I. Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng: Hệ phương trình đối xứng là hệ mà khi thay x bởi y vày bởi x thì hệ không thay đổi. II. Phương pháp giải: - Đặt \(\begin{cases}x+y=S\\xy=P\end{cases}\) (điều kiện \(S^2\ge4P\)) - Đưa hệ về ẩn S và P, tìm S và P - x và y là nghiệm của phương trình: \(x^2-Sx+P=0\) III. Các ví dụ: 1) Ví dụ 1: Giải hệ \(\begin{cases}x+y=1-2xy\\x^2+y^2=1\end{cases}\) Đây là hệ đối xứng đối với x và y. Đặt \(x+y=S\), \(xy=P\), (điều kiện \(S^2\ge4P\)), ta có \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=S^2-2P\) Hệ đã cho trở thành: \(\begin{cases}S=1-2P\\S^2-2P=1\end{cases}\) Thế S từ phương trình trên vào phương trình dưới ta được phương trình chỉ có nghiệm P: \(\left(1-2P\right)^2-2P=1\), hay là: \(4p^2-6P=0\), suy ra P = 0 hoặc P = 3/2 +) Với P = 0, suy ra S = 1 - 2P = 1, vậy x + y = 1, xy =0, hệ có nghiệm: \(\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\) +) Với P = 3/2, suy ra S = 1 - 2P = -2, không thỏa mã điệu kiện \(S^2\ge4P\) Kết luận: Nghiệm của hệ là (1,0) và (0,1). 2) Ví dụ 2: Giải hệ: \(\begin{cases}x^2+y^2-x+y=2\\xy+x-y=-1\end{cases}\) Nếu đặt u = -x thì hệ sẽ đối xứng đối với y và u: \(\begin{cases}u^2+y^2+u+y=2\\-uy-\left(u+y\right)=-1\end{cases}\) Đặt S = u + y và P = uy, đưa về hệ: \(\begin{cases}S^2-2P+S=2\\-P-S=-1\end{cases}\) Rút P từ phương trình dưới, thay vào phương trình đầu để tìm S. Sau đó tìm được P , sau đó tìm y, u và cuối cùng lấy x = -u. Các nghiệm là: \(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\) ; \(\begin{cases}x=-1\\y=0\end{cases}\)
