1. Định nghĩa vi phân: Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\), xác định trên khoảng \(\left(a;b\right)\) và có đạo hàm tại điểm \(x_0\in\left(a;b\right)\). Cho số gia \(\Delta x\) tại \(x\) sao cho \(x+\Delta x\in\left(a,b\right)\) Gọi tích \(f'\left(x\right)\Delta x\) là vi phẩn của hàm số \(y=f\left(x\right)\) tại x ứng với số gia \(\Delta x\) và ký hiệu \(dy\) hoặc \(df\left(x\right)\) Ta có : \(dy=y'\Delta x=f'\left(x\right)\Delta x\) hoặc : \(dy=y'\Delta x=f'\left(x\right)dx\) 2. Ứng dụng vi phân tính gần đúng Theo định nghĩa đạo hàm ta có : \(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\) Do đó với \(\left|\Delta x\right|\)| đủ nhỏ thì : \(f'\left(x_0\right)\approx\frac{\Delta x}{\Delta y}\Leftrightarrow f\left(x_0+\Delta x\right)\approx f\left(x_0\right)+f'\left(x_0\right).\Delta x\)
Tính vi phân của hàm số \(y=x^3+2x\) ? \(dy=3x^2+2\) \(dx=\left(3x^2+2\right)dy\) \(dy=\left(x^2+2x\right)dx\) \(dy=\left(3x^2+2\right)dx\) Hướng dẫn giải: Dùng công thức \(dy=y'dx\).
Tìm vi phân của hàm số \(y=x\sqrt{x}+1\) . \(dy=\sqrt{x}dx\) \(dy=\dfrac{1}{2}\sqrt{x}dx\) \(dy=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}dx\) \(dy=-\sqrt{x}dx\) Hướng dẫn giải: \(y=x^{\dfrac{3}{2}}+1\Rightarrow y'=\dfrac{3}{2}x^{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3\sqrt{x}}{2}\). Do đó \(dy=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}dx\).
Tìm vi phân của hàm số \(y=\dfrac{\sqrt{x}}{m+n}\), (m, n là hằng số) : \(dy=\sqrt{x}dx\) \(dy=\dfrac{1}{m+n}\sqrt{x}dx\) \(dy=\dfrac{1}{2\left(m+n\right)}\sqrt{x}dx\) \(dy=\dfrac{1}{2\left(m+n\right)\sqrt{x}}dx\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức định nghĩa \(dy=y'.dx\)
Tìm vi phân của hàm số \(y=\sqrt{\sin2x+3}\) ? \(dy=\dfrac{1}{2\sqrt{\sin2x+3}}dx\) \(dy=\dfrac{\cos2x}{2\sqrt{\sin2x+3}}dx\) \(dy=\dfrac{\cos2x}{\sqrt{\sin2x+3}}dx\) \(dy=\dfrac{-\cos2x}{\sqrt{\sin2x+3}}dx\) Hướng dẫn giải: Ta có \(y'=\dfrac{\left(\sqrt{\sin2x+3}\right)'}{2\sqrt{\sin2x+3}}=\dfrac{\cos2x}{\sqrt{\sin2x+3}}\) nên \(dy=\dfrac{\cos2x}{\sqrt{\sin2x+3}}dx\).
Tìm vi phân của hàm số \(y=\dfrac{x}{x-1}\) ? \(dy=\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}dx\) \(dy=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}dx\) \(dy=\dfrac{2}{\left(x-1\right)^2}dx\) \(dy=\dfrac{-1}{x-1}dx\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức vi phân \(dy=y'dx\)
