TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤCA. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu có \(f'\left( x \right) > 0\;\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì ĐB trên \(\left( {a;b} \right)\) \(f'\left( x \right) < 0\;\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì NB trên \(\left( {a;b} \right)\) \(f'\left( x \right) = 0\;\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì hằng (\(y = c\)) trên \(\left( {a;b} \right)\) Chỉ cần xét dấu \(f'\left( x \right)\) để tìm khoảng đơn điệu. ------------------------------------------------------------ Nếu (không đồng nhất bằng 0) thì \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\)\(f'\left( x \right) \ge 0\;\forall x \in \left( {a;b} \right)\) \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right)\)\(f'\left( x \right) \le 0\;\forall x \in \left( {a;b} \right)\)Dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) + \({\rm{\Delta }} \le 0\): \(a.f\left( x \right) \ge 0\;\forall x \in R\) + \({\rm{\Delta }} > 0\): \(a.f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty ;{x_1}) \cup ({x_2}; + \infty )\) \(a.f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in ({x_1};{x_2})\) ------------------------------------------------------ Điều kiện luôn cùng dấu \(f(x) \ge 0\;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\) \(f(x) \le 0\;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\) B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 1. Điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến trên một khoảng Dạng 1: Trên \(\mathbb{R}\) hoặc trên mọi khoảng xác định Hàm phân thức \(f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) \(f'\left( x \right) = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\) + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định \( \Leftrightarrow ad - bc > 0\) + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \( \Leftrightarrow ad - bc < 0\)Hàm bậc 3: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \(f'\left( x \right) = A{x^2} + Bx + C,\;A \ne 0\) + Hàm số đồng biến trên R \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A > 0\\{\Delta _{f'}} \le 0\end{array} \right.\) + Hàm số nghịch biến trên R \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A < 0\\{\Delta _{f'}} \le 0\end{array} \right.\)Ví dụ 1: Tìm \(m\) để hàm số sau đồng biến trên từng khoảng xác định của nó \(y = \frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) Hướng dẫn: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định \( \Leftrightarrow - m.m + 1 > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\) Ví dụ 2: Tìm \(m\) để hàm số sau đồng biến trên \(\mathbb{R}\): \(y = m{x^3} - m{x^2} + (m + 2)x - 6\) + Với \(m = 0\) , có \(y = 3x - 6\) nên \(y' = 3 > 0\;\forall x \in \mathbb{R}\). Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) + Với \(m \ne 0\) , Có \(y' = 3m{x^2} - 2mx + (m + 2)\). Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{m^2} - 3m(m + 2) \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \in ( - \infty ; - 2] \cup [0; + \infty )\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\) + Kết hợp 2 trường hợp được \(m \ge 0\) Dạng 2: Trên \(\left( {a;b} \right) \ne R\) với \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\); \(f'\left( x \right) = A{x^2} + Bx + C\) Cô lập được tham sốtrong \(f'\left( x \right)\)Không cô lập được tham sốtrong \(f'\left( x \right)\)+ \(f'\left( x \right) \ge 0\;\forall x \in \left( {a;b} \right)\) \( \Leftrightarrow g(x) \ge k(m)\;\forall x \in (a;b)\) \( \Leftrightarrow k(m) \le {\min _{[a;b]}}g(x)\) + \(f'\left( x \right) \le 0\;\forall x \in \left( {a;b} \right)\) \( \Leftrightarrow g(x) \le k(m)\;\forall x \in (a;b)\) \( \Leftrightarrow k(m) \ge {\max _{[a;b]}}g(x)\)Gọi \(S\) tập nghiệm của \(A.f'\left( x \right) \ge 0\) thì \(S = \mathbb{R}\)hoặc \(S = \left( { - \infty ;{x_1}} \right] \cup \left[ {{x_2};\infty } \right)\) Khi đó điều kiện: + \(A.f'(x) \ge 0\;\forall x \in (a;b) \Leftrightarrow (a;b) \subset S\) + \(A.f'(x) \le 0\;\forall x \in (a;b) \Leftrightarrow (a;b) \subset ({x_1};{x_2})\)Hàm phân thức \(f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) \(f'\left( x \right) = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\) + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định: \( \Leftrightarrow ad - bc > 0\)và \(-\frac{d}{c} \notin \left( {a;b} \right)\). + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định: \( \Leftrightarrow ad - bc < 0\) và \(-\frac{d}{c} \notin \left( {a;b} \right)\).Ví dụ 1: Tìm \(m\) để hàm số sau đồng biến trên \((\frac{1}{2}; + \infty )\), \(y = \frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) Hướng dẫn: Hàm số đồng biến trên \((\frac{1}{2}; + \infty ) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\m \notin (\frac{1}{2}; + \infty )\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\m \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow - 1 < m \le \frac{1}{2}\) Ví dụ 2:Tìm \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + (m - 2)x + {m^3} + 2\) nghịch biến trên \((0;2)\). Hướng dẫn: Hàm số nghịch biến trên \((0;2)\) khi và chỉ khi \(f'(x) = 3{x^2} - 2x + m - 2 \le 0\;\;\forall x \in (0;2)\), hay \(m \le - 3{x^2} + 2x + 2\;\;\forall x \in (0;2)\)\( \Leftrightarrow m \le {\min _{[0;2]}}( - 3{x^2} + 2x + 2)\) hay \(m \le - 6\) 2. Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức BĐT \[\begin{array}{l}{\min _{[a;b]}}f(x) = m \Rightarrow f(x) > m\;\forall x \in (a;b) \Rightarrow BDT\\{\max _{[a;b]}}f(x) = M \Rightarrow f(x) < M\;\forall x \in (a;b) \Rightarrow BDT\end{array}\] 3. Ứng dụng giải phương trình Nhật xét: Nếu \(f\left( x \right)\) đồng biến (nghịch biến) trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \(f\left( x \right) = 0\) có không quá 1 nghiệm trên \(\left( {a;b} \right)\). Do đó Số nghiệm của phương trìnhkhông quá số khoảng đơn điệu Vậy có cách giải phương trình sử dụng hàm số như sau: Bước 1: Xét tính đơn điệu của \(f\left( x \right)\)suy ra số nghiệm tối đa của phương trình. Bước 2: Nhẩm nghiệm trên mỗi khoảng đơn điệu Bước 3: Tập nghiệm của phương trình. Ví dụ 1: Giải bất phương trình \(x + {\log _2}x > 1\) Hướng dẫn: ta thấy \(f(x) = x + {\log _2}x\) là hàm đồng biến và có \(f(1) = 1\), vậy \(x + {\log _2}x > 1 \Leftrightarrow f(x) > f(1) \Leftrightarrow x > 1\). Ví dụ 2: Giải phương trình \({2^x} = x + 1\) Hướng dẫn: Xét \(f(x) = {2^x} - x - 1 \Rightarrow f'(x) = {2^x}\ln 2 - 1\) . Vì \(f'(x)\) có nghiệm duy nhất nên phương trình \(f(x) = 0\) có không quá 2 nghiệm. Mặt khác nhẩm thấy \(x = 0;\;x = 1\) là 2 nghiệm của phương trình. Do đó, phương trình có đúng hai nghiệm \(x = 0,\;\;x = 1\).
