1. Định nghĩa. \(z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)\left(r>0\right)\) Trong đó : \(r=\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2},\cos\varphi=\frac{a}{r};\sin\varphi=\frac{b}{r}\) 2. Hai số phức bằng nhau. \(z_1=z_2\Leftrightarrow\begin{cases}r_1=r_2\\\varphi_1=\varphi_2+k2\pi\end{cases}\) 3. Nhân chia hai số phức. Hệ quả : \(z_1z_2=r_1r_2\left(\cos\left(\varphi_1+\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1+\varphi_2\right)\right)\) \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1-\varphi_2\right)\right)\) \(z^2=r^2\left(\cos2\varphi+i\sin2\varphi\right)\) \(\overline{z}=r\left(\cos\left(-\varphi\right)+i\sin\left(-\varphi\right)\right)\) \(\frac{1}{z}=\frac{1}{r}\left(\cos\left(-\varphi\right)+i\sin\left(-\varphi\right)\right)\) 4. Căn bậc hai dạng lượng giác. \(\omega=\pm\sqrt{r}\left(\cos\frac{\varphi}{2}+i\sin\frac{\varphi}{2}\right)\) 5. Công thức Moa-vrơ. \(z^n=r^n\left(\cos n\varphi+i\sin n\varphi\right)\left(n\ge1\right)\) Hệ quả : \(\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^n=\cos n\varphi+i\sin n\varphi\)
Gọi \(\varphi\) là góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM, M là điểm biểu diễn số phức \(z=\left(2-i\right)\left(1+i\right)\). Tính \(sin2\varphi\). 0,8 0,6 -0,8 -0,6 Hướng dẫn giải: Ta có: \(tan\varphi=\dfrac{y}{x}\) trong đó \(M\left(x;y\right)\)là điểm biểu diễn z. Áp dụng công thức \(sin2\varphi=\dfrac{2tan\varphi}{1+tan^2\varphi}\). Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia số phức : \(z=\left(2-i\right)\left(1+i\right)\)\(=\left(2+1\right)+\left(2-1\right)i=3+i\) Số phức z có điểm biểu diễn M(3;1) và \(tan\varphi=\dfrac{1}{3}\). Áp dụng công thức: \(sin2\varphi=\dfrac{2tan\varphi}{1+tan^2\varphi}=\dfrac{6}{10}=0,6.\)
Trên mặt phẳng Oxy điểm M là điểm biểu diễn số phức z = -1 + 2i. Gọi \(\varphi\) là góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM. Tính \(tan2\varphi\). \(\dfrac{-4}{3}\) \(\dfrac{-3}{4}\) \(\dfrac{4}{3}\) \(-1\) Hướng dẫn giải: M(-1;2) nên \(tan\varphi=\dfrac{2}{-1}=-2\). Áp dụng công thức \(tan2\varphi=\dfrac{2tan\varphi}{1-tan^2\varphi}=\dfrac{4}{3}\).
Cho z là số phức thỏa mãn: \(\left(1-i\right)\left(z+2i\right)=2-i+3z\). Gọi M là điểm biểu diễn số phức \(v=\dfrac{z-\overline{z}+1}{z^2}\) và N là điểm thuộc mặt phẳng tọa độ sao cho \(\left(\overrightarrow{Ox};\overrightarrow{ON}\right)=2\varphi;\left|\overrightarrow{ON}\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|\), trong đó \(\varphi=\left(\overrightarrow{Ox};\overrightarrow{OM}\right)\) là góc lượng giác tia đầu Ox; tia cuối OM. Điểm N nằm trong góc phần tư nào? Góc phần tư (I) Góc phần tư (II) Góc phần tư (III) Góc phần tư (IV) Hướng dẫn giải: \(z=\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}i;v=\dfrac{11}{15}-\dfrac{56}{45}i\). Do đó \(M\left(\dfrac{11}{15};\dfrac{-56}{45}\right)\). Do đó: \(tan\varphi=\dfrac{-56}{45}:\dfrac{11}{15}=\dfrac{-56}{33}\). Áp dụng công thức \(sin2\varphi=\dfrac{2tan\varphi}{1+tan^2\varphi};cos2\varphi=\dfrac{1-tan^2\varphi}{1+tan^2\varphi}\). Chú ý rằng \(tan\varphi< -1\) nên ta dễ dàng suy ra \(sin2\varphi< 0;cos2\varphi< 0\). Do đó N thuộc góc phần tư (III).
