng dẫn giải: \(y=\sin x\Rightarrow y'=\cos x\Rightarrow y"=-\sin x\). Do đó \(y.y"-y'.\cos x=\sin x.\left(-\sin x\right)-\cos x.\cos x=-1\).
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=2x^2-\dfrac{4}{x}+10\) trên R\{0} ? \(y"=40x^3-\dfrac{4}{x^3}\) \(y"=40x^3+\dfrac{4}{x^3}\) \(y"=40x^3-\dfrac{8}{x^3}\) \(y"=40x^3+\dfrac{8}{x^3}\) Hướng dẫn giải: \(y=2x^2-\dfrac{4}{x}+10=2x^2-4x^{-1}+10,y'=4x+4x^{-2},y"=4-8x^{-3}=4-\dfrac{8}{x^3}\).