Các công thức tìm đạo hàm của hàm hợp lượng giác \(\left(\sin x\right)'=\cos x\) \(\left(\sin u\right)'=u'.\cos u\) \(\left[\left(\sin u\right)^n\right]'=n.\sin^{n-1}u.\left(\sin u\right)'=n.\sin^{n-1}u.u'.\cos u\) -------------- \(\left(\cos x\right)'=-\sin x\) \(\left(\cos u\right)'=-u'.\sin u\) \(\left[\left(\cos u\right)^n\right]'=n.\cos^{n-1}.\left(-u'.\sin u\right)\) -------------- \(\left(\tan x\right)'=\frac{1}{\cos^2x}\) \(\left(\tan u\right)'=\frac{u'}{\cos^2u}\) \(\left[\left(\tan u\right)^n\right]'=n\left(\tan u\right)^{n-1}.\left(\frac{u'}{\cos^2u}\right)\) -------------- \(\left(\cot x\right)'=-\frac{1}{\sin^2x}\) \(\left(\cot u\right)'=-\frac{u'}{\sin^2u}\) \(\left(\cot^nu\right)'=n.\cot^{n-1}u.\left(\cot u\right)'=n.\cot^{n-1}u.\frac{-u'}{\sin^2u}\) -------------- Chú ý: $(u^n)'=n.u^{n-1}.u'$
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{\cos x}{2\sin^2x}\) . \(\frac{1+\sin^2x}{2\sin^3x}\) \(\frac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}\) \(-\left(\frac{1+\sin^2x}{2\sin^3x}\right)\) \(-\left(\frac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}\right)\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\cos x\) thì \(y=\dfrac{t}{-2t^2+2}\), do đó \(y'=\left(\dfrac{t}{-2t^2+2}\right)'.t'=\dfrac{2t^2+2}{\left(-2t^2+2\right)^2}.\left(-\sin x\right)=\dfrac{-\left(2\cos^2x+2\right)}{4\sin^3x}=-\left(\dfrac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}\right)\) Đáp số: \(-\left(\dfrac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}\right)\)
Tính y' biết \(y=\frac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}\) . \(\dfrac{x^2}{\left(cosx+xsinx\right)^2}\) \(\frac{-x^2.\cos2x}{\left(\cos x+x\sin x\right)^2}\) \(\frac{2x^2.\sin^2x}{\left(\cos x+x\sin x\right)^2}\) \(\frac{x^2.\sin2x}{\left(\cos x+x\sin x\right)^2}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(u=\sin x-x\cos x,v=\cos x+x\sin x\) thì \(y=\dfrac{u}{v},y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) Ta có \(u'=\cos x-\left(\cos x-x\sin x\right)=x\sin x\) và \(v'=-\sin x+\sin x+x\cos x=x\cos x\) Từ đó \(\left\{{}\begin{matrix}u'v=x\sin x\left(\cos x+x\sin x\right)\\uv'=\left(\sin x-x\cos x\right)x\cos x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow u'v-uv'=x^2\left(\sin^2x+\cos^2x\right)=x^2\) Do đó \(y'=\dfrac{x^2}{\left(cosx+xsinx\right)^2}\)
Tính đạo hàm hàm số \(y=\sin\left(\cos^2x\right).\cos\left(\sin^2x\right)\). \(-\cos\left(\cos2x\right).\sin2x\) \(\cos\left(\cos2x\right).\sin2x\) \(\cos\left(\sin2x\right).\cos2x\) \(-\cos\left(\sin2x\right).\cos2x\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức biến tích thành tổng, ta có \(y=\dfrac{1}{2}\left(\sin\left(\cos^2x-\sin^2x\right)+\sin\left(\cos^2x+\sin^2x\right)\right)=\dfrac{1}{2}\left(\sin\cos2x+\sin1\right)\) Do đó \(y'=\dfrac{1}{2}\left(\sin\cos2x\right)'=\dfrac{1}{2}\cos\cos2x.\left(\cos2x\right)'=-\cos\cos2x.\sin2x\) Đáp số: \(-\cos\cos2x.\sin2x\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{\cos^2x}{1+\sin^2x}\) Tính giá trị biểu thức \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)-3f'\left(\frac{\pi}{4}\right)\). \(-3\) \(\frac{8}{3}\) \(3\) \(-\frac{8}{3}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(f\left(x\right)=\dfrac{\cos^2x}{1+\sin^2x}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\cos^2x}+\tan^2x}=\dfrac{1}{2\tan^2x+1}\). Đặt \(u=2\tan^2x+1\) thì \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{u},f'\left(x\right)=-\dfrac{u'}{u^2}\) . Tính \(u'\): \(u'=4\tan x\left(\tan x\right)'=4\tan x\left(1+\tan^2x\right)\). Vì vậy \(f'\left(x\right)=-\dfrac{4\tan x\left(1+\tan^2x\right)}{\left(2\tan^2x+1\right)^2}\). Khi \(x=\dfrac{\pi}{4}\) thì \(\tan x=1\) nên \(f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-3f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2+1}-3\left(-\dfrac{4.1\left(1+1\right)}{\left(2+1\right)^2}\right)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{3}=3\) Đáp số: 3
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{-\cos x}{3\sin^3x}+\dfrac{4}{3}\cot x\) Tính \(f'\left(\frac{\pi}{3}\right)\) . \(\frac{9}{8}\) \(\frac{8}{9}\) \(-\frac{9}{8}\) \(-\frac{8}{9}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\cot x\) thì \(\dfrac{\cos x}{\sin^3x}=\cot x.\dfrac{1}{\sin^2x}=t\left(1+t^2\right)=t+t^3\) nên \(f\left(x\right)=-\dfrac{1}{3}\left(t+t^3\right)+\dfrac{4}{3}t=t-\dfrac{1}{3}t^3\) \(f'\left(x\right)=\left(t-\dfrac{1}{3}t^3\right)'.t'=\left(1-t^2\right).\dfrac{-1}{\sin^2x}=-\left(1-t^2\right)\left(1+t^2\right)=t^4-1=\cot^4x-1\) Khi \(x=\dfrac{\pi}{3}\) thì \(\cot x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) nên \(f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{9}-1=-\dfrac{8}{9}\) Đáp số: \(-\dfrac{8}{9}\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\sin^35x.\cos^2\dfrac{x}{3}\). Tính \(f'\left(\frac{\pi}{2}\right)\). \(-\frac{\sqrt{3}}{6}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{4}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: - Đặt \(u=\sin^35x,v=\cos^2\dfrac{x}{3}\) thì \(f\left(x\right)=uv,f'\left(x\right)=u'v+uv'\) - Tính \(u'\) và \(u'v\): \(u'=3\sin^25x.5\cos5x=15\sin^25x\cos5x\) và \(u'v=15\sin^25x\cos5x\cos^2\dfrac{x}{3}\). - Tính \(v'\) và \(uv'\) : \(v'=2\cos\dfrac{x}{3}.-\dfrac{1}{3}\sin\dfrac{x}{3}=-\dfrac{1}{3}\sin\dfrac{2x}{3}\) và \(uv'=-\dfrac{1}{3}.\sin^35x.\sin\dfrac{2x}{3}\) - Do đó \(f'\left(x\right)=15\sin^25x\cos5x\cos^2\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3}\sin^35x\sin\dfrac{2x}{3}\) . Khi \(x=\dfrac{\pi}{2}\) thì \(5x=\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi\) , \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{2x}{3}=\dfrac{\pi}{3}\) nên \(\sin5x=1,\cos5x=0,\cos\dfrac{x}{3}=\sin2x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) Do đó \(f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\) Đáp số: \(-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
Cho hàm số \(y=x.e^{-x}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng ? \(\left(1-x\right)y'=x.y\) \(x.y'=\left(1+x\right)y\) \(x.y'=\left(1-x\right)y\) \(\left(1+x\right)y'=\left(x-1\right)y\) Hướng dẫn giải: - Viết lại bốn khẳng định đã nêu dưới dạng sau: (1) \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{x}{1-x}\) ; (2) \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1+x}{x}\) ; (3) \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1-x}{x}\) ; (4) \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{x-1}{1+x}\) - Từ giả thiết \(y=x.e^{-x}\) suy ra \(\ln y=\ln x-x\). Lấy đạo hàm theo x hai vế ta được \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}\). - Vậy khẳng định đúng ứng với (3), tức là \(xy'=\left(1-x\right)y\). Đáp số \(xy'=\left(1-x\right)y\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\left[\frac{1-x^2}{2}\sin x-\frac{\left(1+x\right)^2}{2}\cos x\right]e^{-x}\). \(x^2\cos x.e^{-x}\) \(x\sin x.e^{-x}\) \(x^2\sin x.e^{-x}\) \(x\cos x.e^{-x}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(u=\dfrac{1-x^2}{2}\sin x-\dfrac{\left(1+x\right)^2}{2}\cos x\) và \(v=e^{-x}\) thì \(y=uv,y'=u'v+uv'\). Tính \(u'\): \(u'=\left(-x\sin x+\dfrac{1-x^2}{2}\cos x\right)-\left(\left(1+x\right)\cos x-\dfrac{\left(1+x\right)^2\sin x}{2}\right)\) \(=\left(-x+\dfrac{\left(1+x\right)^2}{2}\right)\sin x+\left(\dfrac{1-x^2}{2}-\left(1+x\right)\right)\cos x\) \(=\dfrac{x^2+1}{2}\sin x-\dfrac{x^2+2x+1}{2}\cos x=\dfrac{x^2+1}{2}\sin x-\dfrac{\left(1+x\right)^2}{2}\cos x\) Tính \(v'\): \(v'=-e^{-x}\) Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}u'v=\left(\dfrac{x^2+1}{2}\sin x-\dfrac{\left(1+x\right)^2}{2}\cos x\right)e^{-x}\\uv'=-\left(\dfrac{1-x^2}{2}\sin x-\dfrac{\left(1+x\right)^2}{2}\cos x\right)e^{-x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y'=u'v+uv'=\left(\dfrac{x^2+1}{2}-\dfrac{1-x^2}{2}\right)\sin x.e^{-x}=x^2\sin xe^{-x}\) Đáp số: \(x^2\sin x.e^{-x}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=e^{ax}.\frac{a.\sin bx-b.\cos bx}{\sqrt{a^2+b^2}}\). \(\sqrt{a^2+b^2}.e^{ax}.\sin bx\) \(\sqrt{a^2+b^2}.e^{ax}.\cos bx\) \(\frac{e^{ax}.\sin bx}{\sqrt{a^2+b^2}}\) \(\frac{e^{ax}.\cos bx}{\sqrt{a^2+b^2}}\) Hướng dẫn giải: - Đặt \(u=e^{ax},v=a\sin bx-b\cos bx\) thì \(y=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}.u.v\) nên \(y'=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\left(u'v+uv'\right)\) . - Ta có \(u'=\left(e^{ax}\right)'=a.e^{ax}\) và \(v'=\left(a\sin bx-b\cos bx\right)'=ab\cos bx+b^2\sin bx\) \(u'v+uv'=a.e^{ax}\left(a\sin bx-b\cos bx\right)+e^{ax}\left(ab\cos bx+b^2\sin bx\right)=\left(a^2+b^2\right)e^{ax}\sin bx\) Suy ra \(y'=\sqrt{a^2+b^2}e^{ax}\sin bx\) Đáp số: \(\sqrt{a^2+b^2}e^{ax}\sin bx\)