Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(\dfrac{1}{4}\) đường cao. Khi cắt hình trụ này bằng một mặt phẳng đi quanh trục thì mặt cắt là một hình chữ nhật có diện tích \(50cm^2\). Tính diện tích xung quanh hình trụ. \(50\pi\left(cm^2\right)\) \(80\pi\left(cm^2\right)\) \(125\pi\left(cm^2\right)\) \(70\pi\left(cm^2\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi đường cao của hình trụ là x(cm , x > 0) thì bán kính đáy hình trụ là \(\dfrac{1}{4}x\left(cm\right)\). Đường kính của hình trụ là: \(2.\dfrac{1}{4}x=\dfrac{1}{2}x\left(cm\right)\). Hình chữ nhật có chiều rộng là đường kính, chiều dài là chiều cao hình trụ. Ta có: \(\dfrac{1}{2}x.x=50\Leftrightarrow x=10\left(cm\right)\). Vậy chiều cao hình trụ là 10cm, bán kính hình trụ là 2,5cm. Diện tích xung quanh hình trụ là: \(2\pi.2,5.10=50\pi\left(cm^2\right)\)
Một hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích của hình trụ là \(128\pi cm^3\). Tính chiều cao hình trụ. \(8cm\) \(16cm\) \(10cm\) \(12cm\) Hướng dẫn giải: Gọi x (cm) là chiều cao hình trụ suy ra đường kính của hình trụ là x(cm). Bán kính hình trụ là: \(\dfrac{x}{2}\left(cm\right)\). Ta có: \(\pi.r^2.h=\pi.\left(\dfrac{x}{2}\right)^2.x=128\pi\)\(\Leftrightarrow x=8\left(cm\right)\).
Một hình trụ có bán kính 2cm. Biết diện tích toàn phần gấp ba diện tích xung quanh. Tính chiều cao hình trụ. \(h=2cm\) \(h=4cm\) \(h=1,5cm\) \(h=6cm\) \(h=2,5cm\) Hướng dẫn giải: Gọi h là chiều cao hình trụ (h > 0). Diện tích xung quanh hình trụ là: \(2\pi rh=4\pi h\) . Diện tích toàn phần hình trụ là: \(2\pi rh+2\pi r^2=4\pi h+2.2^2.\pi=4\pi h+8\pi.\) Diện tích toàn phần gấp ba lần diện tích xung quanh nên: \(4\pi h+8\pi=3.4\pi h\) \(\Leftrightarrow4h+8=12h\) \(\Leftrightarrow h=2\left(cm\right)\).
Một hình trụ có diện tích xung quang là \(20\pi cm^2\) và diện tích toàn phần là \(30\pi cm^2\). Tính thể tích hình trụ. \(20cm^3\) \(10cm^3\) \(15cm^3\) \(25cm^3\) Hướng dẫn giải: Gọi bán kính hình trụ là r và chiều cao là h (r, h > 0). Diện tích xung quanh hình trụ là: \(S_{xq}=2\pi rh=20\pi\). \(S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2=28\pi\). Suy ra: \(2\pi r^2=8\pi\)\(\Leftrightarrow r^2=4\)\(\Leftrightarrow r=2\left(cm\right)\). Thay r = 2cm ta có: \(S_{xq}=2\pi rh=2\pi.2.h=20\pi\)\(\Leftrightarrow h=5\left(cm\right)\). Thể tích hình trụ là: \(V=\pi.r^2.h=\pi.2^2.5=20\left(cm^3\right)\).
Một cái ống rỗng dạng hình trụ hở một đầu, kín một đầu (độ dài không đáng kể) dài b(cm) và bán kính đường tròn đáy là r(cm). Người ta sơn cả bên ngoài lẫn bên trong ống thì diện tích ống được sơn bao phủ là bao nhiêu cm2? \(2\left(\pi r^2+2\pi rb\right)cm^2\) \(\left(\pi r^2+2\pi rb\right)cm^2\) \(\left(2\pi r^2+2\pi rb\right)cm^2\) \(\left(\pi r^2+4\pi rb\right)cm^2\)
Một cái trục lăn có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 42cm, chiều rộng trục lăn là 2m. Sau khi lăn 10 vòng thì trục lăn tạo trên sàn phẳng một diện tích là bao nhiêu? \(26400cm^2\) \(58200cm^2\) \(528cm^2\) \(264000cm^2\) Hướng dẫn giải: 2m = 200cm. Diện tích xung quanh của cái trục lăn là: \(42.\dfrac{22}{7}.200=26400\left(cm^2\right)\) Diện tích trục lăn tạo trên mặt phẳng là: \(26400.10=264000\left(cm^2\right)\)
Người ta đổ nước vào một thùng có dạng hình trụ, có đường tròn đáy là 4m lên đến độ cao 2,5m. Biết rằng \(1cm^3\) nước có khối lượng là 1g. Trong các số sau đây, số nào là số biểu diễn khối lượng nước đổ vào thùng? \(10^7\pi\left(g\right)\) \(10^8\pi\left(g\right)\) \(10^6\pi\left(g\right)\) \(10^5\pi\left(g\right)\) Hướng dẫn giải: Bán kính đáy hình trụ là: \(4:2=2\left(m\right)\). Thể tích hình trụ là: \(2^2.\pi.2,5=10\pi\left(m^3\right)\)\(=10\pi.10^6\left(cm^3\right)=10^7\pi\left(cm^3\right)\) Khối lượng nước đổ vào thùng là: \(10^7\pi.1=10^7\pi\left(g\right)\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat{B}=30^o\) và \(BC=3cm\) . Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh huyền BC. Hãy tính diện tích xung quanh của hình tạo thành. \(\dfrac{\pi.3\sqrt{3}\left(3\sqrt{3}+3\right)}{8}\left(cm^2\right)\) \(\dfrac{\pi.3\sqrt{3}\left(3\sqrt{3}+3\right)}{4}\left(cm^2\right)\) \(\dfrac{\pi.3\sqrt{3}\left(2\sqrt{3}+1\right)}{8}\left(cm^2\right)\) \(\dfrac{\pi.3\sqrt{3}\left(3\sqrt{3}+3\right)}{16}\left(cm^2\right)\) Hướng dẫn giải: Khi quay tam giác đó một vòng quanh cạnh huyền ta được hai hình nón úp vào nhau. Hai hình nón có cùng bán kính đáy là độ dài đường cao kẻ từ A. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(AB=BC.cos30^o=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\); \(AC=BC.sin30^o=3.\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\left(cm\right)\). \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}=\dfrac{16}{27}\) Suy ra: \(AH=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\left(cm\right)\). Diện tích xung quanh của hình tạo thành là: \(\pi.r.\left(l+l'\right)=\pi.\dfrac{3\sqrt{3}}{4}.\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{\pi.3\sqrt{3}\left(3\sqrt{3}+3\right)}{8}\left(cm^2\right)\).
Nếu chiều cao và bán kính đáy của một hình nón đều tăng lên và bằng \(\dfrac{3}{2}\) so với các kích thước ban đầu thì trong các tỉ số sau đây, tỉ số nào là tỉ số giữa thể tích của hình nón mới với thể tích của hình nón ban đầu? \(\dfrac{27}{8}\) \(\dfrac{9}{4}\) \(\dfrac{3}{2}\) \(\dfrac{8}{27}\)
Một hình nón có bán kính đáy bằng 5cm và diện tích xung quanh \(60\pi\left(cm^2\right)\). Tính thể tích của hình nó đó. \(100\pi\left(cm^3\right)\) \(50\pi\left(cm^3\right)\) \(75\pi\left(cm^3\right)\) \(150\pi\left(cm^3\right)\) Hướng dẫn giải: Độ dài đường sinh của hình nón là: \(60\pi:\left(5.\pi\right)=12\left(cm\right)\). Thể tích hình nón là: \(\dfrac{1}{3}.5^2.12\pi=100\pi\left(cm^3\right)\)
