1. Định nghĩa - Mặt cầu S(O;R) = {M| OM = R}. Mặt cầu là hình tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay quanh đường thẳng chứa một đường kính của đường tròn đó. - Khối cầu S(O;R) = {M|\(OM\le R\)}. Khối cầu là hình tròn xoay sinh bởi một hình tròn khi quay quanh đường thẳng chứa một đường kính của hình tròn đó. 2. Ví trí tương đối của mặt cầu a. Vị trí tương đối của mặt cầu với một điểm Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A. Khi đó: - Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu. - Nếu OA = R thì điểm A thuộc mặt cầu. - Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu. b. Vị trí tương đối của mặt cầu với một đường thẳng Cho mặt cầu S(O;R) và một đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d. Khi đó: - Nếu OH < R thì d cắt (S) tại hai điểm phân biệt AB và \(AB=2\sqrt{R^2-OH^2}\). - Nếu OH = R thì d tiếp xúc với (S) tại H. Các đường thẳng tiếp xúc với (S) tại H nằm trên tiếp diện với mặt cầu tại H. - Nếu OH > R thì d không cắt mặt cầu. c. Vị trí tương đối của mặt cầu với một mặt phẳng Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (P). Đặt OH = d. Khi đó: - Nếu d < R thì giao của (S) và (P) là đường tròn nằm trên (P) và có tâm H và bán kính \(r=\sqrt{R^2-d^2}\). - Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại H. (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu tại tiếp điểm H. - Nếu OH > R thì (P) không cắt mặt cầu. 3. Tiếp tuyến - tiếp diện của mặt cầu - Tại mỗi điểm H trên mặt cầu S(O;R) có duy nhất một tiếp diện. Đó là mặt phẳng vuông góc với bán kính OH tại H. Khi đó tất cả các tiếp tuyến tại H của mặt cầu đều nằm trên tiếp diện này. - Từ một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) kẻ được vô số các tiếp tuyến tới mặt cầu. Khi đó các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm bằng nhau và bằng \(\sqrt{OA^2-R^2}\). Hơn nữa tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn. 4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu - Mặt cầu bán kính R thì có diện tích là: \(S=4\pi R^2\) - Thể tích khối cầu bán kính R là: \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\) 5. Mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp đa diện - Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện đó. - Mặt cầu nội tiếp hình đa diện là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện đó. Gọi V, \(S_{tp}\) và r lần lượt là thể tích khối đa diện, diện tích toàn phần hình đa diện và bán kính mặt cầu nội tiếp hình đa diện thì \(r=\frac{3V}{S_{tp}}.\)
Số mặt cầu chứa đường tròn (O; r) là: Duy nhất. Không có mặt cầu nào. Vô số. Không lớn hơn 2 mặt cầu. Hướng dẫn giải: Có vô số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước. Ví dụ:
Cho khối trụ bán kính là R, chiều cao là 4R. Khối cầu tiếp xúc hai mặt đáy của khối trụ có thể tích là bao nhiêu? Tìm tỉ số thể tích của khối trụ so với khối cầu. \(V_{cầu}=16\pi R^3;\frac{V_{trụ}}{V_{cầu}}=\frac{1}{4}\) \(V_{cầu}=8\pi R^3;\frac{V_{trụ}}{V_{cầu}}=\frac{1}{2}\) \(V_{cầu}=\frac{32\pi R^3}{3};\frac{V_{trụ}}{V_{cầu}}=\frac{3}{8}\) \(V_{cầu}=\frac{24\pi R^3}{3};\frac{V_{trụ}}{V_{cầu}}=\frac{1}{6}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy do khối cầu tiếp xúc hai mặt đáy của khối trụ nên đường kính của khối cầu bằng chiều cao của khối trụ và bằng 4R. Vậy bán kính của khối cầu là 2R. Thể tích khối cầu là : \(V_{cầu}=\frac{4}{3}\pi\left(2R\right)^3=\frac{32}{3}\pi R^3.\) Thể tích khối trụ là: \(V_{trụ}=\pi R^2.4R=4\pi R^3\) Vậy \(\frac{V_{trụ}}{v_{cầu}}=\frac{3}{8}.\)
Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 6cm, \(\widehat{BAC}=120^o.\) Gọi M là trung điểm BC. Tính diện tích mặt cầu tạo được khi quay đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC quanh AM. \(144\pi\left(cm^2\right)\) \(36\pi\left(cm^2\right)\) \(288\pi\left(cm^2\right)\) \(72\pi\left(cm^2\right)\) Hướng dẫn giải: Trước hết, ta xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi O là tâm đường tròn, khi đó O là giao của ba đường trung trực. Do tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến nên nó đồng thời là đường phân giác. Vậy \(\widehat{CAO}=60^o.\) Tam giác cân AOC có một góc bằng 60o nên nó là tam giác đều. Vậy thì OA = OC = AC = 6cm. Khi quay đường tròn (O; 6cm) quanh AM, ta đường mặt cầu bán kính 6cm. Vậy \(S=4\pi6^2=144\pi\left(cm^2\right).\)
Cho chóp ABCD có hai mặt bên BAD và CAD là các tam giác đều cạnh bằng 2cm, BC = \(2\sqrt{2}cm.\) Gọi I là trung điểm BC. Cho các mệnh đề sau: 1. Chóp IABD và IACD là chóp tam giác đều. 2. I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ giác ABCD. Chọn phương án đúng. Chỉ (1) đúng. Chỉ (2) đúng. Cả (1) và (2) đều đúng. Cả (1) và (2) đều sai. Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm AD. Do tam giác BAD và CAD đều nên BM = CM và BM và CM đều vuông góc với AD. Từ đó \(AD\perp\left(BMC\right)\Rightarrow AD\perp MI.\) Tam giác IAD có IM là trung tuyến đồng thời đường cao nên IAD là tam giác cân tại I. Ta có IC = IB \(=\sqrt{2}cm\). Ta có \(BM=\sqrt{3}cm\Rightarrow MI=\sqrt{BM^2-BI^2}=\sqrt{3-2}=1cm.\) Do tam giác AMI vuông tại M nên \(IA=\sqrt{MI^2+AM^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}cm.\) Vậy nên IA = IB = IC = ID hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. ((2) đúng) Ta thấy ngay tam giác IBD và ACD là tam giác đều nên chóp IABD và IACD là chóp tam giác đều => (1) đúng.
Thả một viên bi sắt (hình cầu) vào một cái cốc hình trụ. Biết bán kính đáy cốc là 2cm và mực nước trong cốc dâng lên 1 cm. Tính bán kính viên bi sắt. \(R=\sqrt[3]{2}\left(cm\right)\) \(R=\sqrt[3]{5}\left(cm\right)\) \(R=\sqrt[3]{2}\left(cm\right)\) \(R=\sqrt[3]{3}\left(cm\right)\) Hướng dẫn giải: Thể tích viên bị sắt bằng thể tích phần nước dâng lên, nói cách khác nó bằng thể tích hình trụ đáy 2cm, chiều cao 1cm. \(V=\pi.2^2.1=4\pi\left(cm^2\right)\) Gọi R là bán kính viên bi sắt, khi đó \(\frac{4}{3}\pi R^3=4\pi\Rightarrow R^3=3\Rightarrow R=\sqrt[3]{3}\left(cm\right)\)
Cho ba điểm M, N , P cùng thuộc một mặt cầu. Biết \(\widehat{MPN}=90^o.\) Khi đó ta có: PM = PN. Mặt phẳng (MNP) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn. Tâm mặt cầu qua M, N, P là trung điểm MN. Đường kính của mặt cầu qua trung điểm của MN vuông góc với (MNP). Hướng dẫn giải: - Do tam giác PMN chưa có giả thiết cân nên chưa chắc PM = PN . - Hình vẽ bên trên minh họa giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt cầu là một đường tròn nhỏ. - Cũng từ hình vẽ ta thấy trung điểm của MN là I, có thể không trùng với tâm O của mặt cầu. - Ta chứng minh được ngay \(OI\perp\left(MNP\right):\) + OM = ON, OI là trung điểm nên \(OI\perp MN\) + \(\Delta OIP=\Delta OIM\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{OIP}=\widehat{OIM}=90^o\) . Vậy nên \(OI\perp PI\) Vậy nên \(OI\perp\left(MNP\right).\)
Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp bát diện đều cạnh 4cm là: \(S=32\pi\left(cm^2\right);V=\frac{16\sqrt{2}\pi}{3}\left(cm^3\right)\) \(S=32\pi\left(cm^2\right);V=\frac{64\sqrt{2}\pi}{3}\left(cm^3\right)\) \(S=8\pi\left(cm^2\right);V=\frac{64\sqrt{2}\pi}{3}\left(cm^3\right)\) \(S=8\pi\left(cm^2\right);V=\frac{16\sqrt{2}\pi}{3}\left(cm^3\right)\) Hướng dẫn giải: Do ABCDEF là bát diện đều nên BEDC là hình vuông. \(IB=IC=ID=IE=\frac{\sqrt{CD^2+CB^2}}{2}=2\sqrt{2}\left(cm\right)\) Tam giác AIC vuông tại I nên \(AI=\sqrt{AC^2-IC^2}=\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}cm\Rightarrow IA=IF=2\sqrt{2}cm.\) Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bán kính của mặt cầu bằng IA = \(2\sqrt{2}cm.\) Vậy diện tích mặt cầu là: \(S=4\pi\left(2\sqrt{2}\right)^2=32\pi\left(cm^2\right)\) Thể tích khối cầu là : \(V=\frac{4}{3}\pi\left(2\sqrt{2}\right)^3=\frac{64\sqrt{2}\pi}{3}\left(cm^3\right).\)
Cho mặt phẳng (P) cắt hình cầu tâm O theo giao tuyến là đường tròn bán kính 2cm. Biết khoảng cách từ tâm O tới mặt phẳng (P) là 1 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình cầu. \(S=20\pi\left(cm^2\right);V=\frac{20\sqrt{5}}{3}\pi\left(cm^3\right)\) \(S=12\pi\left(cm^2\right);V=\frac{4}{3}\pi\left(cm^3\right)\) \(S=12\pi\left(cm^2\right);V=4\sqrt{3}\pi\left(cm^3\right)\) \(S=20\pi\left(cm^2\right);V=\frac{16\sqrt{5}}{3}\pi\left(cm^3\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi đường kính bất kỳ của đường tròn là giao của mặt phẳng (P) với hình cầu là E và F. Gọi H là trung điểm EF thì ta thấy ngay \(AH\perp\left(P\right)\) và AH là d(A; (P)) = 1cm. Theo định lý Pi-ta-go: \(AF^2=AH^2+HF^2=1+2^2=5\Rightarrow AF=\sqrt{5}cm.\) Ta thấy ngày AF là bán kính hình cầu, vậy : \(S=4\pi R^2=20\pi\left(cm^2\right)\) \(V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{20\sqrt{5}}{3}\pi\left(cm^3\right)\)
Cho tam giác ABC đều cạnh a, chiều cao AH . Thể tích hình cầu tạo bởi đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi quanh AH là: \(V=\frac{\sqrt{5}\pi a^3}{54}\) \(V=\frac{\sqrt{5}\pi a^3}{27}\) \(V=\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{27}\) \(V=\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{54}\) Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta có O là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp. Bán kính khối tròn nội tiếp khi quay quanh AH là OF. BC = \(\frac{a}{2}\) \(CH=\sqrt{CB^2-HB^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\Rightarrow CO=\frac{2}{3}CH=\frac{a}{\sqrt{3}}\) Vậy \(OF=\sqrt{OC^2-CB^2}=\sqrt{\frac{a^2}{3}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}\) Vậy \(V=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^3=\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{54}\)
