PHƯƠNG TRÌNH MŨPhương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa. Phương trình mũ cơ bản: \({a^x} = m\) với \(0 < a \ne 1\). + Nếu \(m \le 0\) thì phương trình vô nghiệm. + Nếu \(m > 0\) thì \({a^x} = m \Leftrightarrow x = {\log _a}m\). Ví dụ mở đầu:Giải các phương trình sau: a) \({10^x} = 1.\) b) \({2^x} = 8.\) c) \({4^x} = - 4.\) d) \({e^x} = 5.\) e) \({3^x} = 2.\) f) \({3^x} = \frac{1}{{27}}.\) g) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = 9.\) h) \({5^{{x^2} - 5x + 1}} = 1.\) i) \({5^{\frac{1}{{{2^x}}}}} = 1.\)Lời giải: a) \({10^x} = 1 \Leftrightarrow x = \log 1 = 0.\) b) \({2^x} = 8 \Leftrightarrow x = {\log _2}8 = 3.\) c) \({4^x} = - 4\) vô nghiệm, vì \({4^x} > 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}.\) d) \({e^x} = 5 \Leftrightarrow x = \ln 5.\) e) \({3^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _3}2.\) f) \({3^x} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow x = {\log _3}\left( {\frac{1}{{27}}} \right) \Leftrightarrow x = {\log _3}{3^{ - 3}} = - 3.\) g) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = 9 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{1}{2}}}9 \Leftrightarrow x = - {\log _2}9 \Leftrightarrow x = - 2{\log _2}3.\) h) \({5^{{x^2} - 5x + 1}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 1 = {\log _5}1 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2}.\) i) \({5^{\frac{1}{{{2^x}}}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{{2^x}}} = {\log _5}1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = 0\) vô nghiệm, vì \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}.\) MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶPDẠNG 1: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 1. Phương pháp Loại 1: Cơ số a là hằng số thỏa mãn: \(0 < a \ne 1\) + \({a^{f\left( x \right)}} = {a^b} \Leftrightarrow f\left( x \right) = b\). + \({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\). Loại 2: Cơ số a có chứa ẩn: \({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a \ne 1\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\left( {a - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = 0\end{array} \right..\)2. Bài tập trắc nghiệm Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình \({x^{\log 4}} + {4^{\log {\rm{x}}}} = 32\) là A. \(x = 100.\) B. \(x = 10;{\rm{ }}x = 100.\) C. \(x = 10.\) D. \(x = 20;{\rm{ }}x = 100.\) Hướng dẫn : \({x^{\log 4}} = {4^{\log x}}\) nên PT \( \Leftrightarrow {4^{\log x}} = 16 \Leftrightarrow \log x = 2 \Leftrightarrow x = 100\) Ví dụ 2. Nghiệm của phương trình \({3^{x - 4}} = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^{3x - 1}}\) là A. \(x = \frac{1}{3}.\) B. \(x = 1.\) C. \(x = \frac{6}{7}.\) D. \(x = \frac{7}{6}.\) Hướng dẫn: PT tương đương \({3^{x - 4}} = {3^{ - 2(3x - 1)}} \Leftrightarrow x - 4 = - 6x + 2 \Leftrightarrow x = \frac{6}{7}\) Ví dụ 3. Nghiệm của phương trình \({5^{\left| {4x - 6} \right|}} = {25^{3x - 4}}\) là A. \(x = 1.\) B. \(x = 2.\) C. \(x = \frac{{14}}{5}.\) D. \(x = \frac{7}{5}.\) Hướng dẫn: PT tương đương \({5^{\left| {4x - 6} \right|}} = {5^{6x - 8}} \Leftrightarrow \left| {4x - 6} \right| = 6x - 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x - 8 \ge 0\\4x - 6 = \pm (6x - 8)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{7}{5}\) Ví dụ 4. Tập nghiệm của phương trình \({\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{x + 1}} = {125^{2x}}\) bằng A. \(\left\{ 1 \right\}.\) B. \(\left\{ 4 \right\}.\) C. \(\left\{ { - \frac{1}{4}} \right\}.\) D. \(\left\{ { - \frac{1}{8}} \right\}.\) Đáp số: \(x = - \frac{1}{4}\) Ví dụ 5. Gọi \({x_1},{x_2}\) lần lượt là hai nghiệm của phương trình \({7^{x + 1}} = {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} - 2x - 3}}\). Khi đó \(x_1^2 + x_2^2\) bằng A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Hướng dẫn: PT tương đương \(x + 1 = - {x^2} + 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = 2\end{array} \right.\) . Vậy \(x_1^2 + x_2^2 = 5\) Ví dụ 6. Nghiệm của phương trình \({5^{x + 1}} - {5^x} = {2.2^x} + {8.2^x}\) là A. \(x = {\log _{\frac{5}{2}}}4.\) B. \(x = {\log _{\frac{5}{2}}}\frac{8}{3}.\) C. \(x = 1.\) D. \(x = {\log _{\frac{5}{2}}}\frac{5}{3}.\) Hướng dẫn: PT tương đương \({4.5^x} = {10.2^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x = 1\) Ví dụ 7. Phương trình \({7.3^{x + 1}} - {5^{x + 2}} = {3^{x + 4}} - {5^{x + 3}}\) có nghiệm là A. \(x = - 1.\) B. \(x = 1.\) C. \(x = - 2.\) D. \(x = 2.\) Hướng dẫn: Tương tự câu 6, đáp số \(x = - 1\) Ví dụ 8. Phương trình \({7^{\lg x}} - {5^{\lg x + 1}} = {3.5^{\lg x - 1}} - {13.7^{\lg x - 1}}\) có nghiệm là A. \(x = 100.\) B. \(x = 1.\) C. \(x = 10.\) D. \(x = \frac{1}{{10}}.\) Hướng dẫn: PT tương đương \(\left( {1 + \frac{{13}}{7}} \right){.7^{\log x}} = \left( {5 + \frac{3}{5}} \right){.5^{\log x}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{7}} \right)^{\log x - 1}} = \frac{5}{7}\)\( \Leftrightarrow \log x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 100\) Ví dụ 9.Nghiệm của phương trình \({8^{\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}}} = 0,25.{\left( {\sqrt 2 } \right)^{7x}}\) là A. \(x = - 1;\,\,x = \frac{2}{7}.\) B. \(x = - 1,\,\,x = - \frac{2}{7}.\) C. \(x = 1,\,\,x = - \frac{2}{7}.\) D. \(x = 1,\,\,x = \frac{2}{7}.\) Hướng dẫn: Đưa về cơ số 2, tương tự ví dụ trên được \(x = 1;x = \frac{2}{7}\) Ví dụ 10. Nghiệm của phương trình \(0,{125.4^{2x - 3}} = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{8}} \right)^{ - x}}\) là A. \(x = 4.\) B. \(x = 5.\) C. \(x = 6.\) D. \(x = 7.\) Đáp số: \(x = 6\) DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA 1. Phương pháp Với phương trình không cùng cơ số dạng: \({a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( f \right)}}\) (a, b dương, khác 1 và nguyên tố cùng nhau). Lấy lôgarit cơ số a (hoặc b) cho hai vế, ta được: \({a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( f \right)}} \Leftrightarrow {\log _a}\left[ {{a^{f\left( x \right)}}} \right] = {\log _a}\left[ {{b^{g\left( f \right)}}} \right] \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right).{\log _a}b\) Chú ý: Ø Một số phương trình ta nên rút gọn trước khi lấy lôgarit cả 2 vế. Ø Phương trình có cơ số khác nhau nhưng số mũ bằng nhau: \(m.{a^{f\left( x \right)}} = n.{b^{f\left( x \right)}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}} = \frac{n}{m} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _{\frac{a}{b}}}\frac{n}{m}\) (vì \(\left( {{b^{f\left( x \right)}} > 0} \right)\) )2. Bài tập trắc nghiệm Ví dụ 11. Giải phương trình \({3^{{4^x}}} = {4^{{3^x}}}\), ta có tập nghiệm là A. \(\left\{ {{{\log }_{\frac{3}{4}}}\left( {{{\log }_3}4} \right)} \right\}.\) B. \(\left\{ {{{\log }_{\frac{2}{3}}}\left( {{{\log }_3}2} \right)} \right\}\) C. \(\left\{ {{{\log }_{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_4}3} \right)} \right\}\) D. \(\left\{ {{{\log }_{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right)} \right\}.\) Hướng dẫn: logarit cơ số 3 hai vế được \({4^x} = {3^x}{\log _3}4 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = {\log _3}4 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{4}{3}}}({\log _3}4)\) Ví dụ 12. Nghiệm của phương trình \({3^{x - 1}}{.5^{\frac{{2x - 2}}{x}}} = 15\) là A. \(x = 1.\) B. \(x = 2;{\rm{ }}x = - {\log _3}5.\) C. \(x = 4.\) D. \(x = 3;{\rm{ }}x = {\log _3}5.\) Hướng dẫn: Lograrit cơ số 3 hai vế được \(x - 1 + \frac{{2x - 2}}{x}{\log _3}5 = 1 + {\log _3}5\)\( \Leftrightarrow x - 2 + \frac{{x - 2}}{x}{\log _3}5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - {\log _3}5\end{array} \right.\) Ví dụ 13. Nghiệm của phương trình \(9.{x^{{{\log }_9}x}} = {x^2}\) là A. \(x = 12.\) B. \(x = 9.\) C. \(x = 6.\) D. \(x = 3.\) Hướng dẫn: Logarit cơ số 9 hai vế ta được \(1 + {\log _9}x.{\log _9}x = 2{\log _9}x \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_9}x - 1} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow x = 9\) Ví dụ 14. Giải phương trình \({2^{{x^2} - 2x}} = 3\), ta có tập nghiệm bằng A. \(\left\{ {1 + \sqrt {1 + {{\log }_2}3} ;1 - \sqrt {1 + {{\log }_2}3} } \right\}.\) B. \(\left\{ { - 1 + \sqrt {1 + {{\log }_2}3} ; - 1 - \sqrt {1 + {{\log }_2}3} } \right\}.\) C. \(\left\{ {1 + \sqrt {1 - {{\log }_2}3} ;1 - \sqrt {1 - {{\log }_2}3} } \right\}.\) D. \(\left\{ { - 1 + \sqrt {1 - {{\log }_2}3} ; - 1 - \sqrt {1 - {{\log }_2}3} } \right\}.\) Hướng dẫn: Logarit cơ số 2 hai vế được \({x^2} - 2x - {\log _2}3 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt {1 + {{\log }_2}3} \) Ví dụ 15. Giải phương trình \({2^{{x^2} - 1}} = {5^{x + 1}}\), ta có tập nghiệm bằng A. \(\left\{ {1;1 - {{\log }_2}5} \right\}.\) B. \(\left\{ { - 1;1 + {{\log }_2}5} \right\}.\) C. \(\left\{ { - 1;1 - {{\log }_2}5} \right\}.\) D. \(\left\{ {1; - 1 + {{\log }_2}5} \right\}.\) Hướng dẫn: Logarit cơ số 2 hai vế được \({x^2} - 1 = (x + 1){\log _2}5\)\( \Leftrightarrow (x + 1)(x - 1 - {\log _2}5) = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 1;1 + {\log _2}5\) . Ví dụ 16. Cho phương trình \({x^{\log x}} = 1000{x^2}\). Tích các nghiệm của phương trình là bao nhiêu? A. 10. B. 1. C. 100. D. 1000. Hướng dẫn: Logarit cơ số 10 hai vế được \({\left( {\log x} \right)^2} = 3 + 2\log x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log x = - 1\\\log x = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {10^{ - 1}}\\x = {10^3}\end{array} \right.\) . Vậy tích hai nghiệm này là \({10^2} = 100\) . DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Loại 1: Phương trình dạng \({\rm{P}}\left( {{a^{f\left( x \right)}}} \right) = 0\) 1. Phương pháp + Đặt \(t = {a^{f\left( x \right)}}\), điều kiện \(t > 0\). + Phương trình đã cho trở thành: \({\rm{P}}\left( t \right) = 0\).2. Bài tập trắc nghiệm Ví dụ 17. Phương trình \({9^x} - {3.3^x} + 2 = 0\) có hai nghiêm \({x_1},{x_2},{\rm{ }}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Giá trị của \({\rm{A}} = 2{x_1} + 3{x_2}\) bằng A. 0. B. \(4{\log _2}3.\) C. \(3{\log _3}2.\) D. 2. Hướng dẫn: Đặt \(t = {3^x}\;\;(t > 0)\) được \({t^2} - 3t + 2 = 0\) . Đáp số \(A = 3{\log _3}2\) Ví dụ 18. Nghiệm của phương trình \({e^{6x}} - 3{e^{3x}} + 2 = 0\) là A. \(x = 0;{\rm{ }}x = \frac{1}{3}\ln 2.\) B. \(x = - 1;{\rm{ }}x = \frac{1}{3}\ln 2.\) C. \(x = - 1;{\rm{ }}x = 0.\) D. Đáp án khác. Hướng dẫn: Đặt \({e^{3x}} = t\) được pt như ví dụ trên. Đáp số \(x = 0;x = \frac{1}{3}\ln 2\) Ví dụ 19. Nghiệm của phương trình \({3^{2 + x}} + {3^{2 - x}} = 30\) là A. \(x = 0.\) B. Phương trình vô nghiệm. C. \(x = 3.\) D. \(x = \pm 1.\) Hướng dẫn: Đặt \({3^x} = t \Rightarrow 9t + \frac{9}{t} = 30\) . Đáp số \(x = \pm 1\) Ví dụ 20. Giải phương trình \({\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^x} - 3.{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} + 2 = 0\), ta có tập nghiệm bằng A. \(\left\{ { - 2;2} \right\}.\) B. \(\left\{ {1;0} \right\}.\) C. \(\left\{ 0 \right\}.\) D. \(\left\{ {1;2} \right\}.\) Hướng dẫn: \(t = {(2 + \sqrt 3 )^x} \Rightarrow {(2 - \sqrt 3 )^x} = \frac{1}{t}\) và \({(7 + 4\sqrt 3 )^x} = {t^2}\) . Ta có phương trình \({t^2} - \frac{3}{t} + 2 = 0 \Leftrightarrow {t^3} + 2t - 3 = 0\) . Đáp số \(x = 0\) . Ví dụ 21. Phương trình \({5^{x - 1}} + 5.0,{2^{x - 2}} = 26\) có tổng các nghiệm là A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Hướng dẫn: Thấy \(0.2 = {5^{ - 1}}\) do đó đặt \({5^{x - 1}} = t \Rightarrow 0,{2^{x - 2}} = \frac{1}{{{5^{x - 2}}}} = \frac{5}{t}\) . Vậy ta có phương trình \(t + \frac{{25}}{t} = 26 \Leftrightarrow {t^2} - 26t + 25 = 0 \Rightarrow {t_1}.{t_2} = 25 \Rightarrow {5^{{x_1} - 1 + {x_2} - 1}} = 25\) . Vậy \({x_1} + {x_2} = 4\). Ví dụ 22. Phương trình \({3^{2x + 1}} - {4.3^x} + 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}\), chọn phát biểu đúng. A. \(2{x_1} + {x_2} = 0.\) B.\({x_1} + 2{x_2} = - 1.\) C. \({x_1} + {x_2} = - 2.\) D. \({x_1}.{x_2} = - 1.\) Hướng dẫn: Đặt \({3^x} = t \Rightarrow 3{t^2} - 4t + 1 = 0\) . Đáp số \({x_1} + 2{x_2} = - 1\) Ví dụ 23. Phương trình \({4^{{x^2} - x}} + {2^{{x^2} - x + 1}} = 3\) có nghiệm A. \(x = 1;{\rm{ }}x = 2.\) B. \(x = - 1;{\rm{ }}x = 1.\) C. \(x = 0;{\rm{ }}x = 1.\) D. \(x = - 1;{\rm{ }}x = 0.\) Hướng dẫn: Đặt \({2^{{x^2} - x}} = t \Rightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0\) Loại 2: Phương trình dạng \(m.{a^{2.f\left( x \right)}} + n.{\left( {a.b} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2.f\left( x \right)}} = 0\) 1. Phương pháp Chia cả 2 vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất (thông thường chia cả 2 vế cho cơ số nhỏ nhất). Ví dụ: Chia cả 2 vế cho \({b^{2.f\left( x \right)}}\), ta được: \(m.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^{2.f\left( x \right)}} + n.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}} + p = 0 \) \( \Leftrightarrow m.{\left[ {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{f\left( x \right)}}} \right]^2} + n.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}} + p = 0{\rm{ }}\left( * \right)\) Đặt \(t = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}}\) điều kiện \(t > 0\). Khi đó, phương trình \(\left( * \right)\) trở thành: \(m.{t^2} + n.t + p = 0\)2. Bài tập trắc nghiệm Ví dụ 24. Phương trình \({9^{x + 1}} - {6^{x + 1}} = {3.4^x}\)có bao nhiêu nghiệm? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Hướng dẫn: Chia hai vế cho \({4^x}\) được \({\left( {\frac{9}{4}} \right)^x} - 6{\left( {\frac{6}{4}} \right)^x} - 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 6t - 3 = 0\) với \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} > 0\) . Do phương trình ẩn \(t\) có 2 nghiệm trái dấu nên phương trình đã co có 1 nghiệm duy nhất. Ví dụ 25. Phương trình \(64.9^x - {84.12^x} + {27.16^x} = 0\) có nghiệm là A. \(x = 1;{\rm{ }}x = 2.\) B. \(x = \frac{9}{{16}};{\rm{ }}x = \frac{3}{4}.\) C. \(x = - 1;{\rm{ }}x = - 2.\) D. Vô nghiệm. Hướng dẫn: Chia hai vế cho \({16^x}\) được \(64{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2x}} - 84{\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} + 27 = 0\) Ví dụ 26. Phương trình \(6.2^{2x} - {13.6^x} + {6.3^{2x}} = 0\) có tập nghiệm là tập con của tập A. \(\left\{ { - \frac{3}{2}; - 1;4;5} \right\}.\) B. \(\left\{ { - \frac{2}{3}; - 1;\frac{1}{3};2} \right\}.\) C. \(\left\{ { - 4; - 3;1;0} \right\}.\) D. \(\left\{ { - 2; - 1;1;3} \right\}.\) Hướng dẫn: Chia hai vế cho \({3^{2x}}\) rồi đặt \(t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\) . Ví dụ 27. Phương trình \({4^{ - \frac{1}{x}}} + {6^{ - \frac{1}{x}}} = {9^{ - \frac{1}{x}}}\) có nghiệm là A. \(x = {\log _{\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}}}\frac{3}{2}.\) B. \(x = {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right).\) C. \(x = {\log _{\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}}}\frac{2}{3}.\) D. \(x = {\log _{\frac{3}{2}}}\left( {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right).\) Hướng dẫn: Chia 2 vế cho \({9^{ - \frac{1}{x}}}\) rồi đặt \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} = t\) Ví dụ 28. Phương trình \({3.8^x} + {4.12^x} - {18^x} - {2.27^x} = 0\) có tập nghiệm là A. \(\left\{ 1 \right\}.\) B. \(\left\{ { - 1;1} \right\}.\) C. \(\left\{ {0;1} \right\}.\) D. \(\emptyset .\) Hướng dẫn: Chia hai vế cho \({27^x}\) rồi đặt \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = t\) được \(3{t^3} + 4{t^2} - t - 27 = 0\) Ví dụ 29. Nghiệm của phương trình: \({4^{{{\log }_2}2x}} - {x^{{{\log }_2}6}} = {2.3^{{{\log }_2}4{x^2}}}\) là A. \(x = 0;\,x = \frac{1}{4}.\) B. \(x = \frac{1}{4}.\) C. \(x = - \frac{2}{3}.\) D. Vô nghiệm. Hướng dẫn: Sử dụng \({x^{{{\log }_2}6}} = {6^{{{\log }_2}x}};\;{\log _2}4{x^2} = 2 + 2{\log _2}x\)và \({\log _2}2x = 1 + {\log _2}x\) ta được \({4.4^{{{\log }_2}x}} - {6^{{{\log }_2}x}} - {18.3^{2{{\log }_2}x}} = 0\) . Chia hai vế cho \({3^{2{{\log }_2}x}}\) tức \({9^{{{\log }_2}x}}\) rồi đặt \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\log }_2}x}} = t\) thì ta có phương trình \(4{t^2} - t - 18 = 0\). Loại 3: Phương trình dạng \({a^{f\left( x \right)}} + {b^{f\left( x \right)}} = c\) với \(a.b = 1\) 1. Phương pháp Đặt \(t = {a^{f\left( x \right)}},{\rm{ }}\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {b^{f\left( x \right)}} = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{{a^{f\left( x \right)}}}} = \frac{1}{t}\) Mở rộng: Khi \(a.b = {m^2} \Leftrightarrow \frac{a}{m}.\frac{b}{m} = 1\). Khi đó, ta chia cả 2 về phương trình cho \(m^{f\left( x \right)}\) để nhận được phương trình: \[\left( \frac{a}{m} \right)^{f(x)} + \left( \frac{b}{m} \right)^{f(x)} = c\] Đặt \(t=\left(\frac{a}{m}\right)^{f(x)} \Rightarrow \left(\frac{b}{m}\right)^{f(x)} = \frac{1}{t}\) \(\Rightarrow t+\frac{1}{t}=c \to t \to x\).2. Bài tập trắc nghiệm Ví dụ 30. Phương trình \({\left( {\sqrt {5 + \sqrt {24} } } \right)^x} + {\left( {\sqrt {5 - \sqrt {24} } } \right)^x} = 10\) có nghiệm là A. \(x = \pm 2.\) B. \(x = \pm 1.\) C. \(x = \pm 4.\) D. \(x = \pm \frac{1}{2}.\) Hướng dẫn: Đặt \({\left( {\sqrt {5 + \sqrt {24} } } \right)^x} = t \Rightarrow {\left( {\sqrt {5 - \sqrt {24} } } \right)^x} = \frac{1}{t}\) . Ta có phương trình \(t + \frac{1}{t} = 10 \Leftrightarrow {t^2} - 10t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5 + \sqrt {24} \\t = 5 - \sqrt {24} \end{array} \right.\) . Vậy \(x = \pm 2\). Ví dụ 31. Phương trình \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} + {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} - 2\sqrt 2 = 0\) có tích các nghiệm bằng A. \( - \)1. B. 1. C. 0. D. 2. Hướng dẫn: Đặt \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} = t \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} = \frac{1}{t}\) . Ta có phương trình \(t + \frac{1}{t} - 2\sqrt 2 = 0\) Ví dụ 32. Phương trình \({\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = {7.2^x}\) có tập nghiệm là A. \(\left\{ { - 1;1} \right\}.\) B. \(\left\{ {\frac{1}{2};4} \right\}.\) C. \(\left\{ {\frac{1}{2};2} \right\}.\) D. \(\left\{ { - 2;2} \right\}.\) Hướng dẫn: Chia hai vế cho \({2^x}\) được \({\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 7\) . Đặt \({\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = t\) ta được phương trình \(t + \frac{1}{t} = 7\) . Ví dụ 33. Phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = m\)có nghiệm khi A. \(m \in \left( { - \infty ;5} \right).\) B. \(m \in \left( { - \infty ;5} \right].\) C. \(m \in \left( {2; + \infty } \right).\) D. \(m \in \left[ {2; + \infty } \right).\) Hướng dẫn: Đặt \(t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = t > 0 \Rightarrow m = t + \frac{1}{t}\) . Phương trình có nghiệm khi \(m\) thuộc miền giá trị của hàm \(f(t) = t + \frac{1}{t}\) trên \((0; + \infty )\) . Khảo sát hàm này dễ thấy \(m \in {\rm{[}}2; + \infty )\). Loại 4: Phương trình dạng\(\alpha .{a^{f\left( x \right)}} + \left[ \begin{array}{l}{a^{f\left( x \right)}}.{a^{g\left( x \right)}} = {a^{f\left( x \right) + g\left( x \right)}}\\ \frac{{{a^{f\left( x \right)}}}}{{{a^{g\left( x \right)}}}} = {a^{f\left( x \right) - g\left( x \right)}}\end{array} \right. + \beta .{a^{g\left( x \right)}} + b = 0\) 1. Phương pháp Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {a^{f\left( x \right)}}\\v = {a^{g\left( x \right)}}\end{array} \right.\) (điều kiện \(u > 0,v > 0\)) đưa phương trình đã cho về phương trình dạng thuần nhất (để đưa về phương trình tích) hoặc hệ. Chú ý: Khi đưa về phương trình thuần nhất thì sau đó ta khéo léo biến đổi đưa phương trình đó về phương trình tích.2. Bài tập trắc nghiệm Ví dụ 34. Phương trình \({4^{2{x^2}}} - {2.4^{{x^2} + x}} + {4^{2x}} = 0\) có tích các nghiệm bằng A. 0. B. 1. C. –1. D. 2. Hướng dẫn: Đặt \({4^{{x^2}}} = a;\;{4^x} = b\) ta được \({a^2} - 2ab + {b^2} = 0 \Leftrightarrow a = b\)\( \Leftrightarrow {x^2} = x\) Ví dụ 35. Cho phương trình \({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 - {x^2}}} - 1 = {2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\). Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là bao nhiêu? A. 0. B. 1. C. 4. D. 2. Hướng dẫn: Đặt \({2^{2{x^2} + 2x}} = a;\;{2^{1 - {x^2}}} = b\) ta có \(a + b - 1 = ab \Leftrightarrow (a - 1)(b - 1) = 0\). Từ đây tìm được \(x = 0; \pm 1\) . Vậy tổng các nghiệm bằng \(0\). Ví dụ 36. Giải phương trình \({2^{2.\sqrt {x + 3} - x}} - {5.2^{\sqrt {x + 3} + 1}} + {2^{x + 4}} = 0\) ta được tập nghiệm bằng A. \(\left\{ { - 3;6} \right\}.\) B. \(\left\{ {1;6} \right\}.\) C. \(\left\{ { - 3; - 2} \right\}.\) D. \(\left\{ { - 3; - 2;1} \right\}.\) Hướng dẫn: Đặt \({2^{2\sqrt {x + 3} - x}} = a;\;{2^{\sqrt {x + 3} + 1}} = b\) suy ra \(\frac{{{b^2}}}{a} = {2^{2\sqrt {x + 2} + 2 - 2\sqrt {x + 3} + x}} = {2^{x + 2}} \Rightarrow {2^{x + 4}} = 4\frac{{{b^2}}}{a}\) . Vậy ta có phương trình \(a - 5b + 4\frac{{{b^2}}}{a} = 0 \Leftrightarrow 4{\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} - 5\left( {\frac{b}{a}} \right) + 1 = 0\) . Lưu ý \(\frac{b}{a} = {2^{ - \sqrt {x + 3} + x + 1}}\). Đến đây bài toán có thể dễ dàng giải tiếp. Đáp số \(x = - 3; - 2;1\) . Ví dụ 37. Phương trình \({3^{{x^2} - 2x - 3}} + {3^{{x^2} - 3x + 2}} = {3^{2{x^2} - 5x - 1}} + 1\) A. vô nghiệm. B. có hai nghiệm thực phân biệt. C. có ba nghiệm thực phân biệt. D. có bốn nghiệm thực phân biệt. Hướng dẫn: Đặt \({3^{{x^2} - 2x - 3}} = a;\;{3^{{x^2} - 3x + 2}} = b\) ta có: \(a + b = ab + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\) . Từ đây ta giải được 4 nghiệm của phương trình. Loại 5: Một số loại đặt ẩn phụ khác Ví dụ 38. Phương trình \(\sqrt {{3^x} + 6} = {3^x}\) có tập nghiệm là A. \(\left\{ { - 1;1} \right\}.\) B. \(\left\{ 1 \right\}.\) C. \(\left\{ { - 1;0} \right\}.\) D. \(\left\{ {0;1} \right\}.\) Hướng dẫn: Đặt \({3^x} = t\), ta được phương trình \(\sqrt {t + 6} = t\;(t > 0)\) Ví dụ 39. Phương trình \(\sqrt {{2^x} + 2} + \sqrt {18 - {2^x}} = 6\) có tập nghiệm là A. \(\left\{ {1;{{\log }_2}12} \right\}.\) B. \(\left\{ {1;{{\log }_2}10} \right\}.\) C. \(\left\{ {1;4} \right\}.\) D. \(\left\{ {1;{{\log }_2}14} \right\}.\) Hướng dẫn: Đặt \({2^x} = t\) ta được phương trình \(\sqrt {t + 2} + \sqrt {18 - t} = 6\). DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN Ví dụ 40. Phương trình \({8.3^x} + {3.2^x} = 24 + {6^x}\) có tổng các nghiệm bằng A. 4. B. 6. C. 2. D. 3. Hướng dẫn: Đặt \({3^x} = a;\;{2^x} = b\) ta có \(8a + 3b = 24 + ab \Leftrightarrow (a - 3)(b - 8) = 0\) \(a = 3 \Leftrightarrow x = 1\) ; \(b = 8 \Leftrightarrow x = 3\) . Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 4. Ví dụ 41. Phương trình \({6^x} + 8 = {2^{x + 1}} + {4.3^x}\;\) có tập nghiệm là A. \(\left\{ {1;{{\log }_3}4} \right\}.\) B. \(\left\{ {2;{{\log }_3}2} \right\}.\) C.\(\left\{ {2;{{\log }_3}3} \right\}.\) D.\(\left\{ {1;2} \right\}.\) Hướng dẫn: Đặt \({3^x} = a;\;{2^x} = b\) ta có \(ab + 8 = 2b + 4a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 4\\a = 2\end{array} \right.\) Ví dụ 42. Phương trình \({x^2}{.2^{x + 1}} + {2^{\left| {x - 3} \right| + 2}} = {x^2}{.2^{\left| {x - 3} \right| + 4}} + {2^{x - 1}}\) có nghiệm là A. \(x = \pm \frac{1}{2};{\rm{ }}x \ge 3.\) B. \(x = \pm 1;{\rm{ }}x < 3.\) C.\(x = \pm \frac{1}{4};{\rm{ }}x < 3.\) D. Một kết quả khác. Hướng dẫn: PT tương đương \({x^2}\left( {{2^{x + 1}} - {2^{\left| {x - 3} \right| + 4}}} \right) - \frac{1}{4}\left( {{2^{x + 1}} - {2^{\left| {x - 3} \right| + 4}}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \frac{1}{2}\\x + 1 = \left| {x - 3} \right| + 4 \Leftrightarrow x - 3 = \left| {x - 3} \right| \Leftrightarrow x \ge 3\end{array} \right.\) Ví dụ 43. Phương trình \(8 - x{.2^x} + {2^{3 - x}} - x = 0\) có tập nghiệm là A. \(\left\{ { - 1;0} \right\}.\) B. \(\left\{ 0 \right\}.\) C. \(\left\{ 1 \right\}.\) D. \(\left\{ 2 \right\}.\) Hướng dẫn: PT tương đương \({2^{3 - x}}({2^x} + 1) - x({2^x} + 1) = 0 \Leftrightarrow {2^{3 - x}} = x\) . Phương trình cuối cùng có một bên là hàm nghịch biến và một bên là hàm đồng biến nên nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Mà thấy \(x = 2\) là nghiệm, vậy \(x = 2\) là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 44. Phương trình \({4^x} + \left( {x - 8} \right){.2^x} + 12 - 2x = 0\) có tập nghiệm là A. \(\left\{ {1;3} \right\}.\) B. \(\left\{ { - 1;1} \right\}.\) C. \(\left\{ {1;2} \right\}.\) D. \(\left\{ {2;3} \right\}.\) Hướng dẫn: PT tương đương \(x({2^x} - 2) + {4^x} - {8.2^x} + 12 = 0\)\( \Leftrightarrow x({2^x} - 2) + ({2^x} - 6)({2^x} - 2) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 2\\x + {2^x} - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\) Ví dụ 45. Phương trình \(\left( {x + 4} \right){.9^x} - \left( {x + 5} \right){.3^x} + 1 = 0\) có tập nghiệm là A. \(\left\{ { - 1;0} \right\}.\) B. \(\left\{ {0;2} \right\}.\) C. \(\left\{ {0;1} \right\}.\) D. \(\left\{ { - 1;1} \right\}.\) Hướng dẫn: PT tương đương \(x{.3^x}({3^x} - 1) + {4.9^x} - {5.3^x} + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow x{.3^x}({3^x} - 1) + ({3^x} - 1)({4.3^x} - 1) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\\x{.3^x} + {4.3^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow {3^x} = \frac{1}{{x + 4}} \Leftrightarrow x = - 1\end{array} \right.\) . DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Phương pháp Hướng 1: Thực hiện các bước sau: + Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: \(f\left( x \right) = k\) (k là hằng số). + Bước 2: Chứng minh hàm số \(y = f\left( x \right)\) đơn điệu \( \Rightarrow \) phương trình \(f\left( x \right) = k\) có nghiệm duy nhất + Bước 3: Nhẩm nghiệm \({x_0}\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = k.\) + Bước 4: Kết luận \(x = {x_0}\) là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng 2: Thực hiện các bước sau: + Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: \(f\left( x \right) = g\left( x \right).\) + Bước 2: Chứng minh hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến và hàm số \(y = g\left( x \right)\) là hàm nghịch biến \( \Rightarrow \) phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có nghiệm duy nhất + Bước 3: Nhẩm nghiệm \({x_0}\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = g\left( {{x_0}} \right).\) + Bước 4: Kết luận \(x = {x_0}\) là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng 3 [Phương pháp hàm đặc trưng]: Thực hiện các bước sau: + Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: \(f\left( u \right) = g\left( v \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}u = u\left( x \right)\\v = v\left( x \right)\end{array} \right..\) + Bước 2: Chứng minh hàm số \(y = f\left( x \right)\) đơn điệu. Khi đó: \(f\left( u \right) = g\left( v \right) \Leftrightarrow u = v\)2. Bài tập trắc nghiệm Ví dụ 46. Phương trình \({3^{x + 1}} = 10 - x\) có tập nghiệm là A. \(\left\{ {1;2} \right\}.\) B. \(\left\{ { - 1;1} \right\}.\) C. \(\left\{ 1 \right\}.\) D. \(\left\{ 2 \right\}.\) Hướng dẫn: Một bên đồng biến một bên nghịch biến nên phương trình có tối đa 1 nghiệm. Nhẩm được \(x = 1\) là nghiệm nên đó là nghiệm duy nhất. Ví dụ 47. Cho phương trình \({4^x} = 3x + 1\). A. Phương trình đã cho có nghiệm \(x = 0.\) B. Phương trình có đúng 2 nghiệm \(x = 0;{\rm{ }}x = 1.\) C. Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1.\) D. Phương trình có nhiều hơn 2 nghiệm. Hướng dẫn: Hàm số \(y = {4^x} - 3x - 1\) có \(y' = {4^x}\ln 4 - 3\) có nghiệm duy nhất nên phương trình \(y = 0\) có tối đa 2 nghiệm. Mà nhẩm được \(x = 0;x = 1\) là 2 nghiệm. Ví dụ 48. Phương trình \({3^{ - x}} = \frac{1}{3}x + 1\) có bao nhiêu nghiệm? A. 2 nghiệm. B. Vô nghiệm. C. 1 nghiệm. D. Vô số nghiệm. Hướng dẫn: Vế trái là hàm nghịc biến, vế phải là hàm đồng biến nên có tối đa 1 nghiệm. Nhẩm được \(x = 0\) là nghiệm duy nhất. Ví dụ 49. Giải phương trình \({3^x} + {6^x} = {2^x}\). Ta có tập nghiệm là A. \(\left\{ 1 \right\}.\) B. \(\left\{ 2 \right\}.\) C. \(\emptyset .\) D. \(\left\{ { - 1} \right\}.\) Hướng dẫn: Chia hai vế cho \({2^x}\) được \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{1}} \right)^x} = 1\) . Vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm hằng nên phương trình có tối đa 1 nghiệm. Nhẩm thấy \(x = - 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 50. Số nghiệm của phương trình \({4^x} + {6^x} = 25x + 2\) là A. 3. B. 1. C. 0. D. 2. Hướng dẫn: Xét hàm \(f(x) = {4^x} + {6^x} - 25x - 2 \Rightarrow f'(x) = {4^x}\ln 4 + {6^x}\ln 6 - 25\) . Do \(f'(x)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(f'(x)\) có không quá 1 nghiệm, cho nên \(f(x)\) có không quá 2 nghiệm. Mặt khác, ta nhẩm được 2 nghiệm là \(x = 0;x = 2\). BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨBất phương trình mũ cơ bản: Là bất phương trình có một trong các dạng sau: \(\left\langle \begin{array}{l}{a^x} > m\\{a^x} \ge m\\{a^x} < m\\{a^x} \le m\end{array} \right.\) với \(0 < a \ne 1.\) Trong vấn đề này cần lưu ý: Định lí: Cho \(0 < a \ne 1\) và \(b,c > 0\): + Khi \(a > 1\) thì \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c.\) + Khi \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c.\) Hệ quả:Cho \(0 < a \ne 1\) và \(b,c > 0\): + Khi \(a > 1\) thì \({\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b > 1.\) + Khi \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b < 1.\) Chú ý:Sử dụng kiến thức sau để xử lí các bài toán chứa tham số. + \(A\left( m \right) \le f\left( x \right)\) có nghiệm trên D \( \Leftrightarrow A\left( m \right) \le \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right).\) + \(A\left( m \right) \le f\left( x \right)\) nghiệm đúng \(\forall x \in D \Leftrightarrow A\left( m \right) \le \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right).\) + \(A\left( m \right) \ge f\left( x \right)\)có nghiệm trên D \( \Leftrightarrow A\left( m \right) \ge \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right).\) + \(A\left( m \right) \ge f\left( x \right)\) nghiệm đúng \(\forall x \in D \Leftrightarrow A\left( m \right) \ge \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right).\) DẠNG 1: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ DẠNG CƠ BẢN 1. Phương pháp Xét bất phương trình \({a^x} > m{\rm{ }}\left( * \right).\) + Nếu \(m \le 0\) thì tập nghiệm là \(S = \mathbb{R}\) (vì \({a^x} > 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)). + Nếu \(m > 0\) thì: \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > {\log _a}m\;\;\;\;{\text{nếu}}\;\;a > 1\\x < {\log _a}m\;\;\;\;{\text{nếu}}\;0 < a < 1\end{array} \right.\)2. Bài tập trắc nghiệm Ví dụ 51. Tập nghiệm của bất phương trình \({5^{\left| {2x - 2} \right|}} > 25\) là A. \(x > 2.\) B. \(\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right..\) C. \(x < 0.\) D. \(0 < x < 2.\) Hướng dẫn: BPT tương đương \(\left| {2x - 2} \right| > 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right.\) Ví dụ 52. Tập nghiệm của bất phương trình \({2^x} + {2^{x + 1}} < 6\) là A. \(\left( { - \infty ;0} \right).\) B. \(\left( { - \infty ;2} \right).\) C. \(\left( { - \infty ;3} \right).\) D. \(\left( { - \infty ;1} \right).\) Hướng dẫn: Vế trái là hàm đồng biến và \(f(1) = 6\) nên bất phương trình tương đương với \(x < 1\) . Ví dụ 53. Nghiệm của bất phương trình \({5^{{{\log }_3}\frac{2}{{x + 2}}}} < 1\) là A. \(x > - 2.\) B. \(x \ne 0.\) C. \(x > 0.\) D. \(x < 0.\) Hướng dẫn: BPT tương đương \({\log _3}\frac{2}{{x + 2}} < 0 \Leftrightarrow 0 < \frac{2}{{x + 2}} < 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\\frac{{ - x}}{{x + 2}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\) Ví dụ 54. Bất phương trình \({2^{{x^2} - x}} \le 4\) có nghiệm A. \( - 2 \le x \le 1.\) B. \(x \le 1.\) C. \(x \le 2.\) D. \( - 1 \le x \le 2.\) Hướng dẫn: BPT tương đương \({x^2} - x \le 2 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\) DẠNG 2: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 1. Phương pháp Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng \({a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}}.\) TH1: Cơ số a là hằng số thỏa mãn \(0 < a \ne 1\): + Nếu \(a > 1\) thì \({a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right).\) + Nếu \(0 < a < 1\) thì \({a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right).\) TH2: Cơ số a có chứa ẩn: \({a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] > 0.\)Như vậy, các phương pháp giải bất phương trình mũ (sau này là logarit) về mặt kỹ thuật và phương pháp tương tự giải phương trình. Chỉ có một điều khác là khi bỏ cơ số để đưa về bất phương trình đại số thì “nhìn” vào cơ số xem nó lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1 để “quyết định” xem giữ nguyên chiều bất đẳng thức hay đảo chiều bất đẳng thức. Các bài tập dưới đây các em học sinh tự làm tương tự phần giải phương trình: 2. Bài tập trắc nghiệm Ví dụ 55. Tập hợp các số x thỏa mãn \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{4x}} \le {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2 - x}}\) là A. \(\left( { - \infty ;\frac{2}{5}} \right].\) B. \(\left[ { - \frac{2}{3}; + \infty } \right).\) C. \(\left[ {\frac{2}{5}; + \infty } \right).\) D. \(\left( { - \infty ;\frac{2}{3}} \right].\) Ví dụ 56. Bất phương trình \({\left( {\sqrt 2 } \right)^{x - 2}} > {2^{x + 3}}\) có tập nghiệm là A. \(\left( {1; + \infty } \right).\) B. \(\left( { - \infty ;0} \right).\) C. \(\left( { - \infty ; - 8} \right).\) D. \(\left( {6; + \infty } \right).\) Ví dụ 57. Nếu \({\left( {\sqrt 6 - \sqrt 5 } \right)^x} > \sqrt 6 + \sqrt 5 \) thì A. \(x > - 1.\) B. \(x > 1.\) C. \(x < - 1.\) D. \(x < 1.\) Ví dụ 58. Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} > {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{x + 2}}\) là A. \(\left( { - 2; + \infty } \right).\) B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\) C.\(\left( { - 1; + \infty } \right).\) D. \(\left( { - \infty ; - 2} \right).\) Ví dụ 59. Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\left( {\sqrt {10} - 3} \right)^{\frac{{3 - x}}{{x - 1}}}} < {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{\frac{{x + 1}}{{x + 3}}}}\) là A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA Ví dụ 60. Bất phương trình \({2^{x + 2}} + {5^{x + 1}} < {2^x} + {5^{x + 2}}\) có nghiệm. A. \(x > {\log _{\frac{5}{2}}}\left( {\frac{{20}}{3}} \right).\) B. \(x < {\log _{\frac{2}{5}}}\left( {\frac{{20}}{3}} \right).\) C. \(x > {\log _{\frac{2}{5}}}\left( {\frac{{20}}{3}} \right).\) D. \(x < {\log _{\frac{5}{2}}}\left( {\frac{{20}}{3}} \right).\) Ví dụ 61. Bất phương trình \({2^{{3^x}}} > {3^{{2^x}}}\) có nghiệm A. \(x < {\log _{\frac{3}{2}}}\left( {{{\log }_2}3} \right).\) B. \(x > {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {{{\log }_2}3} \right).\) C. \(x < {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {{{\log }_2}3} \right).\) D. \(x > {\log _{\frac{3}{2}}}\left( {{{\log }_2}3} \right).\) Ví dụ 62. Bất phương trình \({2^{{x^2} - 2x - 3}} \le {3^{{x^2} - 2x - 3}}\) có nghiệm A. \(\left[ \begin{array}{l}x \le - 3\\x \ge 1\end{array} \right..\) B. \( - 1 \le x \le 3.\) C. \( - 3 \le x \le 1.\) D. \(\left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 3\end{array} \right..\) Ví dụ 63. Bất phương trình \({3^{{x^2} - 1}} \ge {2^{x - 1}}\) có nghiệm A. \({\log _3}2 - 1 \le x \le 1.\) B. \(\left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 1 + {\log _3}2\end{array} \right..\) C. \(1 \le x \le 1 + {\log _3}2.\) D. \(\left[ \begin{array}{l}x \le {\log _3}2 - 1\\x \ge 1\end{array} \right..\) DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Ví dụ 64. Đặt \(t = {5^x}\) thì bất phương trình \({5^{2x}} - {3.5^{x + 2}} + 32 < 0\) trở thành bất phương trình nào sau đây? A. \({t^2} - 75t + 32 < 0.\) B. \({t^2} - 6t + 32 < 0.\) C. \({t^2} - 3t + 32 < 0.\) D. \({t^2} - 16t + 32 < 0.\) Ví dụ 65. Nghiệm của bất phương trình \({32.4^x} - {18.2^x} + 1 < 0\) là A. \(1 < x < 4.\) B. \(\frac{1}{{16}} < x < \frac{1}{2}.\) C. \(2 < x < 4.\) D. \( - 4 < x < - 1.\) Ví dụ 66. Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{2x + 1}} - {10.3^x} + 3 \le 0\) là A. \(\left[ { - 1;1} \right].\) B. \(\left[ { - 1;0} \right).\) C. \(\left( {0;1} \right].\) D. \(\left( { - 1;1} \right).\) Ví dụ 67. Tập nghiệm của bất phương trình \({32.4^x} - {18.2^x} + 1 < 0\)là tập con của tập A. \(\left( { - 5; - 2} \right).\) B. \(\left( { - 4;0} \right).\) C. \(\left( {1;4} \right).\) D. \(\left( { - 3;1} \right).\) Ví dụ 68. Bất phương trình \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{2}{x}}} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{x}}} - 12 > 0\) có tập nghiệm là A. \(\left( {0; + \infty } \right).\) B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\) C. \(\left( { - 1;0} \right).\) D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\) Ví dụ 69. Bất phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} \le 14\) có nghiệm A. \( - 1 \le x \le 1.\) B. \( - 2 \le x \le 2.\) C. \(\left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 1\end{array} \right..\) D. \(\left[ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge 2\end{array} \right..\) DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Phương pháp + Nếu \(f\left( x \right)\) đồng biến trên D và \(\forall u,v \in {\rm{D}}\) thì \(f\left( u \right) > f\left( v \right) \Leftrightarrow u > v.\) + Nếu \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên D và \(\forall u,v \in {\rm{D}}\) thì \(f\left( u \right) > f\left( v \right) \Leftrightarrow u < v.\)2. Bài tập trắc nghiệm Ví dụ 70. Tập nghiệm của bất phương trình \({2^x} > 3 - x\) là A. \(\left( { - \infty ;3} \right).\) B. \(\left( {1; + \infty } \right).\) C. \(\left( { - \infty ;1} \right).\) D. \(\left[ {1; + \infty } \right).\) Ví dụ 71. Bất phương trình \({5^x} + {3^x} > {8^x}\) có nghiệm A. \(x < 1.\) B. \(x > 2.\) C. \(x < 2.\) D. \(x > 1.\) Ví dụ 72. Bất phương trình \({6^x} + 4 < {2^{x + 1}} + {2.3^x}\) có nghiệm A. \({\log _2}3 < x < 1.\) B. \(1 < x < {\log _2}3.\) C. \({\log _3}2 < x < 1.\) D. \(1 < x < {\log _3}2.\) Ví dụ 73. Nghiệm của bất phương trình \({2.2^x} + {3.3^x} - {6^x} + 1 > 0\) là A. \(x < 3.\) B. \(x \ge 2.\) C. \(x \in \infty .\) D. \(x < 2.\) Ví dụ 70. Tập nghiệm của bất phương trình \({4.3^x} - {9.2^x} < {5.6^{\frac{x}{2}}}\) là A. \(\left( { - \infty ;4} \right).\) B. \(\left( {4; + \infty } \right).\) C. \(\left( { - \infty ;5} \right).\) D. \(\left( {5; + \infty } \right).\)
