I. Phương trình đưa về đa thức của một hàm lượng giác Phương trình là đa thức hoặc đưa về đa thức của một hàm số lượng giác, ví dụ: \(a.\sin^2x+b.\sin x+c=0\) (phương trình bậc hai đối với sin x) \(a.\cos^2x+b.\cos x+c=0\) (phương trình bậc hai đối với cos x) \(a.\tan^2x+b.\tan x+c=0\) (phương trình bậc hai đối với tan x) \(a.\cot^2x+b.\cot x+c=0\) (phương trình bậc hai đối với cot x) Chú ý: Các phương trình dạng sau có thể đưa về dạng đa thức của một hàm số lượng giác: *) \(a.\cos^2x+b.\sin x+c=0\) (thay \(\cos^2x=1-\sin^2x\) thì được phương trình đa thức đối với sin) *) \(a.\sin^2x+b.\cos x+c=0\) (thay \(\sin^2x=1-\cos x\) thì được phương trình đa thức đối với cos) *) \(a.\cot^2x+b.\sin x+c=0\) (thay \(\cot^2x=\frac{1}{\sin^2x}-1\) thì đưa về phương trình đa thức đối với sin) *) \(a.\tan^2x+b.\cos x+c=0\) (thay \(\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}-1\) thì đưa về phương trình đa thức đối với cos) *) \(a.\tan x+b.\cot x+c=0\) (thay \(\cot x=\frac{1}{\tan x}\) thì đưa về phương trình đa thức đối với tan) II. Phương pháp giải Đặt ẩn phụ là hàm số lượng giác, đưa về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ, sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản. III. Các ví dụ 1) Ví dụ 1 (ĐH-2004B). Giải phương trình \(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\tan^2x\) Giải: Điều kiện \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\frac{\pi}{2}+n\pi\) (để tan x có nghĩa) \(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\) \(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\frac{\sin^2x}{1-\sin^2x}\) \(5\sin x-2=3\frac{\sin^2x}{1+\sin x}\) \(5\sin^2x+5\sin x-2-2\sin x=3\sin^2x\) \(2\sin^2x+3\sin x-2=0\) \(\sin x=\frac{1}{2}\) hoặc \(\sin x=-2\) (vô nghiệm) \(\sin x=\sin\frac{\pi}{6}\) \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) hoặc \(x=\pi-\frac{\pi}{6}+2l\pi=\frac{5\pi}{6}+2l\pi\), đối chiếu với điều kiện, cả hai họ nghiệm đều thỏa mãn
Điều kiện để phương trình \(a\sin x +b\cos x =c\) có nghiệm là: \(a^2+b^2\ge c^2\) \(a^2+b^2\le c^2\) \(a^2+b^2 < c^2\) \(a^2+b^2> c^2\)
Giải phương trình \(\dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 1\) \(x=\dfrac{\pi}{3}+ 2k\pi\ với\ k\in \mathbb{Z}\) \(x=\dfrac{\pi}{6}+ k\pi\ với\ k\in \mathbb{Z}\) \(x=\dfrac{\pi}{6}+ 2k\pi\ với\ k\in \mathbb{Z}\) \(x=\dfrac{\pi}{3}+ k\pi\ với\ k\in \mathbb{Z}\) Hướng dẫn giải: Phương trình tương đương với: \(\ \ \ \ \cos x \cos{\dfrac{\pi}{6}}+\sin x \sin{\dfrac{\pi}{6}}=\cos 0\\ \Leftrightarrow \cos(x-\dfrac{\pi}{6}) = \cos 0\\ \Leftrightarrow x-\dfrac{\pi}{6}=2k\pi\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \ với \ k \in \mathbb{Z} \)
Cho phương trình: \(\sin x+\cos x=1\) Chọn phương trình tương đương với phương trình trên? \(\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{4}\) \(\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\) \(\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}\) \(\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) Hướng dẫn giải: Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) ta được: \(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}\) (*) Có 2 cách: chuyển về phương trình đối với sin hoặc đối với cos. - Cách 1: (chuyển về phương trình sin) \(\left(\cdot\right)\Leftrightarrow\sin x.\cos\frac{\pi}{4}+\cos x.\sin\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}\) \(\Leftrightarrow\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{4}\) - Cách 2: (Chuyển về phương trình cos) \(\left(\cdot\right)\Leftrightarrow\cos x.\cos\frac{\pi}{4}+\sin x.\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}\) \(\Leftrightarrow\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}\)
Phương trình \(1+\cos x+\cos^2x+\cos3x-\sin^2x=0\) tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau? \(\cos x (\cos2x+\cos x)=0\) \(\cos 2x (\cos2x+\cos x)=0\) \(\cos x (\cos2x-\cos x)=0\) \(\cos x (\cos3x+\cos x)=0\) Hướng dẫn giải: \(pt \Leftrightarrow \cos^2x+\sin^2x+\cos^2x-\sin^2x+(\cos x+\cos 3x)=0\) \(\Leftrightarrow 2\cos^2x+2\cos x\cos 2x=0\) \(\Leftrightarrow\cos x (\cos2x+\cos x)=0\)
Cho phương trình: \(\sin x-\cos x=\sqrt{2}\) Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình trên? \(\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{4}\) \(\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{2}\) \(\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\) \(\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\pi\right)\) Hướng dẫn giải: \(\sin x-\cos x=\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=1\) (*) Cách 1: chuyển về phương trình sin: (*) \(\Leftrightarrow\sin x.\cos\frac{\pi}{4}-\cos x.\sin\frac{\pi}{4}=1\) \(\Leftrightarrow\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{2}\) Cách 1: chuyển về phương trình cos: (*) \(\Leftrightarrow\sin x.\sin\frac{\pi}{4}-\cos x.\cos\frac{\pi}{4}=1\) \(\Leftrightarrow-\left(\cos x.\cos\frac{\pi}{4}-\sin x.\sin\frac{\pi}{4}\right)=1\) \(\Leftrightarrow\cos x.\cos\frac{\pi}{4}-\sin x.\sin\frac{\pi}{4}=-1\) \(\Leftrightarrow\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\pi\right)\)
Phương trình \(\cos 2x - \cos^2x=0\) có bao nhiêu nghiệm trong đoạn \([0,\pi]\) 1 2 3 4 Hướng dẫn giải: Ta có: \(pt \Leftrightarrow \cos 2x -\dfrac{\cos2x +1}{2}=0\\ \Leftrightarrow \cos 2x =1\\ \Leftrightarrow 2x=k2\pi\\ \Leftrightarrow x=k\pi\) Điều kiện \(x\in\left[0;\pi\right]\Leftrightarrow0\le k\pi\le\pi\Leftrightarrow0\le k\le1\Leftrightarrow k\in\left\{0;1\right\}\). Trong đoạn \(\left[0;\pi\right]\) phương trình có 2 nghiệm. Đáp số: 2.
Cho phương trình: \(\sin x+\sqrt{3}\cos x=1\) Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình trên? \(\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{6}\) \(\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{3}\) \(\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{6}\) \(\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}\) Hướng dẫn giải: \(\sin x+\sqrt{3}\cos x=1\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1}{2}\) (*) (chia cả hai vế cho \(\sqrt{1+3}=2\)) - Cách 1: chuyển về hàm sin: (*) \(\Leftrightarrow\cos\frac{\pi}{3}\sin x+\sin\frac{\pi}{3}\cos x=\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{6}\) - Cách 2: Chuyển về hàm cos: (*) \(\Leftrightarrow\sin\frac{\pi}{6}\sin x+\cos\frac{\pi}{6}\cos x=\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{3}\)
Giải phương trình: \(\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+4\sin x=2+\sqrt{2}\left(1-\sin x\right)\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=arcsin\left(\sqrt{2}\right)+2k\pi\\x=\pi-arcsin\left(\sqrt{2}\right)+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\) \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) ; \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\); \(x=arcsin\left(\sqrt{2}\right)+2k\pi\) với \(k\in Z.\) Phương trình vô nghiệm Hướng dẫn giải: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hai số hạng đầu tiên ta có: \(\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+4\sin x=2+\sqrt{2}\left(1-\sin x\right)\) \(\Leftrightarrow2\cos2x\cos\frac{\pi}{4}+4\sin x=2+\sqrt{2}\left(1-\sin x\right)\) \(\Leftrightarrow\sqrt{2}\cos2x+4\sin x=2+\sqrt{2}\left(1-\sin x\right)\) \(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(1-2\sin^2x\right)+4\sin x=2+\sqrt{2}\left(1-\sin x\right)\) (thay \(\cos2x=1-2\sin^2x\)) \(\Leftrightarrow2\sqrt{2}\sin^2x-\left(4+\sqrt{2}\right)\sin x+2=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\sin x=\frac{1}{2}\\\sin x=\sqrt{2}>1\left(loại\right)\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\) (với \(k\in\mathbb{Z}\))
Cho phương trình: \(\sqrt{3}\sin3x-\cos3x=\sqrt{2}\) Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình trên? \(\sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\) \(\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\) \(\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{4}\) \(\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{3\pi}{4}\) Hướng dẫn giải: \(\sqrt{3}\sin3x-\cos3x=\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}\sin3x-\frac{1}{2}\cos3x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) (*) (chia cả hai vế cho 2) - Cách 1: Chuyển về hàm sin: (*) \(\Leftrightarrow\cos\frac{\pi}{6}\sin3x-\sin\frac{\pi}{6}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Leftrightarrow\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\) - Cách 2: Chuyển về hàm cos: (*) \(\Leftrightarrow\sin\frac{\pi}{3}\sin3x-\cos\frac{\pi}{3}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Leftrightarrow-\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Leftrightarrow\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Leftrightarrow\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{3\pi}{4}\)