Tổng hợp bài tập trắc nghiệm chuyên đề đường thăng và mặt phẳng trong không gian

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    1. Mặt phẳng:

    Mặt phẳng là một đối tượng của toán học. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.
    - Để biểu diễn tả mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn.
    - Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc "( )".

    2. Điểm thuộc mặt phẳng:


    Cho điểm A và mặt phẳng (a)
    - Điểm A thuộc mặt phẳng (a) ta nói A nằm trên (a) hay (a) chứa A hoặc (a) đi qua A. Kí hiệu : \(A\in\left(a\right)\)
    - Điểm A không thuộc mặt phẳng (a) ta nói A nằm ngoài (a) hay (a) không chứa A hoặc (a) không đi qua A. Kí hiệu: \(A\notin\left(a\right)\)

    3. Hình biểu diễn của một hình không gian:


    Để nghiên cứu hình học không gian người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng, lên giấy. Ta gọi hình vẽ đó là hình biểu diễn của một hình không gian. Hình biểu diễn được vẽ dựa vào các quy tắc:
    - Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn là đoạn thẳng;
    - Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau;
    - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa các điểm và đường thẳng;

    4. Các tính chất


    Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
    Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
    Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
    Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
    Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng.
    Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.
    Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.
    Đường thẳng chung của hai mặt phẳng phân biệt (a) và (\(\beta\)) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (\(\beta\)) và kí hiệu là:
    d = (a) \(\cap\) (\(\beta\))
    Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

    5. Cách xác định một mặt phẳng


    * Có ba cách xác định mặt phẳng:
    a) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C kí hiệu là: mp(ABC) hoặc (ABC)
    b) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó. Cho đường thẳng d và điểm A không nằm trên d, khi đó ta xác định được mặt phẳng, kí hiệu là: mp(A, d) hay (A, d)
    c) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau. Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Khi đó hai đường thẳng a và b xác định một mặt phẳng và kí hiệu là : mp(a, b) hay (a, b), hoặc mp(b, a) hay (b, a).

    6. Hình chóp và hình tứ diện


    - Trong mặt phẳng (a) cho đa giác lồi \(A_1A_2....A_n\) . Lấy điểm S nằm ngoài (a). Lần lượt nối S với các đỉnh \(A_1A_2....A_n\) ta được n tam giác \(S_{A_1A_2},S_{A_2A_3},...\) Hình gồm đa giác \(A_1A_2...A_n\) và n tam giác \(S_{A_1A_2},S_{A_2A_3},...\) gọi là hình chóp, kí hiệu là \(S_{A_1A_2...A_n}\). Ta gọi S là đỉnh và đa giác \(A_1A_2....A_n\) là mặt đáy. Các tam giác \(S_{A_1A_2},S_{A_2A_3},...\)
    được gọi là các mặt bên; các đoạn \(S_{A_1},S_{A_2},....S_{A_n}\)là các cạnh bên; các cạnh của đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…
    - Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD. Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện. Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCDgọi là các mặt của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
    Tứ diện đều : Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

    7. Hai đường chéo nhau và hai đường thẳng song song
    * Vị trí tương đối của hai đường thẳng

    Trường hợp 1:Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng, có ba khả năng xảy ra:
    a) a và b có điểm chung duy nhất M. Ta nói a và b cắt nhau tại M và kí hiệu là \(a\cap b\) = {M}. Ta có thể viết \(a\cap b\) = M.
    b) a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau và kí hiệu là a // b.
    c) a trùng b, kí hiệu là \(a\equiv b\)

    Như vậy, hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

    Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b.

    * Tính chất :
    Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

    * Lưu ý: Hai đường thẳng song song a và b xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp(a, b) hay (a, b)

    Định lí 2: (về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

    Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó.

    Định lí 3 : Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
    Khi hai đường thẳng a và b cùng song song với đường thẳng c ta kí hiệu a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.

    8. Đường thẳng và mặt phẳng song song
    01.png
    - a và (P) có nhiều hơn một điểm chung: a ⊂ (P) Hình a
    - a và (P) có một điểm chung duy nhất: a cắt (P) hay a ∩ (P) = A (hình b)
    - a và (P) không có điểm chung: a // (P) (hình c)
    Lý thuyết Tính chất đường thẳng và mặt phẳng song song
    - Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P)
    - Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt (P) theo giao tuyến song song với a (hình 2) ( Đây là tính chất quan trọng dùng để xác định giao tuyến hai mặt phẳng và để tìm thết dện của hình chóp)
    - Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuến của chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó
    - Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b
    02.png

    9. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
    a. Phép chiếu song song

    Cho mặt phẳng (a) và đường thẳng cắt (a). Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng vớiD sẽ cắt (a) tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng (a) theo phương của đường thẳngD hoặc nói gọn là theo phương D. Mặt phẳng(a) gọi là mặt phẳng chiếu. Phương D gọi là phương chiếu.

    Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên mặt phẳng (a) được gọi là phép chiếu song song lên (a) theo phương D.

    Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp H’ các hình chiếu M’ của tất cả những điểm M thuộc H được gọi là hình chiếu của H qua phép chiếu song song nói trên.

    Chú ý: Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Sau đây ta chỉ xét các hình chiếu của những đường thẳng có phương không trùng với phương chiếu.

    b. Các tính chất của phép chiếu song song
    Định lí 1:
    • Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
    • Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
    • Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
    • Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
    c. Biểu diễn hình không gian trên mặt phẳng
    • Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
    • Hình biểu diễn của các hình thường gặp: Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu.Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn.
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng:
    • Qua ba điểm không thẳng hàng có vô số mặt phẳng.
    • Qua hai điểm có một và chỉ một mặt phẳng.
    • Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có vô số điểm chung.
    • Trong không gian, một đường thẳng và một mặt phẳng có tối đa một điểm chung.
    Hướng dẫn giải:

    Hai mặt phẳng trùng nhau có vô số điểm chung. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điêmt chung thì còn có một điểm chung khác, do đó hai mặt phẳng phân biệt cod một điểm chumh thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy (Tính chất 5, trang 47 SGK).
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Để biểu diễn một hình trong không gian, quy tắc nào sau đây không đúng:
    • Hai đường thẳng song song biểu diễn bằng hai đường thẳng song song hoặc trùng.
    • Hai đoạn thẳng bằng nhau được biểu diễn bằng hai đường thẳng bằng nhau.
    • Đường trông thấy được biểu diễn bằng nét vẽ liền, đường bị khuất được biểu diễn bằng nét đứt đoạn.
    • Giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Một mặt phẳng được xác định nếu biết những yếu tố nào dưới đây?
    • Bốn điểm không thẳng hàng.
    • Một điểm và một đường thẳng.
    • Hai đường thẳng.
    • Ba điểm không thẳng hàng.
    Hướng dẫn giải:

    Bốn điểm không thẳng hàng chưa chắc đã thuộc cùng một mặt phẳng.
    Điểm thuộc đường thẳng thì có vô số mặt phẳng qua chúng.
    Hai đường thẳng trùng nhau thì có vô số mặt phẳng qua chúng.
    Qua ba điểm không thẳng hàng, có duy nhất một mặt phẳng.
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyếnd.Trong (P) cho đường thẳng a, trong (Q) cho đường thẳngb.Giả sử a∩b = M,a∩d = N,b∩d = K. Phát biểu nào sau đây là đúng:
    • Ba điểm M, N, K thẳng hàng.
    • Ba điểm M, N, K trùng nhau.
    • Ba điểm M, N, K lập thành tam giác cân.
    • Ba điểm M, N, K lập thành tam giác vuông.
    Hướng dẫn giải:

    01.png
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong không gian cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C không nằm trong (P). Gọi M, N, K lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AB, AC, BC với mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là đúng.
    • Ba điểm M, N, K thẳng hàng.
    • Ba điểm M, N, K trùng nhau.
    • Ba điểm M, N, K là ba đỉnh một tam giác cân.
    • Ba điểm M, N, K là ba đỉnh của một tam giác vuông.
    Hướng dẫn giải:

    M, N, K thẳng hàng ( cùng thuộc giao tuyến của mp(P) và mp(MNK)).
    01.png
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪