CON LẮC ĐƠN1. Cấu tạo, hoạt động - Cấu tạo: Gồm một sợi dây không dãn, dài l. Một dầu sợi dây giữ cố định, một đầu treo vật khối lượng m. - Hoạt động: Ban đầu, vật đứng yên tại VTCB. Khi được kích thích thì vật m dao động quanh VTCB. 2. Sự dao động điều hòa - Để chứng minh con lắc đơn dao động điều hòa, ta cần phải sử dụng đến công thức tính gần đúng trong toán học, đó là: với α rất nhỏ thì \(\sin\alpha \approx \alpha\) với α tính theo rad. - Do vậy điều kiện để con lắc đơn dao động điều hòa là biên độ góc α0 rất nhỏ. Để thuận tiện, người ta lấy α0 < 100. - Cũng như con lắc lò xo, ta sẽ dùng phương pháp động lực học để chứng minh con lắc đơn dao động điều hòa. + Lực tác dụng lên vật: Trọng lực \(\overrightarrow{P}\), lực căng dây \(\overrightarrow{\tau}\) + Theo định luật II Niu-tơn, ta có: \(m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{\tau}\) + Chiếu lên trục tọa độ: \(m.a = -P\sin\alpha \approx-mg\alpha\)(*). Ta có: \(x=\alpha.\ell \Rightarrow\alpha=\dfrac{x}{\ell}\)(một số tài liệu người ta dùng độ rời cung \(s\) thay cho \(x\)). Thế vào (*) ta được: \(m.a=-mg.\dfrac{x}{\ell}\Rightarrow a=-\dfrac{g}{\ell}.x\). Đặt \(\omega=\sqrt{\dfrac{g}{\ell}}\)ta có: \(a=-\omega^2.x\), đây chính là công thức độc lập trong dao động điều hòa. + Vậy con lắc đơn dao động điều hòa quanh VTCB với \(\boxed{\omega=\sqrt{\dfrac{g}{\ell}}}\) - Trong trường hợp biên độ góc α0 > 100 thì con lắc đơn chỉ dao động tuần hoàn mà thôi. 3. Cơ năng dao động - Chọn mốc thế năng tại VTCB (về sau, người ta mặc định luôn gốc thế năng tại VTCB). Động năng: \(\boxed{W_đ=\dfrac{1}{2}mv^2}\) Thế năng (trọng trường): \(W_t=mgh=mg.HO=mg(IO-IH)=mg(\ell-\ell\cos\alpha)\)\(\Rightarrow \boxed{W_t=mg\ell(1-\cos\alpha)}\) Cơ năng: \(W=W_đ+W_t=W_{đmax}=W_{tmax}=const\) \(\Rightarrow \boxed{W=\dfrac{1}{2}mv_{max}^2=mg\ell(1-\cos \alpha_0)}\) - Bài toán: Con lắc đơn gồm vật nặng khối lượng m, treo trên sợi dây không giãn dài l đang dao động quanh VTCB với biên độ góc \(\alpha_0\). Khi vật nặng đi qua vị trí có góc lệch \(\alpha\leq\alpha_0\). Tìm a) Tốc độ của vật b) Lực căng dây - Hướng dẫn giải: a) Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, ta có: \(W_M=W_N\Rightarrow mg\ell(1-\cos\alpha_0)=mg\ell(1-\cos\alpha)+\dfrac{1}{2}mv^2\)\(\Rightarrow \boxed{ v=\sqrt{2g\ell(\cos \alpha-\cos\alpha_0)}}\) b) Lực tác dụng lên vật: \(\overrightarrow{P}\), \(\overrightarrow{\tau}\) Áp dụng định luật II Niu-tơn: \(m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{\tau}\) Chiếu lên phương hướng vào tâm (theo phương của \(\overrightarrow{\tau}\)), ta có: \(ma_{ht}=-P\cos\alpha+\tau\Rightarrow\tau=ma_{ht}+mg\cos\alpha\), mà \(a_{ht}=\frac{v^2}{l}\) nên: \(\tau=ma_{ht}+mg\cos\alpha=m\frac{v^2}{l}+mg\cos\alpha=m.2gl(\cos\alpha-\cos\alpha_0)+mg\cos\alpha\) \(\Rightarrow \boxed{\tau=mg(3\cos\alpha-2\cos\alpha_0)}\) 4. Trường hợp đặc biệt khi con lắc đơn dao động điều hòa - Bây giờ chúng ta xét trường hợp đặc biệt khi xảy ra dao động điều hòa (biên độ góc α0 < 100). - Để thống nhất với những tính chất của con lắc lò xo, chúng ta đưa vào hệ số hồi phục k (với con lắc lò xo, k chính là độ cứng lò xo) - Hệ số hồi phục: \(k=m\omega^2=m\dfrac{g}{\ell}\) - Khi đó, chúng ta có thể áp dụng những công thức đã biết như con lắc lò xo như sau: + Thế năng: \(W_t=\frac{1}{2}k.x^2=\dfrac{1}{2}\dfrac{mg}{\ell}.(\alpha.\ell)^2=\dfrac{1}{2}mg\ell\alpha^2\)(α tính theo rad). + Cơ năng: \(W=\dfrac{1}{2}mg\ell\alpha_0^2\) + Lực hồi phục: \(F_{hp}=-k.x=-\dfrac{mg}{\ell}\alpha \ell=-mg\alpha\approx-mg\sin\alpha\)
Đối với con lắc đơn, đồ thị biểu diễn mối liên hệ giữa chiều dài của con lắc và chu kì dao động T của nó là Đường hyperbol. Đường parabol. Đường elip. Đường thẳng.
Con lắc đơn dao động điều hào với chu kì 1s tại nơi có gia tốc trọng trường \(g = 9,8m/s^2\), chiều dài của con lắc là: 24,8m. 24,8cm. 1,56m. 2,45m.
Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 1m dao động với biên độ góc nhỏ có chu kì 2s. Cho = 3,14. Cho con lắc dao động tại nơi có gia tốc trọng trường là \(9,7m/s^2.\) \(10m/s^2. \) \(9,86m/s^2. \) \(10,27m/s^2.\)
Một con lắc đơn có chiều dài = 1m. Khi quả lắc nặng m = 0,1kg, nó dao động với chu kì T = 2s. Nếu treo thêm vào quả lắc một vật nữa nặng 100g thì chu kì dao động sẽ là bao nhiêu? 8s. 6s. 4s. 2s.
Một con lắc đơn có chu kì dao động T = 2 s. Khi người ta giảm bớt 19 cm, chu kì dao động của con lắc là T’ = 1,8 s. Tính gia tốc trọng lực nơi đặt con lắc. Lấy \(\pi^2 = 10\). \(10m/s^2. \) \(9,84m/s^2.\) \(9,81m/s^2.\) \(9,80m/s^2.\) Hướng dẫn giải: \(T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}.(1)\) \(T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}\) => \(\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{10}{9}\) => \(9^2 l_1 = 10^2 l_2\) mà \(l_2 = l_1 -19\) Giải hệ phương trình ta có \(l_1 = 100cm.\) Thay vào (1) => \(g = \frac{4\pi^2l}{T^2} =10m/s^2. \)
Một con lắc đơn có chu kì dao động T = 2,4 s khi ở trên mặt đất. Hỏi chu kì dao động của con lắc sẽ là bao nhiêu khi đem lên Mặt Trăng. Biết rằng khối lượng Trái Đất lớn gấp 81 lần khối lượng Mặt Trăng và bán kính Trái Đất lớn gấp 3,7 lần bán kính Mặt Trăng. Coi nhiệt độ không thay đổi. 5,8 s. 4,8 s. 2 s. 1 s. Hướng dẫn giải: Do nhiệt độ không thay đổi nên chiều dài của con lắc không thay đổi. Chu kì trên Trái Đất: \(T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_1}} = 2,4 s.\) Chu kì trên Mặt Trăng: \(T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_2}}\) => \(\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{g_2}{g_1}}\) Mặt khác ta có: \(g = G\frac{mM}{(R+h)^2}\) => \(\frac{g_2}{g_1} = \frac{M_2R_1^2}{M_1R_2^2} = \frac{1.3,7^2}{81.1} = 0,169.\) => \(\frac{T_1}{T_2} = 0,411 => T_2 = 5,83s.\)
Cho con lắc đơn có chiều dài l = 1 m dao động tại nơi có gia tốc trọng trường \(g = \pi^2(m/s^2)\). Chu kì dao động nhỏ của con lắc là: 2 s. 4 s. 1 s. 6,28 s. Hướng dẫn giải: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\sqrt{l} = 2s.\)
Con lắc đơn có chiều dài l = 1m dao động với chu kì 2 s, nếu tại nơi đó con lắc có chiều dài l’ = 3 m sẽ dao động với chu kì là: 6s. 4,24s. 3,46s. 1,5s. Hướng dẫn giải: \(T_1 = 2s.\) \(\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \sqrt{\frac{1}{3}} => T_2 = 3,46s.\)
Một con lắc đơn có chiều dài 121 cm, dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng trường g. Lấy \(\pi^2 = 10\). Chu kì dao động của con lắc là: 1 s. 0,5 s. 2,2 s. 2 s. Hướng dẫn giải: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\sqrt{l} = 2.\sqrt{121.10^{-2}} = 2,2s.\)
