PHÉP BIẾN HÌNH, PHÉP TÍNH TIẾN TRONG MẶT PHẲNGI. Phép biến hình Định nghĩa: Phép biến hình là một qui tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó. Kí hiệu: Phép biến hình kí hiệu là F. Điểm M có ảnh là M' qua phép biến hình F, kí hiệu M'=F(M). Nếu H là một hình thì qua phép biến hình ta được hình H', khi đó H' = F(H). Ví dụ: Cho đường thẳng d, phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d là một phép biến hình, vì với mỗi điểm M ta luôn xác định duy nhất điểm M' là hình chiếu vuông góc của M lên d (xem hình vẽ). Phản ví dụ: Cho trước một số dương a, với mõi điểm M trong mặt phẳng, gọi M' là điểm sao cho MM' = a. Qui tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M' nêu trên không phải là phép biến hình vì với mỗi điểm M có vô số điểm M' thỏa mãn MM' = a, như vậy điểm M' không phải xác định duy nhất! II. Phép tịnh tiến 1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ \(\overrightarrow{v}\left(a;b\right)\) . Phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{v}\left(a;b\right)\) là phép biến hình , biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\) Ký hiệu : \(T_{\overrightarrow{v}}\) Ta dễ dàng nhận thấy phép tịnh tiến là một phép biến hình. 2.Các tính chất của phép tịnh tiến : a/ Tính chất 1: Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’. b/ Tính chất 2: Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó . Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó . 3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến - Giả sử cho \(\overrightarrow{v}\left(a;b\right)\) và một điểm M(x;y) . Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là : \(\begin{cases}x'=a+x\\y'=b+y\end{cases}\) III. Phép đối xứng trục 1. Định nghĩa: * Cho đường thẳng d . Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó . Biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’ , được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d ( hay là phép đối xứng trục ) . Đường thẳng d gọi là trục đối xứng 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox . Với mỗi điểm M(x;y) , gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục thì : \(\begin{cases}x'=x\\y'=-y\end{cases}\) ( Đó chính là biểu thức tọa độ ) 3. Tính chất a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ . b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính . 4. Trục đối xứng một hình Định nghĩa : Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình H thành chính nó . Ví dụ: Hình thang cân có đối xứng trục là đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh đáy. IV. Phép đối xứng tâm 1) Định nghĩa: Cho một điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm khác I thành M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng tâm I. Kí hiệu phép đối xứng tâm I là \(Đ_I\), và \(M'=Đ_I\left(M\right)\). Nếu điểm M' là ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm I thì \(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IM'}=\overrightarrow{0}\). 2) Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I(a ; b) . Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thì : \(\begin{cases}x'=2a-x\\y'=2b-y\end{cases}\) ( Đây chính là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm ) . Thật vậy, vì \(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IM'}=\overrightarrow{0}\) nên \(\left(x-a;y-b\right)+\left(x'-a;y'-b\right)=\left(0;0\right)\) \(\left(x+x'-2a;y+y'-2b\right)=\left(0;0\right)\) Từ đó suy ra x' ; y' 3) Tâm đối xứng của một hình: Là điểm I sao cho phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó Ví dụ: Hình bình hành có tâm đối xứng là giao của hai đường chéo. V. Phép quay 1) Định nghĩa Cho điểm I và góc lượng giác \(\alpha\). Phép biến hình biến I thành chính nó, biễn mỗi điểm M khác I thành điểm M' sao cho IM' = IM và góc lượng giác (IM;IM') bằng \(\alpha\) được gọi là phép quay tâm I góc \(\alpha\). Kí hiệu: Phép quay tâm I góc \(\alpha\) được kí hiệu là: \(Q_{\left(I,\alpha\right)}\) Các trường hợp đặc biệt: - \(Q_{\left(I,2k\pi\right)}\) là phép đồng nhất (biến mọi điểm thành chính nó) - \(Q_{\left(I,\left(2k+1\right)\pi\right)}\) là phép đối xứng tâm I. 2) Biểu thức tọa độ của phép quay Giả sử I(a ; b) và góc quay \(Q_{\left(I,\alpha\right)}\). Khi đó \(Q_{\left(I,\alpha\right)}\) biến điểm M(x ; y) thành điểm M'(x' ; y') , với x' và y' tính theo công thức sau: \(\begin{cases}x'=\left(x-a\right)\cos\alpha-\left(y-b\right)\sin\alpha+a\\y'=\left(x-a\right)\sin\alpha+\left(y-b\right)\cos\alpha+b\end{cases}\) 3) Tính chất - Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm - Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. VI. Phép dời hình và hai hình bằng nhau 1. Phép dời hình a) Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Nghĩa là với hai điểm M, N tùy ý và ảnh M', N' tương ứng của chúng, ta luôn có M'N'=MN Nhận xét: - Các phép đồng nhất (biến mỗi điểm thành chính nó), phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm và phép quan đều là các phép dời hình - Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp các phép dời hình cũng là một phép dời hình b) Tính chất các phép dời hình Phép dời hình: - Biến ba điểm thằng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy - Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn bằng nó - Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó - Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính - Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường trọn nội tiếp, ngoại tiếp.. của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường trọng nội tiếp, ngoại tiếp... của tam giác A'B'C'. 2. Hai hình bằng nhau Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. VII. Phép vị tự 1. Định nghĩa Cho điểm O và một số \(k\ne0\). Phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M’ sao cho \(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\) được gọi là phép vị tự tâm , tỉ số vị tự là k . Ký hiệu : \(V_{\left(O,K\right)}:M\rightarrow M'\), hay : \(M':V_{\left(O;K\right)}\left(M\right)\Leftrightarrow M=V_{\left(O;\frac{1}{K}\right)}\left(M'\right)\) 2. Tính chất - Tính chất 1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì : \(\overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}\) - Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k: a/ Biến ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm ấy b/ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng âý , biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng. c/ Biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó, biến một góc thành một góc bằng nó. d/ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính . 3. Tâm vị tự của hai đường tròn a. Định lý : Với hai đường tròn bất kỳ luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia và ngược lại .Tâm của phép vị tự gọi là tâm vị tự của hai đường tròn b. Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn. * Trường hợp : I trùng với I’ . Khi đó phép vị tự tâm I tỉ số R'/R và phép vị tự tâm I tỉ số -R’/R biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I;R’) . * Trường hợp : \(I\ne I';R\ne R'\) Trên (O;R) lấy một diểm M bất kỳ , trên (O’;R’) lấy điểm M’ sao cho IM//I’M’ và I’M’’//IM . Hai đường thẳng MM’ và MM’’ cắt đường thẳng nối hai tâm II’ tại hai điểm O và O’ . Khi đó O nằm ngoài II’ gọi là tâm vị tự ngoài , còn O’ nằm trong đoạn II’ gọi là tâm vị tự trong. · Trường hợp I khác I’ và R=R’ . Khi đó MM’//II’ nên chỉ có phép vị tự tâm O’ với k=-1 . Đó chính là phép đối xứng. VIII. Phép đồng dạng 1. Phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng tỉ số k, (k>0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N'tương ứng của chúng, ta luôn có M'N' = kMN 2. a) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1 b) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k| 3. Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk 4. Phép đồng dạng tỉ số k là hợp thành của một phép dời hình và một phép vị tự tỉ số k. Nó cũng là hợp thành của một phép vị tự tỉ số k và một phép dời hình 5. Phép đồng dạng tỉ số k có các tính chất: a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữ các điểm ấy b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng có độ dài bằng a thành đoạn thẳng có độ dài bằng ka c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k, biến góc thành góc bằng nó d) Biến đường tròn bán kình R thành đường tròn bán kính k R6. Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia Tải xuống 0 6. Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia
Cho vectơ \(\overrightarrow{v}\ne\overrightarrow{0}\) và phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{v}}\). Điểm M có ảnh là M' qua phép biến hình \(T_{\overrightarrow{v}}\). Hỏi phép biến hình nào sau đây biến điểm M' thành điểm M? \(T_{\overrightarrow{v}}\) \(T_{-\overrightarrow{v}}\) \(T_{\frac{1}{2}\overrightarrow{v}}\) \(T_{-\frac{1}{2}\overrightarrow{v}}\) Hướng dẫn giải: Hai phép biến hình \(T_{\overrightarrow{v}}\) và \(T_{-\overrightarrow{v}}\) là ngược của nhau. Cách khác: Giả sử \(T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=M'\) và \(T_{\overrightarrow{u}}\left(M'\right)=M\) . Như vậy \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\) và \(\overrightarrow{M'M}=\overrightarrow{u}\), do đó \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{M'M}=\overrightarrow{0}\) Do đó \(\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{v}\).
Cho vectơ \(\overrightarrow{v}=\left(-1;2\right)\) và điểm \(M\left(-1;-2\right)\). Hãy xác định tọa độ M' là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v}\)? Chọn đáp án đúng nhất: \(M'\left(-1;0\right)\) \(M'\left(0;0\right)\) \(M'\left(-2;0\right)\) \(M'\left(-2;-4\right)\) Hướng dẫn giải: Điểm M'(x'; y') là ảnh của M(x ; y) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v}\left(x_{\overrightarrow{v}};y_{\overrightarrow{v}}\right)\) như sau: \(\begin{cases}x'=x+x_{\overrightarrow{v}}\\y'=y+y_{\overrightarrow{v}}\end{cases}\) Vậy điểm M'(x' ; y') có tọa độ là: \(\begin{cases}x'=-1+\left(-1\right)=-2\\y'=-2+2=0\end{cases}\)
Cho \(\overrightarrow{v}=\left(1;3\right)\) và điểm \(B\left(-2;4\right)\). Hãy tìm tọa độ điểm A sao cho \(T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=B\) ? Chọn đáp án đúng nhất: \(A\left(-1;7\right)\) \(A\left(3;-1\right)\) \(A\left(3;1\right)\) \(A\left(-3;1\right)\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(\begin{cases}x_B=x_A+x_{\overrightarrow{v}}\\y_B=y_A+y_{\overrightarrow{v}}\end{cases}\) Suy ra: \(\begin{cases}-2=x_A+1\\4=y_A+3\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}x_A=-2-1=-3\\y_A=4-3=1\end{cases}\) => A(-3 ; 1)
Cho A(1 ; 2), B(3 ; 6) và ảnh của chúng qua phép tịnh tiến là A' và B'. Hãy xác định tọa độ trung điểm của A'B' biết tọa độ A'(10 ; -5). Chọn đáp án đúng nhất: \(\left(11;-3\right)\) \(\left(2;4\right)\) \(\left(12;-1\right)\) \(\left(9;-7\right)\) Hướng dẫn giải: Vectơ của phép tịnh tiến là: \(\overrightarrow{AA'}=\left(10-1;-5-2\right)=\left(9;-7\right)\). Điểm B' là ảnh của B qua phép tịnh tiến, vậy B' có tọa độ là: \(\left(3+9;6-7\right)=\left(12;-1\right)\) Trung điểm của A'B' có tọa độ là: \(\left(\frac{x_{A'}+x_{B'}}{2};\frac{y_{A'}+y_{B'}}{2}\right)=\left(\frac{10+12}{2};\frac{-5-1}{2}\right)=\left(11;-3\right)\)
Cho đường thẳng d trong mặt phẳng có phương trình: x - 2y + 3 = 0 và vectơ \(\overrightarrow{v}=\left(-1;2\right)\). Tìm phương trình đường thẳng d' là ảnh của d quan phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v}\) . \(x-2y+7=0\) \(x-2y+8=0\) \(x-2y-2=0\) \(x-2y=0\) Hướng dẫn giải: Ta lấy điểm A(-3;0). Khi đó \(T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=A'\left(-4;2\right)\), trong các đáp án ta thấy ngay A' thuộc đường thẳng d': x - 2y + 8 = 0. Vậy ảnh của d là x - 2y + 8 = 0. Kiểm tra tính đúng đắn bằng cách giải: Lấy \(M\left(x_M;y_M\right)\)thuộc đường thẳng d. Khi đó ta có: \(x_M-2y_M+3=0\) (d) Điểm M'(x,y) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v}\) nên ta có: \(\begin{cases}x=x_M+x_{\overrightarrow{v}}=x_M-1\\y=y_M+y_{\overrightarrow{v}}=y_M+2\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}x_M=x+1\\y_M=y-2\end{cases}\) Thay \(\left(x_M;y_M\right)\) vào phương trình đường thẳng (d) ta có: \(\left(x+1\right)-2\left(y-2\right)+3=0\) \(\Leftrightarrow x-2y+8=0\) Vậy M'(x,y) thỏa mãn phương trình trên và đó cũng là phương trình của đường thẳng d'.
Cho vectơ \(\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)\) và đường thẳng (d') có phương trình: \(x-y+3=0\) Hãy viết phương trình đường thẳng (d) sao cho ảnh của (d) qua phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{v}}\) là đường thẳng (d')? \(x-y+2=0\) \(x-y+4=0\) \(y-x+2=0\) \(y-x+4=0\) Hướng dẫn giải: Gọi điểm M(x ; y) thuộc đường thẳng (d), và \(M'\left(x',y'\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)\) . Tọa độ M' là: \(M'\left(x';y'\right)=M'\left(x+1;y+2\right)\) Vì M'(x' ; y') thuộc đường thẳng (d') nên tọa độ của nó thỏa mãn phương trình (d'), tức là: \(x'-y'+3=0\) Hay là: \(\left(x+1\right)-\left(y+2\right)+3=0\) \(\Leftrightarrow x-y+2=0\) Vậy M(x; y) thuộc đường thẳng (d) thỏa mãn phương trình trên, và đó cũng chính là phương trình của đường thẳng (d) Cách khác: Trong phương trình của d' cho x = 0 ta được y = 3. Vì vậy d' qua A'(0;3). Gọi A(x;y) là điểm mà \(T_{\overrightarrow{v}\left(1;2\right)}\left(A\right)=A'\left(0;3\right)\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y+2=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\end{matrix}\right.\). Như vậy, d phải là đường thẳng qua A(-1;1) và song song với d': \(x-y+3=0\) , tức là d: \(1.\left(x+1\right)-1.\left(y-1\right)=0\) hay d: \(x-y+2=0\).
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - y + 1 = 0. Để phép tịnh tiến theo vec tơ \(\overrightarrow{v}\) biến d thành chính nó thì \(\overrightarrow{v}\) phải là vec tơ nào trong các vec tơ sau đây: \(\overrightarrow{v}=\left(2;1\right)\) \(\overrightarrow{v}=\left(2;-1\right)\) \(\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)\) \(\overrightarrow{v}=\left(-1;2\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi \(M\left(x_d,y_d\right)\) là điểm thuộc đường thẳng d, khi đó: \(2x_d-y_d+1=0\) Gọi M'(x, y) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vec tơ \(\overrightarrow{v}\), ta có: \(\begin{cases}x=x_d+x_{\overrightarrow{v}}\\y=y_d+y_{\overrightarrow{v}}\end{cases}\) Suy ra \(\begin{cases}x_d=x-x_{\overrightarrow{v}}\\y_d=y-y_{\overrightarrow{v}}\end{cases}\) Thay \(\left(x_d;y_d\right)\) vào phương trình của đường thẳng d ta được: \(2\left(x-x_{\overrightarrow{v}}\right)-\left(y-y_{\overrightarrow{v}}\right)+1=0\) \(\Leftrightarrow2x-y+\left(-2x_{\overrightarrow{v}}+y_{\overrightarrow{v}}+1\right)=0\) Đây chính là phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{v}}\). Để d' trùng với d thì: \(-2x_{\overrightarrow{v}}+y_{\overrightarrow{v}}+1=1\) \(\Leftrightarrow-2x_{\overrightarrow{v}}+y_{\overrightarrow{v}}=0\) Trong số các vec tơ trong đáp án, chỉ có vec tơ \(\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)\) thỏa mãn (Đây cũng chính là vec tơ chỉ phương của đường thẳng d). Nói cách khác, nếu tính tiến đường thằng d theo vec tơ chỉ phương của đường thẳng đó thì ta được chính đường thẳng đó. Cách khác: Phép tịnh tiến biến một đường thẳng d thành chính nó khi và chỉ khi vecto tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\) có giá song song với d, tức là \(\overrightarrow{v}\) phải cùng phương với vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(1;2\right)\) của d. Từ đó đáp án đúng là \(\overrightarrow{v}\left(1;2\right)\)
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (2;5). Phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)\) biến điểm A thành điểm nào? B(3;1) C(1;6) D(3;7) E(4;7) Hướng dẫn giải: Ảnh A' cua A(2;5) qua phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{v}\left(1;2\right)}\) là điểm có tọa độ \(x=2+1=3;y=5+2=7\) . Vì vậy \(T_{\overrightarrow{v}\left(1;2\right)}\left(A\right)=D\left(3;7\right)\)
Cho hai đường thẳng song song d và d'. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d'? Không có phép tịnh tiến nào. Chỉ có hai phép tịnh tiến. Có duy nhất một phép tịnh tiến. Có rất nhiều phép tịnh tiến. Hướng dẫn giải: Mọi phép tính tiến theo vecto \(\overrightarrow{AA'}\) với \(A\in d;A'\in d'\) đều biến d thành d'.
