Tổng hợp lý thuyết Điểm thuộc đồ thị hàm số

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    A. KIẾN THỨC CƠ SỞ
    + Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Điểm A thuộc \(\left( C \right)\): tham số điểm \(A(t;f(t)\).
    + Cho điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\). : Tọa độ \(A\) thỏa mãn phương trình của \(\left( C \right)\) (tức thay vào phương trình \(\left( C \right)\).

    B. CÁC DẠNG CƠ BẢN
    1. Tìm điểm cố định của họ đồ thị \(\left( {{C_m}} \right):y = f\left( {x,m} \right)\)
    \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định của \(\left( {{C_m}} \right)\)
    \( \Leftrightarrow \) \(M \in \left( {{C_m}} \right)\;\forall m\)
    \( \Leftrightarrow \) \(Am + B = 0\;\forall m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = ...\\{y_0} = ...\end{array} \right.\)
    Ví dụ: Tìm điểm cố định của họ đường cong \(({C_m}):y = m{x^3} - 3{x^2} - mx + 3\)
    Hướng dẫn: Gọi \(M({x_0};{y_0})\) là điểm cố định của \(({C_m})\) khi và chỉ khi \({y_0} = m(x_0^3 - {x_0}) - 3x_0^2 + 3\;\;\forall m\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^3 - {x_0} = 0\\{y_0} = - 3x_0^2 + 3\end{array} \right.\) . Vậy họ đồ thị có 3 điểm cố định là \((0;3)\;,\;( - 1;0)\) và \((1;0)\).
    2. Tìm điểm \(A,B \in \left( C \right):y = f\left( x \right)\) thỏa mãn điều kiện K nào đó
    + Tham số điểm \(A,B\):
    Vì \(A,B \in (C) \Rightarrow A({t_1},f({t_1}));\;B({t_2};f({t_2}))\)
    + Điều kiện K \( \Leftrightarrow \) phương trình, hệ phương trình ẩn \({t_1},{t_2}\)
    + Giải phương trình, hệ phương trình được \({t_1},{t_2}\).
    Ví dụ:Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị \((C)\).
    a. Tìm điểm \(M\) trên \((C)\) sao cho \(IM\) ngắn nhất (Với \(I\) là giao hai tiệm cận)
    b. Tìm điểm \(M\) trên \((C)\) sao cho tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.
    c. Tìm \(M,N\) thuộc 2 nhánh đồ thị sao cho khoảng cách \(MN\) ngắn nhất
    Hướng dẫn: Xem ví dụ trên