1. Phương trình một ẩn + Phương trình một ẩn số x là mệnh đề chứa biến có dạng: $f(x) = g(x)$ (1) trong đó f(x), g(x) là các biểu thức cùng biến số x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình. + Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện của biến x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa. + Nếu có số x0 thỏa mãn ĐKXĐ và $f(x_0) = g(x_0)$ là mệnh đề đúng thì ta nói số x0 nghiệm đúng phương trình (1) hay x0 là một nghiệm của phương trình (1). Một phương trình có thể có nghiệm, có thể vô nghiệm. Ví dụ: 2 là một nghiệm của phương trình: $2 = 3x – x2$. 2. Phương trình trương đương Hai phương trình $f_1(x) = g_1(x)$ (1) $f_2(x) = g_2(x)$ (2) đươc gọi là tương đương, kí hiệu $f_1(x) = g_1(x)$ ⇔ $f_2(x) = g_2(x)$ nếu các tập nghiệm của (1) và (2) bằng nhau. Định lí: a) Nếu h(x) là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình f(x) = g(x) thì $f(x) + h(x) = g(x) + h(x) ⇔ f(x) = g(x)$ b) Nếu h(x) thỏa mãn ĐKXĐ và khác 0 với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ thì f(x).h(x) = g(x).h(x) ⇔ f(x) = g(x) $ \frac{f(x)}{h(x)}=\frac{g(x)}{h(x)} ⇔ f(x) = g(x)$. 3. Phương trình hệ quả Phương trình f2(x) = g2(x) là phương trình hệ quả của phương trình $f_1(x) = g_1(x)$, kí hiệu $f_1(x) = g_1(x)$ => $f_2(x) = g_2(x)$ nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai. Ví dụ: $2x = 3 – x$ => $(x-1)(x+2)=0$.
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt{x}=\sqrt{-x}\) là 0 1 2 vô số Hướng dẫn giải: Điều kiện có nghĩa của phương trình là \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\-x\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=0\). Dễ thấy \(x=0\)thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (\(x=0\))
Số nghiệm của phương trình \(\left|x\right|=-x\) là 0 1 2 vô số Hướng dẫn giải: Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có \(\left|x\right|=-x\) đúng với mọi \(x\le0\) nên phương trình có vô số nghiệm.
Số nghiệm của phương trình \(\left|x-1\right|=x-1\) là 0 1 2 vô số Hướng dẫn giải: Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có \(\left|x-1\right|=\left(x-1\right)\) đúng với mọi \(x-1\ge0\) nên phương trình có vô số nghiệm.
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\left(1-x\right)\left(x-2\right)\) là 0 1 2 vô số Hướng dẫn giải: Đặt \(u=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\) thì phương trình có dạng \(\sqrt{u}=-u\Leftrightarrow\sqrt{u}+u=0\) Chú ý rằng điều kiện có nghĩa là \(u\ge0\). Mặt khác, theo định nghĩa căn số học bậc hai thì \(\sqrt{u}\ge0\) nên \(\sqrt{u}+u\ge0,\forall u\ge0\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(u=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)\(\Leftrightarrow x=1;x=2\). Phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt{-x^2+6x-9}+\left(1-x\right)\left(x-2\right)=0\) là 0 1 2 vô số Hướng dẫn giải: Điều kiện có nghĩa \(-x^2+6x-9\ge0\Leftrightarrow-\left(x-3\right)^2\ge0\Leftrightarrow\)\(\left(x-3\right)^2=0\Leftrightarrow x=3\). Do đó mọi \(x\ne3\) đều không là nghiệm của phương trình. Mặt khác khi \(x=3\) thì vế trái phương trình có giá trị bằng -2 nên \(x=3\) cũng phải là nghiệm. Phương trình đã cho vô nghiệm.
Tìm tập nghiệm của phương trình \(\left(x^2-3x+2\right)\sqrt{x-2}=0\) \(S=\varnothing\) \(S=\left\{1\right\}\) \(S=\left\{2\right\}\) \(S=\left\{1;2\right\}\) Hướng dẫn giải: Điều kiện có nghĩa: \(x-2\ge0\Leftrightarrow x\ge2\). Phương trình đã cho được nghiệm đúng trong 2 trường hợp sau: a) \(\sqrt{x-2}=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)(thỏa mãn điều kiện) b) \(x^2-3x+2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow x-2=0\)(do \(x-1>0,\forall x\ge2\)). Phương trình có nghiệm duy nhất \(x=2\). Tập nghiệm là \(S=\left\{2\right\}\)
Tìm tập nghiệm của phương trình \(\left(x^2-9\right)\sqrt{x-2}=0\) \(S=\varnothing\) \(S=\left\{2\right\}\) \(S=\left\{2;3\right\}\) \(S=\left\{-3;2;3\right\}\) Hướng dẫn giải: Khi \(x=-3\) thì vế trái phương trình vô nghĩa nên \(x=-3\) không phải là nghiệm. Khi \(x=2,x=3\) thì vế trái phương trình có giá trị 0 nên \(x=2,x=3\) đều là nghiệm. Vậy đáp số đúng là \(S=\left\{2;3\right\}\)
Điều kiện của phương trình \(\dfrac{2x^2+x\sqrt{2x-3}}{x+2}=3+x-\sqrt{7-x}\) là \(x\ne-2\) \(x\le\dfrac{7}{4}\) \(x\ge\dfrac{3}{2}\) \(\dfrac{3}{2}\le x\le\dfrac{7}{4}\) Hướng dẫn giải: Điều kiện của phương trình là \(\left\{{}\begin{matrix}2x-3\ge0\\x+2\ne0\\7-4x\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\x\ne-2\\x\le\dfrac{7}{4}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}\le x\le\dfrac{7}{4}\)
Điều kiện của phương trình \(\dfrac{4x+3}{\sqrt{3x+2}}=\dfrac{2}{x^2}+\sqrt{2-x}\) là \(x\ne0\) \(x\le2\) \(x>-\dfrac{2}{3}\) \(-\dfrac{2}{3}< x\le2,x\ne0\) Hướng dẫn giải: Điều kiện của phương trình là \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3x+2}\ne0\\x^2\ne0\\2-x\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x>-\dfrac{2}{3}\\x\ne0\\x\le2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{2}{3}< x\le2,x\ne0\)
