Tổng hợp lý thuyết chuyên đề Con lắc lò xo treo thẳng đứng và bài tập rèn luyện

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    1. Mô tả hiện tượng

    01.png
    - Dao động của con lắc lò xo treo thẳng đứng được mô tả qua 3 giai đoạn như hình vẽ trên.
    + Giai đoạn 1: Khi chưa treo vật, lò xo không biến dạng và có chiều dài tự nhiên ℓ0
    + Giai đoạn 2: Khi treo vật, vật ở vị trí cân bằng, lò xo dãn Δℓ0
    + Giai đoạn 3: Kích thích cho vật dao động thì vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O
    - Tần số góc giống như con lắc lò xo nằm ngang: \(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\)

    2. Phân tích hiện tượng


    - Ở giai đoạn 2: Vật ở VTCB, lò xo dãn \(\Delta \ell_0\)
    + Chiều dài của lò xo: \(\ell_{CB}=\ell_o+\Delta \ell_0\)
    + Vật ở VTCB nên: \(\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F_{dh}} = \overrightarrow{0} \Rightarrow P = F_{dh} \Rightarrow mg = k\Delta \ell_0 \Rightarrow\Delta \ell_0 = \frac{mg}{k}\) (1)
    - Giai đoạn 3: Vật dao động điều hòa quanh O, khi vật có li độ x, ta có:
    + Chiều dài lò xo: \(\ell=\ell_{CB}+x= \ell_0+\Delta \ell_0+x\)
    + Độ biến dạng của lò xo: \(\Delta \ell = |\Delta \ell_0+x|\)
    + Lực đàn hồi: \(F_{dh} = k\Delta \ell = k|\Delta \ell_0+x|\) (2)
    + Lực hồi phục: \(F_{hp} = k|x|\)
    - Nhận xét:
    + Để nhớ các công thức trên, các bạn chỉ cần nhớ hình vẽ biểu thị 3 giai đoạn ở trên rồi tự suy ra.
    + Từ (1) ta suy ra: \(\dfrac{k}{m} = \dfrac{g}{\Delta \ell _ 0}\Rightarrow \omega = \sqrt{\dfrac{g}{\Delta \ell_0}}\)
    + Từ (2) ta suy ra: \(F_{dhmax}=k(\Delta \ell_0+A)\) (khi vật ở vị trí thấp nhất)
    + Nếu \(\Delta \ell_0 > A\): Trong quá trình dao động, lò xo luôn dãn, khi đó: \(F_{dhmin}=k(\Delta \ell_0 - A)\) (khi vật ở vị trí cao nhất)
    + Nếu \(\Delta \ell_0 \leq A\): Trong quá trình dao động, lò xo dãn khi \(x>-\Delta \ell_0\), lò xo nén khi \(x<\Delta \ell_0\): \(F_{dhmin} = 0\) tại vị trí: \(x= -\Delta \ell_0\)

    3. Năng lượng dao động


    * Chọn mốc tính thế năng tại VTCB của vật, khi đó thế năng vẫn được tính giống như thế năng của con lắc lò xo nằm ngang.
    - Động năng: \(W_đ=\dfrac{1}{2}mv^2\)
    - Thế năng đàn hồi: \(W_t=\dfrac{1}{2}kx^2\)
    - Cơ năng: \(W = W_đ+W_t= W_đ=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}kx^2=W_{đmax}= W_{tmax} = \dfrac{1}{2}mv_{max}^2=\dfrac{1}{2}kA^2\)

    4. Bài tập ví dụ


    Bài tập: Con lắc lò xo có chiều dài tự nhiên ℓ0=50cm, độ cứng k = 100N/m, treo vật nặng khối lượng m = 400g. Kích thích cho vật dao động điều hòa quanh VTCB với biên độ 8cm. Lấy g = 10m/s2. Chọn trục tọa độ có gốc ở VTCB, chiều dương hướng xuống, mốc thời gian khi vật qua VTCB theo chiều dương.
    a) Tìm chiều dài của lò xo khi vật ở VTCB.
    b) Viết phương trình dao động.
    c) Tìm vận tốc và gia tốc tại vị trí lực đàn hồi có độ lớn cực tiểu.
    d) Tìm thời gian ngắn nhất từ thời điểm ban đầu đến khi lò xo không biến dạng.
    e) Tìm thời gian lò xo bị nén trong 1 chu kì.
    f) Tìm cơ năng của hệ.
    g) Tìm động năng của vật và thế năng của lò xo khi lò xo có chiều dài 56cm.
    h) Tại vị trí Wđ = 3 Wt. Tính chiều dài của lò xo.
    i) Tìm lực đàn hồi cực đại, cực tiểu.
    k) Tìm li độ tại vị trí độ lớn lực hồi phục bằng lực đàn hồi.
    Hướng dẫn giải:
    02.png
    a) Ở VTCB: \(\Delta \ell_0 = \dfrac{mg}{k}=\dfrac{0,4.10}{100}=0,04m = 4cm\)
    Chiều dài của lò xo: \(\ell_{CB}=\ell_0+\Delta \ell_0=50 + 4 = 54cm\)
    b) Tần số góc: \(\omega = \sqrt {\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{100}{0,4}}=5\pi(rad/s)\)
    Mốc thời gian lúc vật qua VTCB theo chiều dương nên pha ban đầu \(\varphi = -\frac{\pi}{2}\)rad
    Phương trình dao động: \(x= 8\cos(5\pi t - \frac{\pi}{2})\)(cm).
    c) Do \(A > \Delta \ell_0 (8 > 4)\) nên lực đàn hồi đạt cực tiểu tại \(x=-\Delta \ell_0 = -4cm\)
    Áp dụng công thức độc lập ta có:
    Vận tốc: \(v=\pm\omega\sqrt{A^2-x^2}=\pm5\pi\sqrt{8^2-4^2}=\pm20\sqrt 3\pi\)(cm/s)
    Gia tốc: \(a=-\omega^2x= -(5\pi)^2.(-4)=1000\)(cm/s2) = 10m/s2
    d) Lò xo không biến dạng tại li độ: \(x=-\Delta l_0 = -4cm.\) Bài toán trở thành tính thời gian ngắn nhất khi vật qua VTCB theo chiều dương đến khi li độ bằng -4cm. Biểu diễn bằng véc tơ quay ta có:
    03.png
    Véc tơ quay xuất phát tại M và kết thúc ở N, nên góc quay được: \(\alpha = 180+30 = 210^0\)
    Thời gian: \(t=\dfrac{210}{360}T = \frac{7T}{12}\)
    Chu kì: \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{5\pi}=0,4s\)
    Suy ra: \(t= \dfrac{7.0,4}{12}=\dfrac{7}{30}s\)
    e) Lò xo nén khi \(x < -\Delta l _0 \Rightarrow x < - 4cm\), biểu diễn bằng véc tơ quay ta được:
    04.png
    Góc quay: \(\alpha = 2.60 = 120^0\)
    Thời gian: \(t=\dfrac{120}{360}T = \dfrac{T}{3}=\dfrac{0,4}{3}=\dfrac{4}{30}s\)
    f) Cơ năng: \(W=\dfrac{1}{2}kA^2=\dfrac{1}{2}.100.0,08^2=0,32J\)
    g) Áp dụng: \(\ell=\ell_{CB}+x\Rightarrow x = \ell-\ell_{CB}=56-54=2cm\)
    Thế năng: \(W_t=\dfrac{1}{2}k.x^2=\dfrac{1}{2}.100.0,02^2=0,02J\)
    Động năng: \(W_đ=W-W_t=0,32-0,02=0,3J\)
    h) Tại vị trí \(W_đ=3W_t \Rightarrow W = 4W_t \Rightarrow A^2 = 4x^2\Rightarrow x= \pm\dfrac{A}{2}=\pm\dfrac{8}{2}=\pm 4cm\)
    Chiều dài lò xo: \(\ell=\ell_{CB}+x = 54\pm4\) =>\(\ell=50cm\) hoặc \(\ell=58cm\)
    i) Lực đàn hồi cực đại: \(F_{dhmax}=k.(\Delta \ell_0+A)=100.(0,04+0,08)=12N\)
    Lực đàn hồi cực tiểu: \(F_{dhmin}=0\) (Do \(A>\Delta \ell_0\))
    k) Độ lớn lực hồi phục bằng lực đàn hồi suy ra: \(k|x|=k|\Delta \ell_0+x|\Rightarrow|x|=|4+x|\Rightarrow -x=4+x\Rightarrow x=-2cm.\)
    Như vậy, tại li độ x = -2cm thì độ lớn lực đàn hồi và lực hồi phục bằng nhau.
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Một con lắc lò xo gồm viên bi nhỏ có khối lượng m và lò xo khối lượng không đáng kể có độ cứng k, dao động điều hoà theo phương thẳng đứng tại nơi có gia tốc rơi tự do là g. Khi viên bi ở vị trí cân bằng, lò xo dãn một đoạn \(Δl\) . Chu kỳ dao động điều hoà của con lắc này là
    • \(2\pi\sqrt{(g/Δl)}\)
    • \(2\pi\sqrt{(Δl/g)}\)
    • \((1/2 \pi) \sqrt{(m/k)}\)
    • \((1/2\pi)\sqrt{(k/m)}\)
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Tại VTCB: (Áp dụng định luật II Newton)
    \(\overrightarrow{F_{đh}} + \overrightarrow{P} = \overrightarrow{0}\)
    => \(F_{đh} = P\)
    => \(k.\Delta l = mg\)
    => \(\frac{m}{k} = \frac{\Delta l }{g}\).
    Suy ra \(T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g}.}\)
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Một lò xo nếu chịu tác dụng lực kéo 1 N thì giãn ra thêm 1 cm. Treo một vật nặng 1 kg vào lò xo rồi cho nó dao động thẳng đứng. Chu kì dao động của vật là
    • 0,314s.
    • 0,628s.
    • 0,157s.
    • 0,5s.
    Hướng dẫn giải:

    \(F_1 = k.\Delta l_1 = 1N\); \(F_2 = k.\Delta l_2= mg = 10N.\)
    => \(\frac{F_1}{\Delta l_1} =\frac{F_2}{\Delta l_2} \)
    => \(\Delta l_2 = \frac{F_2 \Delta l_1 }{F_1} = 10 cm.\)
    Khi treo vật có khối lượng 1 kg thì độ dãn ban đầu Δl2 = 10 cm = 0,1 m, khi đó
    \(T = 2\pi \sqrt{\frac{\Delta l_2}{g}} = 0,628 s.\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hoà, thời gian vật nặng đi từ vị trí cao nhất đến vị trí thấp nhất là 0,2 s. Tần số dao động của con lắc là
    • 2Hz.
    • 2,4Hz.
    • 2,5Hz.
    • 10Hz.
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Vật đi từ vị trí cao nhất (x = - A) đến vị trí thấp nhất (x = +A). Thời gian đi như vậy sẽ là
    \(\frac{T}{2} = 0,2 s => T = 0,4 s.\)
    => \(f = \frac{1}{T} = 2,5 Hz.\)
    Kết quả này có thể thu được dễ dàng dựa vào đường tròn:
    Góc quay \(\varphi = \pi \) => \(t = \frac{\varphi}{\omega} = \frac{\pi}{2\pi/T} =\frac{T}{2}= 0,2 => T=> f.\)
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Kích thích để con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang với biên độ 5 cm thì vật dao động với tần số 5 Hz. Treo hệ lò xo trên theo phương thẳng đứng rồi kích thích để con lắc lò xo dao động điều hoà với biên độ 3 cm thì tần số dao động của vật là
    • 3 Hz.
    • 4 Hz.
    • 5 Hz.
    • 2 Hz.
    Hướng dẫn giải:

    Chu kì dao động của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc vào khối lượng của vật treo và độ cứng của lò xo.
    \(T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)
    Như vậy dù có treo thẳng đứng hay đặt nằm ngang thì chu kì không thay đổi. Khi đó tần số f cũng không thay đổi và bằng 5 Hz.
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, độ dài tự nhiên của lò xo là 22 cm. Vật mắc vào lò xo có khối lượng m = 120 g. Khi hệ thống ở trạng thái cân bằng thì độ dài của lò xo là 24 cm. Lấy \(\pi^2 = 10\); \(g = 10m/s^2\). Tần số dao động của vật là
    • \(f = \sqrt2/4 Hz. \)
    • \(f = 5/\sqrt2 Hz. \)
    • \(f = 2,5 Hz.\)
    • \(f = 5/\pi Hz\)
    Hướng dẫn giải:

    Độ dãn ban đầu: \(\Delta l_ 0 = l_{VTCB}-l_0 = 24-22 = 2cm = 0,02m.\)
    \(T = 2\pi \sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}} = 0,2.\sqrt{2}s.\)
    \(f = \frac{1}{T} = \frac{5\sqrt{2}}{2}Hz.\)
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa với chu kì 0,4 s. Khi vật ở vị trí cân bằng, lò xo dài 44 cm. Lấy \(g = \pi^2 (m/s^2)\). Chiều dài tự nhiên của lò xo là
    • 36 cm.
    • 40 cm.
    • 42 cm.
    • 38 cm.
    Hướng dẫn giải:

    Độ dãn ban đầu của lò xo tại vị trí cân bằng: \(\Delta l_0 = l_{1}-l_0.(1)\)
    Lại có: \(T =2 \pi \sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}} =>T = 2\sqrt{ \Delta l_0} => \Delta l_0 = \frac{T^2}{4} = 0,04m = 4cm.\)
    Thay vào (1) ta thu được chiều dài của con lắc khi ở VTCB là \(l_0 = l_1- \Delta l_0 = 44- 4 = 40 cm.\)
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Một lò xo có độ cứng k = 1 N/cm treo thẳng đứng. Lần lượt treo vào hai vật có khối lượng gấp 3 lần nhau thì khi cân bằng lò xo có chiều dài là 22,5 cm và 27,5 cm. Cho \(g = 10 m/s^2\). Chu kì dao động của con lắc khi treo đồng thời hai vật là
    • \(\pi/3 s. \)
    • \(\pi/5 s.\)
    • \(\pi/4 s.\)
    • \(\pi/2 s.\)
    Hướng dẫn giải:

    \(m_2 = 3m_1.\)
    Treo vật m1: \(\Delta l_{01} = l_1-l_0 = \frac{m_1g}{k}.(1)\)
    Treo vật m2: \(\Delta l_{02} = l_2-l_0 = \frac{m_1g}{k}.(2)\)
    => \(\frac{\Delta l_{01}}{\Delta l_{02}} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}.\)
    => \(\frac{l_1-l_0}{l_2-l_0} = \frac{1}{3} => 3l_1 -l_2 = 2l_0.\)
    => \(l_ 0 = \frac{3.22,5-27,5}{2}= 20cm.\)
    Thay vào (1) => \(\Delta l_{01} = 2,5 cm.\)
    Treo vật m = m1 + m2 = 4m1: \(\Delta l_{0} = \frac{m}{g} = 4\Delta l_{01} = 10cm.\)
    Chu kì dao động của con lắc khi treo cả hai vật là \(T = 2\pi \sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}} = 2\sqrt{\Delta l_0}= = 0,2 \pi(s).\)
    => \(f = \frac{1}{T} = \frac{\pi}{5} Hz.\)
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương thẳng đứng, biết rằng trong quá trình dao động có \(F_{đmax}/F_{đmin} = 7/3\). Biên độ dao động của vật bằng 10 cm. Lấy \(g = 10m/s^2 = \pi ^2m/s^2\). Tần số dao động của vật bằng
    • 0,628 Hz.
    • 1 Hz.
    • 2 Hz.
    • 0,5 Hz.
    Hướng dẫn giải:

    Do \(\exists\) tỉ số \(F_{đmax}/F_{đmin} = 7/3\) => \(F_{đh min} \neq 0\). Khi đó biểu thức lực đàn hồi lớn nhất và nhỏ nhất là
    \(F_{đh max} = k(\Delta l +A) .(1)\)
    \(F_{đh min} = k(\Delta l -A).(2)\)
    => \(\frac{\Delta l + A}{\Delta l -A} = \frac{7}{3}\)
    => \(4\Delta l = 10 A\)
    => \(\Delta l = \frac{10}{4}A = 25cm.\)
    Tần số: \(f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{\Delta l}} = \frac{1}{2\sqrt{\Delta l }} = 1 Hz.\)