Cho đường thẳng \(\left(d\right):2x+y-2=0\) và điểm A(6;5). Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua (d). \(\left(-6;-5\right)\) \(\left(-5;-6\right)\) \(\left(-6;-1\right)\) \(\left(5;6\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi (d') là đường thẳng qua A(6;5) và vuông góc với (d). Phương trình (d') có dạng \(x-2y+C=0\) \(A\in\left(d'\right)\Leftrightarrow6-10+C=0\Leftrightarrow C=4\) \(\left(d'\right):x-2y+4=0\) Giao điểm H của (d) và (d') có tọa độ là nghiệm của hệ : \(\begin{cases}2x+y=2\\x-2y=-4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\y=2\end{cases}\) Điểm H(0;2) là hình chiếu vuông góc của A xuống (d), do đó H là trung điểm đoạn AA'. Vì vậy tọa độ của A' là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+6}{2}=0\\\dfrac{y+5}{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-6\\y=-1\end{matrix}\right.\) Tọa độ A' là \(\left(-6;-1\right)\). Đáp số: \(\left(-6;-1\right)\)
Cho đường thẳng \(\left(d\right):2x+y-2=0\) và điểm A(6;5). Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với qua đường thẳng (d) \(\left(-6;-5\right)\) \(\left(-5;-6\right)\) \(\left(-6;-1\right)\) \(\left(5;6\right)\) Hướng dẫn giải: (d) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(2;1\right)\). Đường thẳng \(\left(\Delta\right)\)qua A(6;5) và vuông góc với (d) có phương trình tham số \(\left\{{}\begin{matrix}x=6+2t\\y=5+t\end{matrix}\right.\). Thế các phương trình này vào phương trình của (d) ta được phương trình xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A xuống (d): \(2\left(6+2t\right)+\left(5+t\right)-2=0\Leftrightarrow t=-3\). Thế t=-3 trở lại phương trình \(\left(\Delta\right)\) ta được tọa độ H là \(\left(0;2\right)\). Điểm H là trung điểm đoạn AA' nên tọa độ của A' thoả mãn \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+6}{2}=0\\\dfrac{y+5}{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(x=-6;y=-1\right)\). Đáp số: \(\left(-6;-1\right)\)
Cho A(-2;5); B(2;3). Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng AB với đường thẳng \(\left(d\right):x-4y+4=0\) . (4; -2) (-4; 2) (4; 2) (2; 4) Hướng dẫn giải: Đường thẳng AB qua điểm A(-2;5) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AB}=\left(4;-2\right)\) nên có phương trình tham số \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2+4t\\y=5-2t\end{matrix}\right.\). Thế các phương trình này vào phương trình của (d) ta được phương trình xác định giao điểm M: \(\left(-2+4t\right)-4\left(5-2t\right)+4=0\) \(\Leftrightarrow12t-18=0\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{2}\). Do đó M có tọa độ (4;2). Đáp số: (4; 2).
Cho A(5; -2); B(3;2). Đường thẳng \(\left(d\right):x+2y-4=0\) cắt đoạn AB tại M. Tính tỷ số \(\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}\) . 2 1 -2 -1 Hướng dẫn giải: Vecto \(\overrightarrow{AB}\left(-2;4\right)\) và vecto \(\overrightarrow{u}\left(-1;2\right)\) là vecto chỉ phương của đường thẳng AB. Đường thẳng AB có phương trình là \(\left\{{}\begin{matrix}x=5-t\\y=-2+2t\end{matrix}\right.\). Giao điểm M của AB với đường thẳng (d) có tọa độ thỏa mãn hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x=5-t\\y=-2+2t\\x+2y-4=0\end{matrix}\right.\). Khử t ta được \(\left(5-t\right)+2\left(-2+2t\right)-4=0\Leftrightarrow3t-3=0\) \(\Leftrightarrow t=1\). Do đó \(M\left(4;0\right)\). A(5; -2); B(3;2) Vì vậy \(\dfrac{\overline{MA}}{\overline{MB}}=\dfrac{x_A-x_M}{x_B-x_M}=\dfrac{5-4}{3-4}=-1\) . Đáp số: \(-1\)
Cho đường thẳng \(\left(d\right):3x-4y+2=0\). Có hai đường thẳng \(\left(d_1\right),\left(d_2\right)\) song song với (d) và cùng cách (d) một khoảng bằng 1. Hãy viết phương trình tổng quát hai đường thẳng đó. \(3x-4y-7=0;3x-4y+3=0\) \(3x-4y+7=0;3x-4y-3=0\) \(3x-4y+1=0;3x-4y-3=0\) \(3x-4y-7=0;3x-4y+7=0\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d) đã cho qua điểm A(2;2). Các đường thẳng song song với (d) có phương trình dạng \(3x-4y+C=0\). Khoảng cách từ (d) tới \(3x-4y+C=0\) cũng là khoảng cách từ A(2;2) tới \(3x-4y+C=0\) và bằng \(\dfrac{\left|3.2-4.2+C\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{\left|C-2\right|}{5}\). Vậy phải tìm C thỏa mãn \(\dfrac{\left|C-2\right|}{5}=1\Leftrightarrow C=7;C=-3\). Đáp số: \(3x-4y+7=0\) , \(3x-4y-3=0\)
Cho đường thẳng \(\left(d\right):\begin{cases}x=2+2t\\y=3-t\end{cases}\) \(\left(t\in R\right)\) . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A' của điểm A(0;2) lên đường thẳng (d). \(\left(\dfrac{18}{5};\dfrac{4}{5}\right)\) \(\left(\dfrac{4}{5};\dfrac{18}{5}\right)\) \(\left(\dfrac{18}{5};-\dfrac{4}{5}\right)\) \(\left(\dfrac{4}{5};-\dfrac{18}{5}\right)\) Hướng dẫn giải: Cách 1: Đường thẳng AA' vuông góc với đường thẳng (d) nên nhận vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(2;-1\right)\) của (d) làm vecto pháp tuyến. Như vậy, đường thẳng AA' qua điểm \(A\left(0;2\right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{u}\left(2;-1\right)\) nên nó có phương trình tổng quát là \(2\left(x-0\right)-1.\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow2x-y+2=0\). Điểm A' là giao điểm của (d) với đường thẳng AA', vì vậy tọa độ của A' xác định từ hệ sau: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+2t\\y=3-t\\2x-y+2=0\end{matrix}\right.\). Khử t từ hệ trên ta được \(2\left(2+2t\right)-\left(3-t\right)+2=0\Leftrightarrow5t+3=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{3}{5}\). Do đó A' có tọa độ là \(\left(x=\dfrac{4}{5};y=\dfrac{18}{5}\right)\). Đáp số: \(\left(\dfrac{4}{5};\dfrac{18}{5}\right)\) Cách 2: Đường thẳng (d) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(2;-1\right)\). Vì A' thuộc (d) nên \(A'\left(2+2t;3-t\right)\) suy ra \(\overrightarrow{AA'}\left(2+2t;1-t\right)\). Vì AA' vuông góc với (d) nên \(\overrightarrow{AA'}\perp\overrightarrow{v}\Leftrightarrow\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow\left(2+2t\right)2+\left(1-t\right).\left(-1\right)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{3}{5}\). Do đó \(A'\left(2+2t;3-t\right)=\left(\dfrac{4}{5};\dfrac{18}{5}\right)\)
Cho hai đường thẳng \(\left(d\right):x+y-1=0\) , \(\left(\Delta\right):x-3y+3=0\). Viết phương trình đường thẳng \(\left(d'\right)\) đối xứng với \(\left(d\right)\) qua \(\left(\Delta\right)\). \(x-7y+1=0\) \(x+7y+1=0\) \(7x+y+1=0\) \(7x-y+1=0\) Hướng dẫn giải: Giao điểm A của \(\left(d\right),\left(\Delta\right)\) có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x-3y+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\). Vậy \(\left(d\right)\cap\left(\Delta\right)=A\left(0;1\right)\). Lấy điểm \(B\left(1;0\right)\in\left(d\right)\) . Đường thẳng \(l\) qua \(B\left(1;0\right)\), vuông góc với \(\left(\Delta\right)\) nhận vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(1;-3\right)\) của \(\left(\Delta\right)\) làm vecto chỉ phương, vì vậy đường thẳng \(l\) có phương trình tham số là \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-3t\end{matrix}\right.\) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B xuống \(\left(\Delta\right)\) thì \(H=l\cap\left(\Delta\right)\) do đó \(H\left(1+t;-3t\right)\in\left(\Delta\right)\), tức là \(\left(1+t\right)-3.\left(-3t\right)+3=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{2}{5}\). Do đó \(H\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{6}{5}\right)\). Nếu B' là điểm đối xứng của B qua \(\left(\Delta\right)\) thì \(H\) là trung điểm của BB', vì vậy B' có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{3}{5}\\\dfrac{y+0}{2}=\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{5}\\y=\dfrac{12}{5}\end{matrix}\right.\) . Từ đó \(B'\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{12}{5}\right)\). Đường thẳng \(\left(d'\right)\) đối xứng với \(\left(d\right)\) qua \(\left(\Delta\right)\) chính là đường thẳng qua \(AB'\) tức là \(\left(d'\right)\) qua điểm \(A\left(0;1\right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AB'}\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}\right)\) và có phương trình là \(7\left(x-0\right)-1.\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow7x-y+1=0\). Đáp số: \(7x-y+1=0\)
Cho hai điểm A(1;1); B(-3;3) và đường thẳng \(\left(d\right):x+y+5=0\). Điểm \(C\in\left(d\right)\), cách đều A và B có tọa độ là : \(C\left(3;2\right)\) \(C\left(2;3\right)\) \(C\left(-3;-2\right)\) \(C\left(-2;-3\right)\) Hướng dẫn giải: . (d) có phương trình tham số là \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=-t-5\end{matrix}\right.\) . Vì \(C\in\left(d\right)\) nên \(C\left(t;-t-5\right)\). C cách đều \(A\left(1;1\right)\) và \(B\left(-3;3\right)\) nghĩa là \(\left(t-1\right)^2+\left(-t-5-1\right)^2=\left(t+3\right)^2+\left(-t-5-3\right)^2\) \(\Leftrightarrow-2t+12t+37=6t+16t+73\)\(\Leftrightarrow t=-3\). Từ đó \(C\left(-3;-2\right)\)
Cho đường tròn \(\left(d\right):2x-y+2=0\) và điểm A(5;-6).Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d). \(A'\left(-\frac{31}{5};\frac{2}{5}\right)\) \(A'\left(\dfrac{47}{5};-\dfrac{6}{5}\right)\) \(A'\left(-\dfrac{47}{5};\dfrac{6}{5}\right)\) \(A'\left(-\frac{31}{5};-\frac{2}{5}\right)\) Hướng dẫn giải: Vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(2;-1\right)\) của (d) là vecto chỉ phương của đường thẳng (d') qua A(5;-6) và vuông góc với (d). Vì vậy (d') có phương trình tham số \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2t\\y=-6-t\end{matrix}\right.\) Thế các biểu thức này vào phương trình của (d) ta được phương trình tham số xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A xuống (d): \(2\left(5+2t\right)-\left(-6-t\right)+2=0\)\(\Leftrightarrow5t+18=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{18}{5}\) \(H\left(-\dfrac{11}{5};-\dfrac{12}{5}\right)\) là hình chiếu vuông góc của A xuống (d). A' đối xứng với A qua (d) khi và chỉ khi H là trung điểm AA' hay tọa độ (x;y) của A' thỏa mãn hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+x_A}{2}=x_H\\\dfrac{y+y_A}{2}=y_H\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+5}{2}=-\dfrac{11}{5}\\\dfrac{y-6}{2}=-\dfrac{12}{5}\end{matrix}\right.\) Đáp số : \(A'\left(-\dfrac{47}{5};\dfrac{6}{5}\right)\)
Cho hai điểm A(-2;5), B (2;3). Gọi M là giao điểm của đường thẳng \(\left(d\right):2x+y-4=0\) với đường thẳng AB. Tính tỉ số \(\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}\) . 2 1 -2 -1 Hướng dẫn giải: Đường thẳng AB qua A(-2;5) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AB}=\left(4;-2\right)\), vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(1;2\right)\), vì vậy đường thẳng AB có phương trình \(1.\left(x+2\right)+2.\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x+2y-8=0\) Giao điểm M của (d) với AB có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y-4=0\\x+2y-8=0\end{matrix}\right.\) . Hệ này có nghiệm duy nhất \(\left(x=0;y=4\right)\), từ đó \(M\left(0;4\right)\). \(\overline{MA}=x_A-x_M=-2-0=-2\) và \(\overline{MB}=x_B-x_M=2-0=2\) nên \(\dfrac{\overline{MA}}{\overline{MB}}=-1\) Đáp số: -1.
