SỰ BIẾN THIÊN CHU KÌ NHỎ CỦA CON LẮC ĐƠN 1. Phương pháp gần đúng - Một trong những câu nói yêu thích của người học vật lý là "nhỏ quá thì bỏ qua", thể hiện một sự mềm mại trong tư duy giải các bài toán vật lý. Điều đó có nghĩa là, khi tính toán mà gặp những giá trị nhỏ quá thì ta được phép bỏ đi để kết quả bài toán gọn gàng, đẹp hơn. - Cơ sở của phương pháp: Với một giá trị \(x\) rất nhỏ (\(x<<\)) thì \(x^n\approx0\)(với \(n>1\)) + Ví dụ: \(x=0,001\) thì \(x^2=0,000001\) \(\Rightarrow x+x^2=0,001001\), rõ ràng khi lấy gần đúng cho dù đến 5 chữ số phần thập phân thì \(x+x^2=0,001\) + Có nghĩa là: \(x+x^2\approx x\) - Một số kết quả áp dụng: (với điều kiện \(x<<\)) + \(\left(1+x\right)^2=1+2x+x^2\approx1+2x\) + \(\left(1+x\right)^3=1+3x+3x^2+x^3\approx1+3x\) + Tổng quát: \(\boxed{(1+x)^n\approx1+n.x}\) [1] + \(\sin x\approx x\) + \(\tan x\approx x\) + \(e^x\approx1+x\) 2. Sự biến thiên chu kì nhỏ của con lắc đơn - Chu kì của con lắc đơn: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\) \(\Rightarrow T\) phụ thuộc vào chiều dài \(\ell\)và gia tốc trọng trường \(g\) - Các yếu tố làm thay đổi \(\ell\) và \(g\) + Nhiệt độ môi trường: Khi nhiệt độ môi trường thay đổi \(\Delta t\) thì chiều dài thay đổi \(\Delta \ell = \ell_0.\alpha.\Delta t\)(\(\ell_0\) là chiều dài ban đầu) + Thay đổi độ cao: \(g=g_0\frac{R^2}{\left(R+h\right)^2}\), trong đó: \(g_0\)là gia tốc trọng trường ở mặt đất, \(R\) là bán kính trái đất, \(g\) là gia tốc trọng trường ở độ cao \(h\) + Thay đổi trực tiếp chiều dài \(\ell\)bằng cách tăng hoặc giảm một lượng \(\Delta \ell \ll\ell\) - Như vậy, bằng cách thay đổi nhiệt độ, hoặc độ cao thì chu kì \(T\) sẽ thay đổi theo (với một lượng rất nhỏ), tuy nhiên khi xét trong thời gian dài (như trong một ngày đêm) thì sự thay đổi này sẽ là đáng kể. 3. Bài toán về đồng hồ quả lắc - Đồng hồ quả lắc, hay đồng hồ cơ hoạt động dựa trên năng lượng được cung cấp từ dây cót và được điều khiển bằng quả lắc đồng hồ. Quả lắc dao động nhanh thì đồng hồ chạy nhanh, và ngược lại. - Bài toán: Do sự thay đổi độ cao, hoặc nhiệt độ làm cho chu kì của con lắc đồng hồ thay đổi. Ta phải tìm xem trong một ngày đêm thì đồng hồ sẽ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu, hoặc phải điều chỉnh chiều dài con lắc như thế nào để đồng hồ chạy đúng giờ. - Hướng dẫn giải: + Giả sử đồng hồ đang chạy đúng giờ ở trên mặt đất và ở nhiệt độ \(t\) nào đó + Chu kì chạy đúng giờ: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\) + Nếu chiều dài thay đổi thành \(\ell'=\ell+\Delta \ell\) \(T'=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell'}{g}}\) \(\frac{T'}{T}=\sqrt{\frac{\text{ℓ}'}{\text{ℓ}}}=\sqrt{\frac{\text{ℓ}+\Delta\text{ℓ}}{\text{ℓ}}}=\left(1+\frac{\Delta\text{ℓ}}{\text{ℓ}}\right)^{\frac{1}{2}}\)\(\simeq1+\frac{1}{2}\frac{\Delta\text{ℓ}}{\text{ℓ}}\)(áp dụng [1]) \(\Leftrightarrow\frac{T'}{T}-1=\frac{1}{2}\frac{\Delta\text{ℓ}}{\text{ℓ}}\)\(\boxed{\Leftrightarrow \Delta T=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\Delta \ell}{\ell}.T}\)[2] Với chu kì đúng là T, ta cần số dao động mà đồng hồ thực hiện trong một ngày đêm là: \(\dfrac{24.3600}{T}\), mà mỗi dao động thì thời gian chạy sai là \(\Delta T\) (theo [2]). Do vậy, tổng thời gian đồng hồ chạy sai trong một ngày đêm là: \(\dfrac{24.3600}{T}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{\Delta \ell}{\ell}.T=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\Delta \ell}{\ell}.24.3600\) [3] + Áp dụng trường hợp chiều dài thay đổi do tăng nhiệt độ \(\Delta t\): \(\Delta\text{ℓ}=\text{ℓ}.\alpha.\Delta t\)\(\Rightarrow\frac{\Delta\text{ℓ}}{\text{ℓ}}=\alpha\Delta t\) Thế vào [3] ta có thời gian đồng hồ chạy chậm trong một ngày đêm là: \(\frac{1}{2}\alpha.\Delta t.24.3600\) Khi giảm nhiệt độ thì đồng hồ chạy nhanh như công thức trên. + Nếu gia tốc trọng trường thay đổi thành \(g'=g+\Delta g\) \(T'=2\pi\sqrt{\frac{\text{ℓ}}{g'}}\) \(\frac{T'}{T}=\sqrt{\frac{g}{g'}}=\sqrt{\frac{g}{g+\Delta g}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\Delta g}{g}}}=\left(1+\frac{\Delta g}{g}\right)^{-\frac{1}{2}}\)\(\simeq1-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}\) \(\Leftrightarrow\frac{\Delta T}{T}=-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}\) Tương tự lí luận ở trên, tổng thời gian đồng hồ chạy sai trong một ngày đêm là: \(-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}.24.3600\) [4](dấu '-' có nghĩa là khi g tăng thì đồng hồ chạy nhanh) + Áp dụng trong trường hợp thay đổi độ cao \(g'=g\frac{R^2}{\left(R+h\right)^2}\)\(\Rightarrow\frac{g'}{g}=\left(1+\frac{h}{R}\right)^{-2}\simeq1-\frac{2h}{R}\)\(\Rightarrow\frac{\Delta g}{g}=-\frac{2h}{R}\) Thế vào [4] ta được khi lên cao thì đồng hồ chạy chậm: \(\frac{h}{R}.24.3600\) 4. Kết luận - Như vậy, chúng ta cần nhớ và áp dụng một số kết quả sau: + Khi chiều dài tăng \(\Delta\ell\) (rất nhỏ so với \(\ell\)) thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm \(\dfrac{1}{2}.\dfrac{\Delta \ell}{\ell}.24.3600\) + Khi nhiệt độ tăng \(\Delta t\) thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm \(\dfrac{1}{2}\alpha.\Delta t.24.3600\) (\(\alpha\) là hệ số nở dài) + Khi gia tốc trọng trường tăng \(\Delta g\) thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh \(\dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta g}{g}.24.3600\) + Khi lên cao \(h\) thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm: \(\dfrac{h}{R}.24.3600\) - Khi giảm chiều dài, giảm nhiệt độ, giảm gia tốc trọng trường thì kết quả ngược lại. - Chúng ta không cần quan tâm bài toán đem con lắc xuống sâu dưới lòng đất.
Khi đưa một con lắc đơn lên cao theo phương thẳng đứng (coi chiều dài của con lắc không đổi) thì tần số dao động điều hoà của nó sẽ giảm vì gia tốc trọng trường giảm theo độ cao. tăng vì chu kỳ dao động điều hoà của nó giảm. tăng vì tần số dao động điều hoà của nó tỉ lệ nghịch với gia tốc trọng trường. không đổi vì chu kỳ dao động điều hoà của nó không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường
Khi đưa một con lắc đơn lên cao theo phương thẳng đứng (coi chiều dài của con lắc không đổi) thì tần số dao động điều hoà của nó sẽ giảm vì gia tốc trọng trường giảm theo độ cao. tăng vì chu kỳ dao động điều hoà của nó giảm. tăng vì tần số dao động điều hoà của nó tỉ lệ nghịch với gia tốc trọng trường. không đổi vì chu kỳ dao động điều hoà của nó không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường
Một con lắc đơn có chiều dài \(l\) và chu kì \(T\). Nếu tăng chiều dài con lắc thêm một đoạn nhỏ \(\Delta l\). Tìm sự thay đổi \(\Delta T\) của chu kì con lắc theo các đại lượng đã cho \(\Delta T = T\sqrt{\frac {\Delta l}{2l}} \Delta l\) \(\Delta T = T\sqrt{\frac {\Delta l}{2l}}\) \(\Delta T = \frac {T}{2l} .\Delta l\) \(\Delta T = \frac T l\Delta l\)
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất. Biết bán kính Trái Đất là 6400km và coi nhiệt độ không ảnh hưởng đến chu kì của con lắc. Đưa đồng hồ lên đỉnh núi cao 640m so với mặt đất thì mỗi ngày đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? nhanh 17,28s. chậm 17,28s. nhanh 8,64s. chậm 8,64s.
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất ở nhiệt độ \(25^0C\). Biết hệ số nở dài dây treo con lắc là \(\alpha = 2.10^{-5}K^{-1}\). Khi nhiệt độ ở đó là \(20^0C\) thì sau một ngày đêm, đồng hồ sẽ chạy như thế nào? chậm 8,64s. nhanh 8,64s. chậm 4,32s. nhanh 4,32s.
Con lắc của một đồng hồ quả lắc có chu kì \(2s\) ở nhiệt độ \(29^0C\). Nếu tăng nhiệt độ lên đến \(33^0C\) thì đồng hồ đó trong một ngày đêm chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? Cho hệ số nở dài là \(\alpha = 1,7.10^{-5}K^{-1}\). nhanh 2,94s. chậm 2,94s. nhanh 2,49s. chậm 2,49s.
Một đồng hồ quả lắc chạy nhanh \(8,64s\) trong một ngày tại một nơi trên mặt biển và ở nhiệt độ \(10^0C\). Thanh treo con lắc có hệ số nở dài \(\alpha = 2.10^{-5}K^{-1}\). Cùng vị trí đó, đồng hồ chạy đúng ở nhiệt độ là \(20^0C\). \(15^0C\). \(5^0C\). \(0^0C\).
Khối lượng trái đất lớn hơn khối lượng mặt trăng 81 lần. Đường kính của trái đất lớn hơn đường kính mặt trăng 3,7 lần. Đem một con lắc đơn từ trái đất lên mặt trăng thì chu kì dao động thay đổi như thế nào? Chu kì tăng lên 3 lần. Chu kì giảm đi 3 lần. Chu kì tăng lên 2,43 lần. Chu kì giảm đi 2,43 lần.
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất ở nhiệt độ \(17^0C\). Đưa đồng hồ lên đỉnh núi cao \(h = 640 m\) thì đồng hồ quả lắc vẫn chỉ đúng giờ. Biết hệ số nở dài dây treo con lắc là \(\alpha = 4.10^{-5}K^{-1}\). Nhiệt độ ở đỉnh núi là \(17,5^0C\). \(14,5^0C\). \(12^0C\). \(7^0C\).