HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIANI. Hệ tọa độ, tọa độ của một điểm, tọa độ của một vec tơ 1. Hệ tọa độ: Ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Trên các trục đó lần lượt lấy các vec tơ đơn vị \(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\) . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Oxyz. Ta có: \(\begin{cases}\overrightarrow{i}^2=\overrightarrow{j}^2=\overrightarrow{k}^2=1\\\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{j}=0\end{cases}\) 2. Tọa độ của một điểm: Với một điểm M bất kì, nối OM ta được vec tơ \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{OM}\) có thể biểu diễn bởi: \(\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\) Khi đó bộ ba số (x ; y ; z) được gọi là tọa độ của điểm M trong không gian. 3. Tọa độ của vec tơ Một vec tơ \(\overrightarrow{v}\) trong không gian luôn biểu diễn được thành tổng của ba thành phần \(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\) như sau: \(\overrightarrow{v}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}\) Khi đó bộ ba (a ; b ; c) được gọi là tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{v}\). Chú ý: - Ta có thể dời vec tơ \(\overrightarrow{v}\) sao cho điểm đầu trùng với gốc O của hệ tọa độ (\(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{v}\), khi đó tọa độ của điểm cuối M chính là tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{v}\) (xem hình vẽ dưới) - Tọa độ của điểm N bất kì cũng chính là tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{ON}\) II. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vec tơ Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2;b_3\right)\), khi đó: • Hai vectơ bằng nhau : \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\begin{cases}a_1=b_1\\a_2=b_2\\a_3=b_3\end{cases}\) • Các phép toán vectơ : \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3\right)\) \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3\right)\) \(k\overrightarrow{a}=\left(ka_1;ka_2;ka_3\right)\) • Vec tơ \(\overrightarrow{0}\) có tọa độ là (0 ; 0 ; 0). • Với \(\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\) thì nếu \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\) , hay là: \(\begin{cases}a_1=k.b_1\\a_2=k.b_2\\a_3=k.b_3\end{cases}\) • Với 2 điểm bất kỳ \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\) và \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\) thì vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BA}\) sẽ có tọa độ như sau: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)\) \(\overrightarrow{BA}=\left(x_A-x_B;y_A-y_B;z_A-z_B\right)\) • Với 2 điểm bất kỳ \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\) và \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\) thì tọa độ trung điểm M của AB là: \(\begin{cases}x_M=\frac{1}{2}\left(x_A+x_B\right)\\y_M=\frac{1}{2}\left(y_A+y_B\right)\\z_M=\frac{1}{2}\left(z_A+z_B\right)\end{cases}\) • Với 3 điểm bất kỳ \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\), \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\) và \(C\left(x_C;y_C;z_C\right)\) thì tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: \(\begin{cases}x_G=\frac{1}{3}\left(x_A+x_B+x_C\right)\\y_G=\frac{1}{3}\left(y_A+y_B+y_C\right)\\z_G=\frac{1}{3}\left(z_A+z_B+z_C\right)\end{cases}\) III. Tích vô hướng của hai vec tơ Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2;b_3\right)\), khi đó: • Tích vô hướng của hai vectơ là một số xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) Ứng dụng: • Hai vectơ vuông góc :\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0\) • Độ dài vectơ : \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a^2_2+a^3_3}\) • Góc giữa hai vectơ : \(\cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}\) • Khoảng cách giữa hai điểm \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\) và \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\) là: AB = \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}\) IV. Phương trình mặt cầu Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính r là tập các điểm M(x; y; z) cách I một khoảng r, khi đó x, y, z thỏa mãn: \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=r^2\) Chứng minh: Vì \(IM=\left|\overrightarrow{IM}\right|=r\) nên: \(\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2}=r\) Bình phương hai vế ta được phương trình mặt cầu ở trên.
Cho ba điểm A=(1; -1; 1), B(0; 1; 2) và C(1; 0; 1). Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC? \(G=\left(2;0;4\right)\) \(G=\left(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}\right)\) \(G=\left(0;0;0\right)\) \(G=\left(1;1;1\right)\) Hướng dẫn giải: Trọng tâm G của tam giác ABC là \(G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)\)
Cho hai điểm A(-1 ; 2; -3) và B(3 ; 4 ; 5). Tìm tọa độ trung điểm I của AB. \(I=\left(1;3;1\right)\) \(I=\left(4;2;8\right)\) \(I=\left(2;2;2\right)\) \(I=\left(1;1;1\right)\) Hướng dẫn giải: Trung điểm của AB là \(I=\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)\)
Cho hai điểm A(-1 ; 2; -3) và B(3 ; 4 ; 5). Tìm tọa độ của điểm C đối xứng với A qua B. \(C=\left(4;2;8\right)\) \(C=\left(2;2;2\right)\) \(C=\left(7;6;13\right)\) \(C=\left(-5;0;-11\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi \(C=\left(x_C;y_C;z_C\right)\), vì C đối xứng với A qua B nên ta có: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\) Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_b-z_A\right)=\left(4;2;8\right)\) \(\overrightarrow{BC}=\left(x_C-x_B;y_C-y_B;z_C-z_B\right)=\left(x_C-3;y_C-4;z_C-5\right)\) Vậy ta có: \(\begin{cases}x_C-3=4\\y_C-4=2\\z_C-5=8\end{cases}\) => \(\begin{cases}x_C=7\\y_C=6\\z_C=13\end{cases}\) => C(7;6;13)
Cho A(-1 ; 2 ; 3) và B(1 ; -2; 1). Hãy tìm điểm C trên mặt phẳng xOy sao cho A, B, C thẳng hàng. C = (2; -4 ; 0) C = (0 ; 0 ; 0) C = (0; 0; 4) C = (0; -4 ; 2) Hướng dẫn giải: Điểm C trên mặt phẳng xOy có tọa độ là (x; y; 0). Để A, B, C thẳng hàng thì có số k sao cho: \(\overrightarrow{AC}=k.\overrightarrow{AB}\) => (x + 1; y - 2; -3) = k.(2; -4; -2) => \(\begin{cases}x+1=2.k\\y-2=-4k\\-3=k.\left(-2\right)\end{cases}\) => \(\begin{cases}x=2\\y=-4\\k=\frac{3}{2}\end{cases}\) Vậy C = (2 ; -4; 0)
Cho hai điểm A(2 ; 3; 4) và B(-2; -1; -4). Hãy tìm trên trục Oy điểm C sao cho AC vuông góc với AB. C = (0; 14; 0) C = (0; 12 ; 0) C = (0; 10; 0) C = (0; 13; 0) Hướng dẫn giải: Điểm C nằm trên trục Oy nên C có tọa độ là: (0; y; 0). Để AC vuông góc với AB thì: \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=0\) => \(\left(-2;y-3;-4\right).\left(-4;-4;-8\right)=0\) => 8 - 4(y - 3) + 32 = 0 => y = 13. Vậy C(0; 13; 0)
Cho ABCD là hình bình hành, có các điểm A (1; 0; 1),B (2; 1; 2), D(1; -1; 1) . Xác định tọa độ điểm C. C (0; 2; 0) C (2; 0; 2) C (1; 0; 1) C (4; 0 ; 4) Hướng dẫn giải: Tứ giác ABCD là hình bình hành khi \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\) \(\Leftrightarrow\left(x_C-2;y_C-1;z_C-2\right)=\left(1-1;-1-0;1-1\right)\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_C-2=0\\y_C-1=-1\\z_C-2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_C=2\\y_C=0\\z_C=2\end{cases}\) Vây C ( 2 ; 0 ; 2).
Cho 4 điểm \(A\left(2;5;-4\right),B\left(1;6;3\right),C\left(-4;-1;12\right),D\left(-2;-3;-2\right)\). Tứ giác ABCD là hình gì? Hình bình hành Hình thang Hình chữ nhật Hình vuông Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;7\right),\overrightarrow{AC=}\left(-6;-6;16\right)\) Hai véc tơ này không cùng phương vì tọa độ không tỉ lệ suy ra 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Lại có \(\overrightarrow{DC}=\left(-2;2;14\right)\) => \(\overrightarrow{DC}=2.\overrightarrow{AB}\) Suy ra DC song song AB nên tứ giác ABCD là hình thang. (Nó không là hình bình hành vì nếu là hình bình hành thì \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\))
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có điểm A (1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4,7,5). Tìm tọa độ chân đường phân giác trong góc B. \(D\left(\frac{-2}{3};\frac{11}{3};1\right)\) \(D\left(\frac{2}{3};\frac{11}{3};-1\right)\) \(D\left(\frac{-7}{3};\frac{-19}{3};-1\right)\) \(D\left(\frac{1}{2};1;1\right)\) Hướng dẫn giải: \(AB=\sqrt{\left(2-1\right)^2+\left(-1-2\right)^2+\left(3+1\right)^2}=\sqrt{26}\) \(BC=\sqrt{\left(-4-2\right)^2+\left(7+1\right)^2+\left(5-3\right)^2}=\sqrt{104}\) Gọi D (x, y, z ) là chân đường phân giác vẽ từ đỉnh B. Ta có: \(\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{104}}=\sqrt{\frac{26}{104}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\) Vì D nằm giữa A, C nên \(\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow2\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CD}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}2\left(1-x\right)=x+4\\2\left(2-y\right)=y-7\\2\left(-1-z\right)=z-5\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\y=\frac{11}{3}\\z=1\end{cases}\) Vậy \(D\left(\frac{-2}{3};\frac{11}{3};1\right)\)
Trong mặt phẳng Oxz , tìm điểm M cách đều 3 điểm A (1;1;1), B(-1;1;0), C(3;1;-1) \(M\left(\frac{5}{6};0;\frac{-7}{6}\right)\) \(M\left(0;\frac{5}{6};\frac{7}{6}\right)\) \(M\left(\frac{5}{6};0;\frac{7}{6}\right)\) \(M\left(\frac{5}{6};\frac{7}{6};0\right)\) Hướng dẫn giải: M thuộc Oxz nên M(x; 0; z). Ta có MA = MB = MC \(\Leftrightarrow\begin{cases}AM^2=BM^2\\AM^2=CM^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x-1\right)^2+1+\left(z-1\right)^2=\left(x+1\right)^2+1+z^2\\\left(x-1\right)^2+1+\left(z-1\right)^2=\left(x-3\right)^2+1+\left(z+1\right)^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}4x+2z=1\\4x-4z=8\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{5}{6}\\z=-\frac{7}{6}\end{cases}\) Vậy \(M\left(\frac{5}{6};0;\frac{-7}{6}\right)\).
