KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG 1) Khoảng cách giữa hai điểm A và B được tính theo công thức sau: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$ 2) Khoảng cách giữa điểm $M(x_M,y_M,z_M)$ và mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$ được tính theo công thức sau: $d(M,(P))=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ ----------------CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm trên trục $Oy$ điểm $M$ cách đều hai mặt phẳng $(P):x+y-z+1=0$ và $(Q):x-y+z-5=0$. ĐS: $M(0;2;0)$ Ví dụ 2: Tìm trên trục Oz các điểm cách đều A(2;3;4) và mặt phẳng $(\alpha):2x+3y+z-17=0$. ĐS: $M(0;0;3)$ Ví dụ 3: (Hồng Quang-Hải Dương 2015 L3) Cho $(P):2x-2y+z-3=0$ và $A(-1;2;0)$. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P)$ và cách $A$ một khoảng bằng 2. ĐS: $(Q):2x-2y+z+12=0$ hoặc $(Q):2x-2y+z=0$ Ví dụ 4: (Bảo Thắng 3-Lào Cai 2015) Cho $A(-1;2;-1)$ và mặt phẳng $(\alpha): x+2y-2z-1=0$. Viết phương trình mặt phẳng $(\beta)$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$ sao cho khoảng cách từ $A$ tới $(\alpha)$ bằng khoảng cách từ $A$ tới $(\beta)$. ĐS: $(\beta): x+2y-2z-9=0$ Ví dụ 5: (Chuyên Vĩnh Phúc 2015 L3) Lập phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng (P):x-3y+7z+36=0 và $(Q):2x+y-z-15=0$, đồng thời $(\alpha)$ cách gốc tọa độ một khoảng bằng 2. ĐS: $(R):x-z\pm 2\sqrt{2}=0$ Ví dụ 6: (Chuyên Vĩnh Phúc 2015 L3) Cho $A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3)$. Viết\\ phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $O,C$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $B$ đến $(P)$.\\ ĐS: $(P):2x+y=0$ hoặc $(P):2x-y=0$
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm A(1;-2;3). Tính khoảng cách d từ A đến (P). \(d=\frac{5}{9}\) \(d=\frac{5}{29}\) \(d=\frac{5}{\sqrt{29}}\) \(d=\frac{\sqrt{5}}{3}\) Hướng dẫn giải: K/c d từ A đến (P) tính theo công thức: \(d=\frac{\left|3x_A+4y_A+2z_a+4\right|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\frac{\left|3.1+4.\left(-2\right)+2.3+4\right|}{\sqrt{29}}=\frac{5}{\sqrt{29}}\)
Cho A(1; 1; 3), B(-1; 3; 2), C(-1; 2; ;3). Khoảng cách từ gốc tọa độ O tới (ABC) bằng bao nhiêu? \(3\) \(\frac{21}{\sqrt{41}}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{3}{2}\) Hướng dẫn giải: (ABC) đi qua A và có vecto pháp tuyến là: \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\) . Ta có: \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left[\left(-1-1;3-1;2-3\right),\left(-1-1;2-1;3-3\right)\right]\) \(=\left[\left(-2;2;-1\right),\left(-2;1;0\right)\right]\) \(=\left(\left|\begin{matrix}2&-1\\1&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&-2\\0&-2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2&2\\-2&1\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(1;2;2\right)\) Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1;1;3) và có vecto pháp tuyến là (1;2;2) có phương trình là: \(1.\left(x-1\right)+2\left(y-1\right)+2\left(z-3\right)=0\) \(\Leftrightarrow x+2y+2z-9=0\) Khoảng cách từ O(0;0;0) đến (ABC) bằng: \(\dfrac{\left|0+2.0+2.0-9\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{9}{3}=3\)
Cho tứ diện ABCD có tọa độ các đỉnh: A(1;1;1), B(-2;0;2), C(0;1;-3), D(4; -1; 0) Tính chiều chiều cao hạ từ đỉnh D của tứ diện? \(\frac{39}{\sqrt{186}}\) \(\frac{39}{186}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) Hướng dẫn giải: Chiều dài đường cao DH của tứ diện ABCD là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC). Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left(-3;-1;1\right)\) \(\overrightarrow{AC}=\left(-1;0;-4\right)\) \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{matrix}-1&1\\0&-4\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-3\\-4&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-3&-1\\-1&0\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(4;-13;-1\right)\) Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1;1;1) và nhận \(\overrightarrow{n}\) là vec tơ pháp tuyến, phương trình (ABC) có dạng: \(4\left(x-1\right)-13\left(y-1\right)-1\cdot\left(z-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow4x-13y-z+10=0\) Vậy \(d\left(D,\left(ABC\right)\right)=\frac{\left|4.4-13\left(-1\right)-0+10\right|}{\sqrt{16+169+1}}=\frac{39}{\sqrt{186}}\).
Tìm điểm M nằm trên trục Oy sao cho khoảng cách từ M tới (P) bằng \(\frac{1}{5}\) . Biết (P) có phương trình là 3x + 4y + 5z + 3 = 0. \(M_1\left(0;\frac{\sqrt{2}-3}{4};0\right),M_2\left(0;\frac{-\sqrt{2}-3}{4};0\right)\) \(M_1\left(0;1;0\right),M_2\left(0;-1;0\right)\) \(M_1\left(0;\frac{1}{2};0\right),M_2\left(0;-\frac{1}{2};0\right)\) \(M_1\left(0;\frac{\sqrt{2}}{2};0\right),M_2\left(0;-\frac{\sqrt{2}}{2};0\right)\) Hướng dẫn giải: M thuộc Oy nên M (0; y; 0). \(d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|4y+3\right|}{\sqrt{50}}=\frac{1}{5}\) \(\Leftrightarrow\left|4y+3\right|=\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=\frac{\sqrt{2}-3}{4}\\y=\frac{-\sqrt{2}-3}{4}\end{array}\right.\)
Cho khối lăng trụ đứng ABC.DEF. Biết A( 0; 0; 0 ), B( 0; 3; 0 ), C( 0; 0; 3 ), D(1; 0; 0 ). Gọi G là trọng tâm tam giác DEF. Tính khoảng cách từ trọng tâm G đến ( ABD). 1 2 3 4 Hướng dẫn giải: Gọi K là trọng tâm của tam giác ABC suy ra \(K=\left(\frac{0+0+0}{3};\frac{0+3+0}{3};\frac{0+0+3}{3}\right)=\left(0;1;1\right)\) Nhận xét do đường thẳng GK song song với mặt phẳng (ABD ) nên khoảng cách từ G đến ( ABD ) bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABD). Ta viết phương trình mặt phẳng ABD như sau: \(\overrightarrow{AB}=\left(0-0;3-0;0-0\right)=\left(0;3;0\right)\) \(\overrightarrow{AD}=\left(1-0;0-0;0-0\right)=\left(1;0;0\right)\) VTPT của mặt phẳng ( ABD) là \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right]=\left(\left|\begin{matrix}3&0\\0&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&0\\0&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&3\\1&0\end{matrix}\right|\right)=\left(0;0;-3\right)=-3\left(0;0;1\right)\) Suy ra phương trình mặt phẳng (ABD) đi qua A(0;0;0) và có vecto pháp tuyến là (0;0;1) là: \(0\left(x-0\right)+0\left(y-0\right)+1\left(x-0\right)=0\) \(\Leftrightarrow z=0\) Vậy \(d\left(K;mf\left(ABD\right)\right)=\frac{\left|1\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=1\)
Trong hệ tọa độ Oxyz cho A( 1; 0 ; 0 ), B(0; b ; 0), C(0; 0; c ) , trong đó b, c dương và mặt phẳng (P) \(y-z+1=0\). Xác đinh b, c để (ABC) vuông góc với (P) và khoảng cách từ O đến ( ABC) bằng \(b=c=-\frac{1}{2}\) \(b=c=\frac{1}{2}\) b = c = -1 b = c = 1 Hướng dẫn giải: Vì A nằm trên trục Ox, B nằm trên trục Oy và C nằm trên trục Oz nên phương trình của mặt phẳng ( ABC ) là (phương trình mặt phẳng chắn các trục tọa độ): \(\frac{x}{1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) \(\Leftrightarrow xbc+cy+bz-bc=0\) \(d\left(O;\left(ABC\right)\right)=\frac{1}{3}\Rightarrow\)\(\frac{bc}{\sqrt{b^2c^2+b^2+c^2}}=\frac{1}{3}\) \(\Leftrightarrow9b^2c^2=b^2+c^2+b^2c^2\) (*) (P) : y - z + 1 = 0 có VTPT ( 0; 1; -1 ). (ABC) có VTPT ( bc, c, b) Do ( ABC ) vuông góc ( P ) nên hai vecto pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau. => bc.0 + b - c = 0 suy ra b = c . Thay vào (*) ta tính được \(b=c=\frac{1}{2}\) (chú ý: b, c > 0)
Trong hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) x + y + z - 3 = 0 và mặt phẳng (Q) x - y + z - 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (Q) và (P) và khoảng cách từ O đến R bằng 2. \(x-z+2\sqrt{2}=0,x-z-2\sqrt{2}=0\) \(x-z+2=0,-z-2=0\) \(x+z+2=0,x+z-2=0\) \(x+y+z+2\sqrt{2}=0\), \(x+y+z-2\sqrt{2}=0\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{n\left(P\right)}=\left(1;1;1\right);\overrightarrow{m\left(Q\right)}=\left(1;-1;1\right)\) Do (R) vuông góc với (P) và (Q) nên vec tơ pháp tuyến của R là: \(\overrightarrow{n\left(R\right)}=\left[\overrightarrow{n\left(Q\right)},\overrightarrow{n\left(P\right)}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right|\right)=\left(2;0;-2\right)=2\left(1;0;-1\right)\) Vậy phương trình mặt phẳng (R ) có dạng \(x-z+m=0\) vì \(d\left(O,\left(R\right)\right)=2\) \(\Leftrightarrow\frac{\left|m\right|}{\sqrt{2}}=2\) \(\Leftrightarrow m=\pm2\sqrt{2}.\)
Tính khoảng cách từ điểm (1;2;3) đến mặt phẳng đi qua 3 điểm (1;0;0), (1;2;0), (0;3;0) ? 1 2 3 6 Hướng dẫn giải: Gợi ý: Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1;0;0), B(1;2;0), (0;3;0) là mặt phẳng đi qua A và có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\) Sau khi có phương trình mặt phẳng ta dễ dàng tính được khoảng cách từ D(1;2;3) đến mặt phẳng theo công thức.
Xét mặt phẳng (P) có phương trình \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\), (a, b, c là ba số cho trước khác 0) và điểm \(A=\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}\right)\). Chọn câu đúng ? Điểm A thuộc mặt phẳng (P) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn OA (O là gốc tọa độ) A và O ở về cùng một phía đối với (P) A và O ở khác phía đối với (P) nhưng không cách đều (P)
