Cho hàm số \(f\left(x\right)=2^x.7^{x^2}\), khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? \(f\left(x\right)< 1\Leftrightarrow x+x^2log_27< 0\) \(f\left(x\right)< 1\Leftrightarrow x.ln2+x^2ln7< 0\) \(f\left(x\right)< 1\Leftrightarrow x.log_72+x^2< 0\) \(f\left(x\right)< 1\Leftrightarrow1+xlog_27< 0\) Hướng dẫn giải: Từ \(f\left(x\right)=2^x.7^{x^2}< 1\) ta lấy log cơ số 2, cơ số 7 hoặc cơ số e hai vế thì ta được các bất đẳng thức sau: \(x+x^2log_27< 0\) \(x.log_72+x^2< 0\) \(x.ln2+x^2ln7< 0\) Vậy bất đẳng thức sau là sai: \(1+xlog_27< 0\)
Giải bất phương trình \(\log_2\left(3x-1\right)>3\) \(x>3\) \(\frac{1}{3}< x< 3\) \(x< 3\) \(x>\frac{10}{3}\) Hướng dẫn giải: \(\log_2\left(3x-1\right)>3\) \(\Leftrightarrow\log_2\left(3x-1\right)>\log_22^3\) \(\Leftrightarrow3x-1>2^3\) \(\Leftrightarrow x>3\)
Giải bất phương trình: \(\left(\frac{7}{9}\right)^{2x^2-3x}\ge\frac{9}{7}\) \(x\le\frac{1}{2};x\ge1\) \(\frac{1}{2}\le x\le1\) \(\frac{-3-\sqrt{17}}{4}\le x\le\frac{-3+\sqrt{17}}{4}\) \(x\le\frac{-3-\sqrt{17}}{4}\) ; \(x\ge\frac{-3+\sqrt{17}}{4}\) Hướng dẫn giải: \(\left(\frac{7}{9}\right)^{2x^2-3x}\ge\frac{9}{7}\) \(\Leftrightarrow\left(\frac{7}{9}\right)^{2x^2-3x}\ge\left(\frac{7}{9}\right)^{-1}\) \(\Leftrightarrow2x^2-3x\le-1\) (vì \(0< \frac{7}{9}< 1\)) \(\Leftrightarrow2x^2-3x+1\le0\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le x\le1\)
\(2^{-x^2+3x}< 4\) \(x< 1\) hoặc \(x>2\) \(1< x< 2\) \(1< x< 3\) \(x< 1\) hoặc \(x>3\) Hướng dẫn giải: \(2^{-x^2+3x}< 2^2\) \(\Leftrightarrow-x^2+3x< 2\) (do cơ số là 2 > 1) \(\Leftrightarrow-x^2+3x-2< 0\) \(\Leftrightarrow x^2-3x+2>0\) \(\Leftrightarrow x< 1;x>2\)
Giải bất phương trình: \(4^x-3.2^x+2>0\) x < 1 hoặc x > 2 x < 0 hoặc x > 1 x < 0 hoặc x > 2 0 < x < 2 Hướng dẫn giải: Đặt \(t=2^x;t>0\) ta có bất phương trình theo t như sau: \(t^2-3t+2>0\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}t< 1\\t>2\end{array}\right.\) Suy ra: \(\left[\begin{array}{nghiempt}2^x< 1\\2^x>2\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}2^x< 2^0\\2^x>2^1\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x< 0\\x>1\end{array}\right.\)
Giải bất phương trình \(\log_{\frac{1}{5}}\left(3x-5\right)>\log_{\frac{1}{5}}\left(x+1\right)\) \(x< 3\) \(\frac{5}{3}< x< 3\) \(x>3\) Phương trình vô nghiệm Hướng dẫn giải: Điều kiện: \(\begin{cases}3x-5>0\\x+1>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x>\frac{5}{3}\) (*) Khi đó biến đổi bất phương trình đã cho như sau: \(\log_{\frac{1}{5}}\left(3x-5\right)>\log_{\frac{1}{5}}\left(x+1\right)\) \(\Leftrightarrow3x-5< x+1\) (do cơ số \(\frac{1}{5}< 1\), bất đẳng thức đổi chiều) \(\Leftrightarrow x< 3\) Kết hợp với điều kiện (*) ta suy ra nghiệm phương trình là: \(\frac{5}{3}< x< 3\)
Giải bất phương trình \(\log_{0,2}x-\log_5\left(x-2\right)< \log_{0,2}3\) x < 3 x > 3 2 < x < 3 Bất phương trình vô nghiệm Hướng dẫn giải: Điều kiện: \(\begin{cases}x>0\\x-2>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x>2\) Khi đó bất phương trình tương đương với: \(\log_{\frac{1}{5}}x-\log_{\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}}\left(x-2\right)< \log_{\frac{1}{5}}3\) \(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{5}}x-\frac{1}{-1}\log_{\left(\frac{1}{5}\right)}\left(x-2\right)< \log_{\frac{1}{5}}3\) \(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{5}}x+\log_{\left(\frac{1}{5}\right)}\left(x-2\right)< \log_{\frac{1}{5}}3\) \(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{5}}\left[x\left(x-2\right)\right]< \log_{\frac{1}{5}}3\) \(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)>3\) (vì cơ số \(\frac{1}{5}< 1\)) \(\Leftrightarrow x^2-2x-3>0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x< -1\\x>3\end{array}\right.\) Kết hợp với điều kiện (*) ta có đáp số: \(x>3\)
Giải bất phương trình \(\log_3^2x-5\log_3x+6\le0\) \(2\le x\le3\) \(9\le x\le27\) \(0< x\le2\) hoặc \(x\ge3\) \(0< x\le9\) hoặc \(x\ge27\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\log_3x\), ta cần giải bất phương trình bậc 2 theo t: \(t^2-5t+6\le0\)\(\Leftrightarrow2\le t\le3\) Suy ra: \(2\le\log_3x\le3\) \(\Leftrightarrow3^2\le x\le3^3\) \(\Leftrightarrow9\le x\le27\)
Cho hàm số \(g\left(x\right)=\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-5x+7\right)\). Nghiệm của bất phương trình \(g\left(x\right)>0\) là: x > 3 x < 2 hoặc x > 3 2 < x < 3 \(\forall x\in\mathbb{R}\) Hướng dẫn giải: Điều kiện: \(x^2-5x+7>0\) luôn thỏa mã với mọi x vì \(\Delta=5^2-4.7=-3< 0\) \(\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-5x+7\right)>0\) \(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-5x+7\right)>\log_{\frac{1}{2}}1\) \(\Leftrightarrow x^2-5x+7< 1\) (vì cơ số \(0< \frac{1}{2}< 1\)) \(\Leftrightarrow x^2-5x+6< 0\) \(\Leftrightarrow2< x< 3\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\frac{2^x}{5^{x^2-1}}\). Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai ? \(f\left(x\right)>1\Leftrightarrow x>\left(x^2-1\right)\log_25\) \(f\left(x\right)>1\Leftrightarrow\frac{x}{1+\log_25}>\frac{x^2-1}{1+\log_52}\) \(f\left(x\right)>1\Leftrightarrow x.\log_{\frac{1}{3}}2>\left(x^2-1\right)\log_35\) \(f\left(x\right)>1\Leftrightarrow x\ln2< \left(x^2-1\right)\ln5\) Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)>1\) \(\Leftrightarrow\frac{2^x}{5^{x^2-1}}>1\) \(\Leftrightarrow2^x>5^{x^2-1}\) (*) Nếu lấy logarit cơ số 2 hai vế của (*) ta có: (*) \(\Leftrightarrow\log_22^x>\log_25^{x^2-1}\) \(\Leftrightarrow x>\log_25^{x^2-1}\) \(\Leftrightarrow x>\left(x^2-1\right)\log_25\) Nếu lấy logarit cơ số 10 hai vế của (*) ta có: (*) \(\Leftrightarrow\log2^x>\log5^{x^2-1}\) \(\Leftrightarrow x\log2>\left(x^2-1\right)\log5\) \(\Leftrightarrow\frac{x}{\log_210}>\frac{x^2-1}{\log_510}\) \(\Leftrightarrow\frac{x}{\log_2\left(2.5\right)}>\frac{x^2-1}{\log_5\left(2.5\right)}\) \(\Leftrightarrow\frac{x}{1+\log_25}>\frac{x^2-1}{1+\log_52}\) Nếu lấy logarit cơ số 3 hai vế của (*) ta có: (*) \(\Leftrightarrow\log_32^x>\log_35^{x^2-1}\) \(\Leftrightarrow x\log_32>\left(x^2-1\right)\log_35\) Nếu lấy logarit cơ số e hai vế của (*) ta có: (*) \(\Leftrightarrow x\ln2< \left(x^2-1\right)\ln5\)
