1. Mặt tròn xoay Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường cong (C). Khi quay mặt phẳng (P) quanh d một góc $360^o$ thì đường cong (C) tạo nên một hình được gọi là mặt tròn xoay. 2. Mặt nón tròn xoay a. Định nghĩa - Trong mặt phẳng (P), cho hai đường thẳng d và d' cắt nhau tại O và tạo thành góc \(\alpha\left(0^o< \alpha< 90^o\right).\) Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh d thì đường thẳng d' sinh ra một mặt được gọi là mặt nón tròn xoay(Mặt nón). - O được gọi là đỉnh của mặt nón, d là trục và d' là đường sinh. Góc \(2\alpha\) được gọi là góc ở đỉnh của mặt nón. b. Hình nón tròn xoay - Cho tam giác AOB vuông tại O. Khi quay tam giác quanh trục OA thì đường gấp khúc ABO tạo thành hình nón tròn xoay (Hình nón). Hình tròn (O; OB) là mặt đáy của hình nón, A là đỉnh, AB là đường sinh. - Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nửa tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh. Tức là nếu bán kính đáy của hình nón là r, độ dài đường sinh là l thì diện tích xung quanh của hình nón được tính theo công thức: \(S_{xq}=\pi rl\)- Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy: \(S_{tp}=S_{xq}+S_đ=\pi rl+\pi r^2\)c, Khối nón tròn xoay - Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón kể cả hình nón đó. - Thể tích V của khối nón tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h là: \(V=\frac{1}{3}Bh\) 3. Mặt trụ tròn xoay a. Định nghĩa Mặt trụ tròn xoay là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh một đường thẳng \(\Delta\) song song với l. Khi đó \(\Delta\) được gọi là trục, R là bán kính và l là đường sinh. Mặt trụ có trục \(\Delta\), bán kính R là tập hợp các điểm cách \(\Delta\) một khoảng bằng R. b. Hình trụ tròn xoay - Hình trụ tròn xoay là hình sinh bởi 4 cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh một đường trung bình của hình chữ nhật đó. - Đường tròn (A; AD) và (B; BC) là hai đáy của hình trụ, AD là bán kính và CD là độ dài đường sinh. - Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay bằng tích chu vi đường tròn đáy và độ dài đường sinh. Tức là nếu đáy của hình trụ tròn xoay là hình tròn bán kính r, độ dài đường sinh là l thì diện tích xung quanh của hình trụ đó được tính theo công thức: \(S_{xq}=2\pi rl\) - Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy: \(S_{tp}=S_{xq}+S_đ=2\pi rl+2\pi r^2\)c. Khối trụ tròn xoay - Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong hình trụ đó. Khối trụ là hình tròn xoay sinh bởi một hình chữ nhật ( kể cả các điểm trong nó) khi quay quanh một đường trung bình của hình chữ nhật. Gọi h và R là chiều cao và bán kính của khối trụ thì thể tích khối trụ là \(V=\pi R^2h.\)
Cho tam giác đều cạnh x. Khi quay tam giác quanh một đường cao bất kỳ ta được hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh là: \(S_{xq}=\frac{\pi x^2}{5}\) \(S_{xq}=\frac{\pi x^2}{2}\) \(S_{xq}=\frac{\pi x^2}{3}\) \(S_{xq}=\frac{\pi x^2}{4}\) Hướng dẫn giải: Khi quay tam giác đều cạnh x xung quanh một đường cao bất kỳ, ta được hình nón tròn xoay có bán kính đáy là \(\frac{x}{2}\), độ dài đường sinh là x. Vậy \(S_{xq}=\pi.\frac{x}{2}.x=\frac{\pi x^2}{2}\)
Cho tam giác ABC vuông tại B, BA = 3cm, BC = 4cm. Lần lượt quay tam giác ABC xung quanh AB và BC ta được hai khối nón tròn xoay có thể tích là V1 và V2. Tính tỉ số \(\frac{V_2}{V_1}.\) \(\frac{9}{16}\) \(\frac{16}{9}\) \(\frac{4}{3}\) \(\frac{3}{4}\) Hướng dẫn giải: Quay tam giác xung quanh AB, ta được khối nón có bán kính đáy là 4, chiều cao là 3 nên \(V_1=\frac{1}{3}\pi.4^2.3=16\pi.\) Quay tam giác xung quanh BC, ta được khối nón có bán kính đáy là 3, chiều cao là 4 nên \(V_2=\frac{1}{3}\pi.3^2.4=12\pi.\) Vậy \(\frac{V_2}{V_1}=\frac{12\pi}{16\pi}=\frac{3}{4}.\)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB. Biết AB = a, \(\widehat{CAB}=60^o\). Tính diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh cạnh BC. \(\frac{3\pi a^2}{4}\) \(\frac{\left(3+2\sqrt{3}\right)\pi a^2}{4}\) \(\frac{\left(2\sqrt{3}-3\right)\pi a^2}{4}\) \(\frac{5\pi a^2}{4}\) Hướng dẫn giải: Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên tam giác ABC vuông tại C. Khi đó \(CB=sin60^o.a=\frac{\sqrt{3}a}{2}\) \(AC=cos60^o.a=\frac{a}{2}\) Khi quay tam giác quanh cạnh BC, ta được hình nón có bán kính đáy là \(\frac{a}{2},\) đường sinh có độ dài là a. Vậy diện tích toàn phần của hình nón là: \(S_{tp}=\frac{\pi.a}{2}.a+\frac{\pi a^2}{4}=\frac{3\pi a^2}{4}.\)
Cho hình trụ có chiều cao bằng hai lần bán kính đáy. Diện tích xung quanh của hình trụ là \(16\pi\left(cm^2\right).\) Tính bán kính và thể tích của hình trụ trên. \(r=2cm;V=32\pi\left(cm^3\right)\) \(r=2cm;V=16\pi\left(cm^3\right)\) \(r=1cm;V=2\pi\left(cm^3\right)\) \(r=1cm;V=4\pi\left(cm^3\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi r là bán kính đáy thì chiều cao hình trụ là 2r. Từ đó ta có : \(S_{xq}=2\pi r.2r=4\pi r^2=16\pi\Rightarrow r=2\left(cm\right).\) Thể tích khối trụ lúc đó là \(V=\pi.2^2.4=16\pi\left(cm^3\right).\)
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách (xem hình minh hoạ): - Cách 1: gò toàn bộ tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng - Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm thành mặt xung quanh của mỗi thùng. Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số V1/V2. \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{2}\) \(\frac{V_1}{V_2}=1\) \(\frac{V_1}{V_2}=2\) \(\frac{V_1}{V_2}=4\) Hướng dẫn giải: Gọi chiều dài tấm tôn là l, chiều cao là h. Chu vi hình trụ theo cách 1 là l => Bán kính đáy là: \(\frac{l}{2\pi}\) => \(V_1=\pi.\left(\frac{l}{2\pi}\right)^2h=\frac{l^2h}{4\pi}\) Chu vi của một hình trụ theo cách 2 là \(\frac{l}{2}\) => Bán kính đáy là: \(\frac{l}{2.2\pi}\) => \(V_2=2.\pi\left(\frac{l}{2.2\pi}\right)^2h=\frac{l^2h}{8}\) => \(\frac{V_1}{V_2}=2\)
Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và AC = \(\sqrt{3}a\) . Tính độ dài đường sinh \(l\) của hình nón nhận được khi quay tam ABC xung quanh trục AB. \(l=a\) \(l=\sqrt{2}a\) \(l=\sqrt{3}a\) \(l=2a\) Hướng dẫn giải: Độ dài đường sinh chính là độ dài BC \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a\)
Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần \(S_{tp}\) của hình trụ. \(S_{tp}=4\pi\) \(S_{tp}=2\pi\) \(S_{tp}=6\pi\) \(S_{tp}=10\pi\) Hướng dẫn giải: Hình trụ có bán kính đáy là AD/2 = 1, chiều cao là AB = 1. Diện tích toàn phần bằng diện tích hai đáy cộng với diện tích xung quanh. \(S_{tp}=2.S_đ+S_{xq}=2.\left(\pi.1^2\right)+\left(2\pi.1\right).1=4\pi\)
Cho tam giác MNP có \(\widehat{MNP}=60^o;\widehat{MPN}=45^o,MP=\sqrt{2}cm.\) Quay tam giác MNP quanh cạnh NP ta được khối tròn xoay có thể tích bằng: \(\frac{2+\sqrt{2}}{3}\pi\) \(\frac{5+\sqrt{5}}{24}\pi\) \(\frac{3+\sqrt{3}}{9}\pi\) \(\frac{7+\sqrt{7}}{36}\pi\) Hướng dẫn giải: Kẻ \(MI\perp NP.\) Khi đó \(MI=IP=\sqrt{\frac{MP^2}{2}}=1cm.\) \(\Rightarrow NI=\frac{MI}{tan60^o}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) Khối tròn xoay tạo được khi quay tam giác MNP quanh cạnh NP gồm hai khối nón: + Khối 1: Bán kính đáy là MI = 1cm, chiều cao \(NI=\frac{1}{\sqrt{3}}cm\Rightarrow V_1=\frac{1}{3}\pi.1^2.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\) + Khối 2: Bán kính đáy là MI = 1cm, chiều cao \(PI=1cm\Rightarrow V_1=\frac{1}{3}\pi.1^2.1=\frac{\pi}{3}\) Vậy thể tích khối tròn xoay là: \(\frac{\pi}{3\sqrt{3}}+\frac{\pi}{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{9}\pi.\)
Cho hình nón có \(\frac{S_{tp}}{S_{xq}}=\frac{4}{3}\). Cho r là bán kính đáy của hình nón. Thể tích của khối nón là: \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi r^3\) \(\frac{2\sqrt{3}}{5}\pi r^3\) \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi r^3\) \(\frac{2\sqrt{2}}{5}\pi r^3\) Hướng dẫn giải: Do \(\frac{S_{tp}}{S_{xq}}=\frac{4}{3}\Rightarrow\frac{S_{xq}}{S_đ}=3\Rightarrow\frac{\pi rl}{\pi r^2}=3\Rightarrow l=3r.\) Gọi h là chiều cao của khối nón. Khi đó \(h=\sqrt{9r^2-r^2}=2\sqrt{2}r.\) Vậy thể tích khối nón là: \(V=\frac{1}{3}\pi r^2.2\sqrt{2}r=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi r^3.\)
