Tổng hợp bài tập trắc nghiệm bài tập chuyên đề Đạo hàm của hàm số lượng giác

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Các công thức tìm đạo hàm của hàm hợp lượng giác
    \(\left(\sin x\right)'=\cos x\)
    \(\left(\sin u\right)'=u'.\cos u\)
    \(\left[\left(\sin u\right)^n\right]'=n.\sin^{n-1}u.\left(\sin u\right)'=n.\sin^{n-1}u.u'.\cos u\)
    --------------
    \(\left(\cos x\right)'=-\sin x\)
    \(\left(\cos u\right)'=-u'.\sin u\)
    \(\left[\left(\cos u\right)^n\right]'=n.\cos^{n-1}.\left(-u'.\sin u\right)\)
    --------------
    \(\left(\tan x\right)'=\frac{1}{\cos^2x}\)
    \(\left(\tan u\right)'=\frac{u'}{\cos^2u}\)
    \(\left[\left(\tan u\right)^n\right]'=n\left(\tan u\right)^{n-1}.\left(\frac{u'}{\cos^2u}\right)\)
    --------------
    \(\left(\cot x\right)'=-\frac{1}{\sin^2x}\)
    \(\left(\cot u\right)'=-\frac{u'}{\sin^2u}\)
    \(\left(\cot^nu\right)'=n.\cot^{n-1}u.\left(\cot u\right)'=n.\cot^{n-1}u.\frac{-u'}{\sin^2u}\)
    --------------
    Chú ý: $(u^n)'=n.u^{n-1}.u'$
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{\cos x}{2\sin^2x}\) .
    • \(\frac{1+\sin^2x}{2\sin^3x}\)
    • \(\frac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}\)
    • \(-\left(\frac{1+\sin^2x}{2\sin^3x}\right)\)
    • \(-\left(\frac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    Đặt \(t=\cos x\) thì \(y=\dfrac{t}{-2t^2+2}\), do đó \(y'=\left(\dfrac{t}{-2t^2+2}\right)'.t'=\dfrac{2t^2+2}{\left(-2t^2+2\right)^2}.\left(-\sin x\right)=\dfrac{-\left(2\cos^2x+2\right)}{4\sin^3x}=-\left(\dfrac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}\right)\)
    Đáp số: \(-\left(\dfrac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}\right)\)
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tính y' biết \(y=\frac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}\) .
    • \(\dfrac{x^2}{\left(cosx+xsinx\right)^2}\)
    • \(\frac{-x^2.\cos2x}{\left(\cos x+x\sin x\right)^2}\)
    • \(\frac{2x^2.\sin^2x}{\left(\cos x+x\sin x\right)^2}\)
    • \(\frac{x^2.\sin2x}{\left(\cos x+x\sin x\right)^2}\)
    Hướng dẫn giải:

    Đặt \(u=\sin x-x\cos x,v=\cos x+x\sin x\) thì \(y=\dfrac{u}{v},y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)
    Ta có \(u'=\cos x-\left(\cos x-x\sin x\right)=x\sin x\) và
    \(v'=-\sin x+\sin x+x\cos x=x\cos x\)
    Từ đó \(\left\{{}\begin{matrix}u'v=x\sin x\left(\cos x+x\sin x\right)\\uv'=\left(\sin x-x\cos x\right)x\cos x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow u'v-uv'=x^2\left(\sin^2x+\cos^2x\right)=x^2\)
    Do đó \(y'=\dfrac{x^2}{\left(cosx+xsinx\right)^2}\)
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tính đạo hàm hàm số \(y=\sin\left(\cos^2x\right).\cos\left(\sin^2x\right)\).
    • \(-\cos\left(\cos2x\right).\sin2x\)
    • \(\cos\left(\cos2x\right).\sin2x\)
    • \(\cos\left(\sin2x\right).\cos2x\)
    • \(-\cos\left(\sin2x\right).\cos2x\)
    Hướng dẫn giải:

    Áp dụng công thức biến tích thành tổng, ta có \(y=\dfrac{1}{2}\left(\sin\left(\cos^2x-\sin^2x\right)+\sin\left(\cos^2x+\sin^2x\right)\right)=\dfrac{1}{2}\left(\sin\cos2x+\sin1\right)\)
    Do đó \(y'=\dfrac{1}{2}\left(\sin\cos2x\right)'=\dfrac{1}{2}\cos\cos2x.\left(\cos2x\right)'=-\cos\cos2x.\sin2x\)
    Đáp số: \(-\cos\cos2x.\sin2x\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{\cos^2x}{1+\sin^2x}\)
    Tính giá trị biểu thức \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)-3f'\left(\frac{\pi}{4}\right)\).
    • \(-3\)
    • \(\frac{8}{3}\)
    • \(3\)
    • \(-\frac{8}{3}\)
    Hướng dẫn giải:

    Ta có \(f\left(x\right)=\dfrac{\cos^2x}{1+\sin^2x}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\cos^2x}+\tan^2x}=\dfrac{1}{2\tan^2x+1}\). Đặt \(u=2\tan^2x+1\) thì \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{u},f'\left(x\right)=-\dfrac{u'}{u^2}\) .
    Tính \(u'\): \(u'=4\tan x\left(\tan x\right)'=4\tan x\left(1+\tan^2x\right)\). Vì vậy \(f'\left(x\right)=-\dfrac{4\tan x\left(1+\tan^2x\right)}{\left(2\tan^2x+1\right)^2}\).
    Khi \(x=\dfrac{\pi}{4}\) thì \(\tan x=1\) nên \(f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-3f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2+1}-3\left(-\dfrac{4.1\left(1+1\right)}{\left(2+1\right)^2}\right)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{3}=3\)
    Đáp số: 3
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{-\cos x}{3\sin^3x}+\dfrac{4}{3}\cot x\)
    Tính \(f'\left(\frac{\pi}{3}\right)\) .
    • \(\frac{9}{8}\)
    • \(\frac{8}{9}\)
    • \(-\frac{9}{8}\)
    • \(-\frac{8}{9}\)
    Hướng dẫn giải:

    Đặt \(t=\cot x\) thì \(\dfrac{\cos x}{\sin^3x}=\cot x.\dfrac{1}{\sin^2x}=t\left(1+t^2\right)=t+t^3\) nên \(f\left(x\right)=-\dfrac{1}{3}\left(t+t^3\right)+\dfrac{4}{3}t=t-\dfrac{1}{3}t^3\)
    \(f'\left(x\right)=\left(t-\dfrac{1}{3}t^3\right)'.t'=\left(1-t^2\right).\dfrac{-1}{\sin^2x}=-\left(1-t^2\right)\left(1+t^2\right)=t^4-1=\cot^4x-1\)
    Khi \(x=\dfrac{\pi}{3}\) thì \(\cot x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) nên \(f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{9}-1=-\dfrac{8}{9}\)
    Đáp số: \(-\dfrac{8}{9}\)
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(f\left(x\right)=\sin^35x.\cos^2\dfrac{x}{3}\).
    Tính \(f'\left(\frac{\pi}{2}\right)\).
    • \(-\frac{\sqrt{3}}{6}\)
    • \(-\frac{\sqrt{3}}{4}\)
    • \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)
    • \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
    Hướng dẫn giải:

    - Đặt \(u=\sin^35x,v=\cos^2\dfrac{x}{3}\) thì \(f\left(x\right)=uv,f'\left(x\right)=u'v+uv'\)
    - Tính \(u'\) và \(u'v\): \(u'=3\sin^25x.5\cos5x=15\sin^25x\cos5x\) và \(u'v=15\sin^25x\cos5x\cos^2\dfrac{x}{3}\).
    - Tính \(v'\) và \(uv'\) : \(v'=2\cos\dfrac{x}{3}.-\dfrac{1}{3}\sin\dfrac{x}{3}=-\dfrac{1}{3}\sin\dfrac{2x}{3}\) và \(uv'=-\dfrac{1}{3}.\sin^35x.\sin\dfrac{2x}{3}\)
    - Do đó \(f'\left(x\right)=15\sin^25x\cos5x\cos^2\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3}\sin^35x\sin\dfrac{2x}{3}\) .
    Khi \(x=\dfrac{\pi}{2}\) thì \(5x=\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi\) , \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{2x}{3}=\dfrac{\pi}{3}\) nên \(\sin5x=1,\cos5x=0,\cos\dfrac{x}{3}=\sin2x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
    Do đó \(f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
    Đáp số: \(-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(y=x.e^{-x}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng ?
    • \(\left(1-x\right)y'=x.y\)
    • \(x.y'=\left(1+x\right)y\)
    • \(x.y'=\left(1-x\right)y\)
    • \(\left(1+x\right)y'=\left(x-1\right)y\)
    Hướng dẫn giải:

    - Viết lại bốn khẳng định đã nêu dưới dạng sau:
    (1) \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{x}{1-x}\) ; (2) \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1+x}{x}\) ; (3) \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1-x}{x}\) ; (4) \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{x-1}{1+x}\)
    - Từ giả thiết \(y=x.e^{-x}\) suy ra \(\ln y=\ln x-x\). Lấy đạo hàm theo x hai vế ta được \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}\).
    - Vậy khẳng định đúng ứng với (3), tức là \(xy'=\left(1-x\right)y\).
    Đáp số \(xy'=\left(1-x\right)y\)
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tính đạo hàm của hàm số \(y=\left[\frac{1-x^2}{2}\sin x-\frac{\left(1+x\right)^2}{2}\cos x\right]e^{-x}\).
    • \(x^2\cos x.e^{-x}\)
    • \(x\sin x.e^{-x}\)
    • \(x^2\sin x.e^{-x}\)
    • \(x\cos x.e^{-x}\)
    Hướng dẫn giải:

    Đặt \(u=\dfrac{1-x^2}{2}\sin x-\dfrac{\left(1+x\right)^2}{2}\cos x\) và \(v=e^{-x}\) thì \(y=uv,y'=u'v+uv'\).
    Tính \(u'\): \(u'=\left(-x\sin x+\dfrac{1-x^2}{2}\cos x\right)-\left(\left(1+x\right)\cos x-\dfrac{\left(1+x\right)^2\sin x}{2}\right)\)
    \(=\left(-x+\dfrac{\left(1+x\right)^2}{2}\right)\sin x+\left(\dfrac{1-x^2}{2}-\left(1+x\right)\right)\cos x\)
    \(=\dfrac{x^2+1}{2}\sin x-\dfrac{x^2+2x+1}{2}\cos x=\dfrac{x^2+1}{2}\sin x-\dfrac{\left(1+x\right)^2}{2}\cos x\)
    Tính \(v'\): \(v'=-e^{-x}\)
    Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}u'v=\left(\dfrac{x^2+1}{2}\sin x-\dfrac{\left(1+x\right)^2}{2}\cos x\right)e^{-x}\\uv'=-\left(\dfrac{1-x^2}{2}\sin x-\dfrac{\left(1+x\right)^2}{2}\cos x\right)e^{-x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y'=u'v+uv'=\left(\dfrac{x^2+1}{2}-\dfrac{1-x^2}{2}\right)\sin x.e^{-x}=x^2\sin xe^{-x}\)
    Đáp số: \(x^2\sin x.e^{-x}\)
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tính đạo hàm của hàm số \(y=e^{ax}.\frac{a.\sin bx-b.\cos bx}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
    • \(\sqrt{a^2+b^2}.e^{ax}.\sin bx\)
    • \(\sqrt{a^2+b^2}.e^{ax}.\cos bx\)
    • \(\frac{e^{ax}.\sin bx}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
    • \(\frac{e^{ax}.\cos bx}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
    Hướng dẫn giải:

    - Đặt \(u=e^{ax},v=a\sin bx-b\cos bx\) thì \(y=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}.u.v\) nên \(y'=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\left(u'v+uv'\right)\) .
    - Ta có \(u'=\left(e^{ax}\right)'=a.e^{ax}\) và \(v'=\left(a\sin bx-b\cos bx\right)'=ab\cos bx+b^2\sin bx\)
    \(u'v+uv'=a.e^{ax}\left(a\sin bx-b\cos bx\right)+e^{ax}\left(ab\cos bx+b^2\sin bx\right)=\left(a^2+b^2\right)e^{ax}\sin bx\)
    Suy ra \(y'=\sqrt{a^2+b^2}e^{ax}\sin bx\)
    Đáp số: \(\sqrt{a^2+b^2}e^{ax}\sin bx\)