BÀI TOÁN TIẾP TUYẾNA. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồ thị \(\left( C \right)\). Điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) \in \left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến tại M \[y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\;\;\;\;\;\;\left( d \right)\] + Hệ số góc của tiếp tuyến: \(f'\left( {{x_0}} \right)\) + \(\left( d \right)\) hiểu theo dạng \(y = ax + b\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = f'\left( {{x_0}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{b = - {x_0}.f'\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)}\end{array}} \right.\) + Vecto pháp tuyến \(\vec n = \left( {f'\left( {{x_0}} \right); - 1} \right)\) + Vecto chỉ phương \(\vec u = \left( {1;f'\left( {{x_0}} \right)} \right)\) Mục tiêu duy nhất của bài toán: đi tìm \({x_0}\) B. CÁC CẤP ĐỘ CÂU HỎI 1. Tiếp tuyến tại một điểm: Cho tiếp điểm \(M\left( {{x_0};f({x_0})} \right)\) HỏiTrả lời+ Cho hoành độ tiếp điểm + Cho tung độ tiếp điểm bằng \(c\) + \(M = \left( C \right) \cap {\rm{\Delta }}\)\(\to \) Cho sẵn \(x_0\) \(\to \) \(f(x_0)=c \Leftarrow x_0 \) \(\to \) Giải hệ phương trình của \((C)\) và \(\Delta \) được \(M\)2. Tiếp tuyến biết hệ số góc: \(\Leftrightarrow\) biết \(f'(x_0)\) HỏiTrả lời+ Cho hệ số góc bằng \(k\) + Tiếp tuyến vuông góc với \({\rm{\Delta }}\) + Tiếp tuyến song song với \({\rm{\Delta }}\) + Tiếp tuyến tạo với \({\rm{\Delta }}\) một góc \(\alpha \)\( \to \)\(f'({x_0}) = k \Rightarrow {x_0}\) \( \to \)\(f'({x_0}).{k_\Delta } = - 1 \Rightarrow {x_0}\) \( \to \)\(f'({x_0}) = k \Rightarrow {x_0}\) \( \to \)\(\cos \alpha = \frac{{\left| {1 + {k_\Delta }.f'({x_0})} \right|}}{{\sqrt {1 + k_\Delta ^2} .\sqrt {1 + f{'^2}({x_0})} }}\)3. Tiếp tuyến đi qua một điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\): \({x_A}\) và \({y_A}\) thỏa mãn \(\left( d \right)\) HỏiTrả lời+ Qua \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) (\({x_A};{y_A}\) là hằng số) + Qua \(A\left( {x\left( m \right);y\left( m \right)} \right)\)tọa độ chưa tham số \({y_A} = f'({x_0})({x_A} - {x_0}) + f({x_0}) \Rightarrow {x_0}\) \(y\left( m \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x\left( m \right) - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\) : Biện luận theo m nghiệm \({x_0}\).4. Tiếp tuyến cắt \({d_1}:x = {x^*}\) tại A, cắt \({d_2}:y = {y^*}\) tại B thỏa mãn hệ thức K(A,B) +) Tọa độ A là nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x^*}\\y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x^*}\\y = {y_A}({x_0})\end{array} \right. \Leftrightarrow A({x^*},{y_A}({x_0}))\) +) Tọa độ B là nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}y = {y^*}\\y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {y^*}\\x = {x_B}({x_0})\end{array} \right. \Leftrightarrow B({x_B}({x_0}),{y^*})\) +) Giải K(A,B) tìm được \({x_0}\). HỏiTrả lời+ Cắt Ox tại A, cắt Oy tại B + Cắt TCĐ tại A, cắt TCN tại B + Tiếp tuyến tại M cắt \(\left( C \right)\) tại điểm thứ hai N \( \ne \)M+ \({d_1}:x = 0\) và \({d_2}:y = 0\) + \({d_1}:x = {x^*}\) và \({d_2}:y = {y^*}\) + Phương trình hoành độ giao điểm \(f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) = f\left( x \right)\;\left( * \right)\) có nghiệm kép bằng \({x_0}\), nghiệm còn lại là \({x_N}\)5. Đồ thị \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = ax + b\) Gọi hoành độ tiếp điểm là \({x_0}\): Điều kiện tiếp xúc \( \Leftrightarrow \) hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f'({x_0}) = a\\ - {x_0}.f'({x_0}) + f({x_0}) = b\end{array} \right.\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}f'({x_0}) = a\\ - {x_0}.a + f({x_0}) = b\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = ...\) 6. Đồ thị \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường cong \(y = g\left( x \right)\) Gọi hoành độ tiếp điểm là \({x_0}\): Điều kiện đề bài \( \Leftrightarrow \) hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f'({x_0}) = g'({x_0})\\f({x_0}) = g({x_0})\end{array} \right.\) có nghiệm \({x_0}\) Ví dụ 1: Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) có đồ thị \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) a. Tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\) b. Song song với đường thẳng \(y = 9x + 1\) c. Đi qua điểm \(A(0;2)\) d. Tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho \(OB = 3OA\) Hướng dẫn: a. Áp dụng trực tiếp công thức \(y = f'(2)(x - 2) + f(2)\)\( \Leftrightarrow y = 9(x - 2) + 4 \Leftrightarrow y = 9x - 14\) b. Tiếp tuyến song song với \(y = 9x + 1\)\( \Rightarrow f'({x_0}) = 9 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 3 = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\) Với \({x_0} = 2\) : Phương trình tiếp tuyến như câu a. Với \({x_0} = - 2\) : Phương trình tiếp tuyến \(y = 9(x + 2) + 0\) c. Thay vào toạ độ \(A(0;2)\) vào phương trình \(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})\) ta được \(2 = (3x_0^2 - 3)(0 - {x_0}) + x_0^3 - 3{x_0} + 2\)\( \Leftrightarrow 2x_0^3 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 0\) . Vậy phương trình tiếp tuyến là \(y = f'(0)(x - 0) + f(0)\)\( \Leftrightarrow y = - 3x + 2\) d. Từ \(OB = 3OA \Rightarrow \tan \widehat {BAO} = 3 \Rightarrow f'({x_0}) = \pm 3\) . Dễ dàng giải ra được \(3x_0^2 - 3 = \pm 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\) Ví dụ 2: Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + m\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ âm Hướng dẫn: Gọi hoành độ tiếp điểm cần tìm là \({x_0}\;\;({x_0} < 0)\) . Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x_0^2 - 3 = 0\\x_0^3 - 3{x_0} + m = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 1 < 0\\m = 2\end{array} \right.\) . Vậy \(m = 2\) thoả mãn đề bài. Ví dụ 3: Cho \((C)\) là đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) . Gọi \(I\) là giao của 2 tiệm cận, M là điểm bất kỳ trên \((C)\). Tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) cắt 2 đường tiệm cận tại \(A,B\). a. Chứng minh rằng \(M\) là trung điểm của \(AB\). b. Chứng minh rằng diện tích tam giác\(IAB\) không đổi. c. \(AB\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow \) chu vi tam giác \(IAB\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow IM\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow \) Tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \)\(MN\) nhỏ nhất với \(M,N\) là 2 điểm thuộc 2 nhánh đồ thị \( \Leftrightarrow f'({x_M}) = \pm 1\) . Hướng dẫn: Gọi \(M({x_0};\frac{{{x_0} - 2}}{{{x_0} + 1}})\) thì phương trình tiếp tuyến tại \(M\) có phương trình \(y = \frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}(x - {x_0}) + \frac{{{x_0} - 2}}{{{x_0} + 1}}\). \(A\) là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng \(x = - 1\) thì \(A( - 1;\frac{{{x_0} - 5}}{{{x_0} + 1}})\). \(B\) là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang \(y = 1\) thì \(B(2{x_0} + 1;1)\) . a. Dễ thấy \({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\) . Vậy \(M\) là trung điểm của \(AB\) b. Có \(I( - 1;1) \Rightarrow IA = \frac{6}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}};\;IB = 2\left| {{x_0} + 1} \right|\) . Rõ ràng tích \(IA.IB\) không đổi nên diện tích tam giác \(IAB\) không đổi. c. Có \(A{B^2} = I{A^2} + I{B^2} \ge 2IA.IB\) (không đổi), nên \(AB\) ngắn nhất khi \(IA = IB\)\( \Leftrightarrow \) tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc \({45^0}\)\( \Leftrightarrow f'({x_M}) = \pm \tan {45^0} = \pm 1\) . Chu vi tam giác \(IAB\) bằng \(IA + IB + AB \ge 2\sqrt {IA.IB} + \sqrt {2IA.IB} \) (không đổi). Dấu bằng xảy ra như trường hợp trên. \(IM = \frac{1}{2}AB\) (đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền), nên \(IM\) ngắn nhất khi \(AB\) ngắn nhất Có \(d(M,x = - 1) = \frac{1}{2}IB;\;\;d(M,y = 1) = \frac{1}{2}IA\) (Do \(M\) là trung điểm của cạnh huyền \(AB\) trong tam giác vuông \(IAB\). Do đó tổng khoảng cách nhỏ nhất khi \(IA + IB\) bé nhất. d. Có \[M{N^2} = {({x_1} - {x_2})^2} + {\left( {\frac{{{x_1} - 2}}{{{x_1} + 1}} - \frac{{{x_2} - 2}}{{{x_2} + 1}}} \right)^2}\] \[ = {({x_1} - {x_2})^2}\left( {1 + \frac{9}{{{{({x_1} + 1)}^2}{{( - 1 - {x_2})}^2}}}} \right)\] . Đặt \(a = {x_1} + 1;\;b = - 1 - {x_2} \Rightarrow a,b > 0\). Ta có \(M{N^2} = {(a + b)^2}\left( {1 + \frac{9}{{{{(ab)}^2}}}} \right) \ge 4ab + \frac{{36}}{{ab}} \ge 2\sqrt {4.36} = 24\). Dấu bằng xảy ra khi\(a = b\) và \(a.b = 3\)\( \Rightarrow a = b;\;{a^2} = 3\) hay \(\frac{3}{{{{({x_M} + 1)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow f'({x_M}) = 1\) .
