NGUYÊN HÀMI. Nguyên hàm và tính chất 1) Nguyên hàm là gì? Định nghĩa nguyên hàm: Cho hàm số f(x) xác định trên tập K. Hàm F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) nếu đạo hàm của nó F'(x) bằng f(x) với mọi x thuộc K. Ví dụ: - Hàm $F(x) = x^2$ là nguyên hàm của hàm f(x) = 2x trên tập số thực R, vì \(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\) - Hàm \(F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3\) là nguyên hàm của hàm \(f\left(x\right)=x^2\) trên tập số thực R, vì \(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\) - Hàm \(F\left(x\right)=\ln x\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{x}\) trên \(\left(0;+\infty\right)\), vì \(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\) Họ nguyên hàm: *) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(x) + C (với C là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. *) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (với C là hằng số), khi đó F(x) + C được gọi là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu: \(\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C\) Chú ý: Biểu thức \(f\left(x\right)\text{dx}\) chính là vi phân của F(x)vì \(\text{d}F\left(x\right)=F'\left(x\right)\text{dx}=f\left(x\right)\text{dx}\). 2) Tính chất của nguyên hàm TC1: \(\int f'\left(x\right)\text{dx}=f\left(x\right)+C\) Ví dụ; \(\int\left(\cos x\right)'\text{dx}=\int\left(-\sin x\right)\text{dx}=\cos x+C\) TC2: \(\int k.f\left(x\right)\text{dx}=k\int f\left(x\right)\text{dx}\) với k là một hằng số khác 0 TC3: \(\int\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{dx}=\int f\left(x\right)\text{dx}+\int g\left(x\right)\text{dx}\) TC4: Mọi hàm số f(x) mà liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 3. Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp $$\boxed{F'(x)=f(x)\Rightarrow \int f(x)dx=F(x)+C}$$ Bảng nguyên hàm - tích phân cơ bản 1. $\displaystyle\int x^\alpha dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$ $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^n}dx=\int x^{-n}dx$ $\displaystyle\int \sqrt[n]{x^m}dx=\int x^{m/n}dx$ $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[n]{x^m}}dx=\int x^{-m/n}dx$ 1. $\displaystyle\int (ax+b)^\alpha dx=\dfrac{1}{a}.\dfrac{(ax+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$ $\displaystyle\int \dfrac{1}{(ax+b)^n}dx=\int (ax+b)^{-n}dx$ $\displaystyle\int \sqrt[n]{(ax+b)^m}dx=\int (ax+b)^{m/n}dx$ $ \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[n]{(ax+b)^m}}dx=\int (ax+b)^{-m/n}dx$ 2. $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx=\ln |x|+C$2. $\displaystyle\int \dfrac{1}{ax+b}dx=\dfrac{1}{a}.\ln |ax+b|+C$3. $\displaystyle\int \alpha^xdx=\dfrac{\alpha^x}{\ln \alpha}+C$3. $\displaystyle\int \alpha^{ax+b}dx=\dfrac{\alpha^{ax+b}}{\ln \alpha}+C$4. $\displaystyle\int \sin xdx=-\cos x+C$4. $\displaystyle\int \sin (ax+b)dx=-\dfrac{1}{a}\cos (ax+b)+C$5. $\displaystyle\int \cos xdx=\sin x+C$5. $\displaystyle\int \cos (ax+b)dx=\dfrac{1}{a}\sin (ax+b)+C$6. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x+C$6. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 (ax+b)}dx=\dfrac{1}{a}\tan (ax+b)+C$7. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 x}dx=-\cot x+C$7. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 (ax+b)}dx=-\dfrac{1}{a}\cot (ax+b)+C$Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{\sqrt[3]{x}-x^2}{x}dx$. ĐS: $I=3\sqrt[3]{x}-\dfrac{x^2}{2}+C$ Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{2x^2+x+3}{2x+1}dx$. ĐS: $I=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{3}{2}\ln |2x+1|+C$ Ví dụ 3:Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int (3\cos x-3^{x-1})dx$. Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x.\cos 3xdx$. Ví dụ 5:Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int \tan^2 xdx$.
Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái xe đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? 0,2 m 2 m 10 m 20 m Hướng dẫn giải: Đến khi dừng hẳn, vận tốc bằng 0 => -5t + 10 = 0 => t = 2. Sau 2 giây xe dừng hẳn. Quãng đường xe đi được trong 2 giây đó là: \(\int\limits^2_0\left(-5t+10\right)dt=\left(-5.\frac{1}{2}t^2+10.t\right)|^2_0=-\frac{5}{2}.2^2+10.2=10\)m
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f\left(x\right)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}}\) \(\int f\left(x\right)dx=\frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}}+\frac{7}{6}x^{\frac{7}{6}}+\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}}+C\) \(\int f\left(x\right)dx=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+\frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}+C\) \(\int f\left(x\right)dx=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}+\frac{1}{6}x^{\frac{-5}{6}}-\frac{1}{3}x^{\frac{-4}{3}}+C\) \(\int f\left(x\right)dx=-3x^{-\frac{1}{3}}-\frac{6}{5}x^{\frac{-5}{6}}-\frac{3}{4}x^{\frac{-4}{3}}+C\) Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}}=\frac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}}\) \(=x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{6}}+x^{-\frac{1}{3}}\) => \(\int f\left(x\right)dx=\int x^{\frac{2}{3}}dx+\int x^{\frac{1}{6}}dx+\int x^{-\frac{1}{3}}dx\) \(=\frac{1}{\frac{2}{3}+1}x^{\frac{2}{3}+1}+\frac{1}{\frac{1}{6}+1}x^{\frac{1}{6}+1}+\frac{1}{-\frac{1}{3}+1}x^{-\frac{1}{3}+1}+C\) \(=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+\frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}+C\)
Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f\left(x\right)=e^{3-2x}\) \(\int e^{3-2x}dx=-2e^{3-2x}+C\) \(\int e^{3-2x}dx=-\frac{1}{3-2x}e^{3-2x}+C\) \(\int e^{3-2x}dx=-\frac{1}{2}e^{3-2x}+C\) \(\int e^{3-2x}dx=\frac{1}{2}e^{3-2x}+C\) Hướng dẫn giải: \(\int e^{3-2x}dx=\frac{-1}{2}\int e^{3-2x}\left(-2\right)dx=\frac{-1}{2}\int e^{3-2x}d\left(3-2x\right)=-\frac{1}{2}e^{3-2x}+C\)
Tính nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\sin5x.\cos3x\) \(\int f\left(x\right)dx=-\frac{1}{16}\cos\left(8x\right)-\frac{1}{4}\cos\left(2x\right)+C\) \(\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{16}\cos\left(8x\right)+\frac{1}{4}\cos\left(2x\right)+C\) \(\int f\left(x\right)dx=-\frac{1}{2}\cos\left(8x\right)-\frac{1}{2}\cos\left(2x\right)+C\) \(\int f\left(x\right)dx=-\frac{1}{5}\cos5x.\sin3x+C\) Hướng dẫn giải: Ta biến đổi tích thành tổng: \(\sin5x.\cos3x=\frac{1}{2}\left[\sin\left(5x+3x\right)+\sin\left(5x-3x\right)\right]=\frac{1}{2}\sin8x+\frac{1}{2}\sin2x\) Vậy: \(\int\left[\frac{1}{2}\sin8x+\frac{1}{2}\sin2x\right]dx=\frac{1}{2}\int\sin8xdx+\frac{1}{2}\int\sin2xdx\) \(=\frac{1}{16}\int\sin8xd\left(8x\right)+\frac{1}{4}\int\sin2xd\left(2x\right)\) \(=-\frac{1}{16}\cos\left(8x\right)-\frac{1}{4}\cos\left(2x\right)+C\)
Tính \(\int\sin^2xdx\) \(\int\sin^2xdx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin\left(2x\right)+C\) \(\int\sin^2xdx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)+C\) \(\int\sin^2xdx=\cos^2x+C\) \(\int\sin^2xdx=\frac{1}{2}\cos^2x+C\) Hướng dẫn giải: \(\int\sin^2xdx=\int\frac{1-\cos2x}{2}dx=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int\cos2xdx\) \(=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\int\cos\left(2x\right)d\left(2x\right)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)+C\)
Tính \(\int\tan^2xdx\) \(\int\tan^2xdx=\cot^2x+C\) \(\int\tan^2xdx=\frac{1}{2}\cot^2x+C\) \(\int\tan^2xdx=\cot x-x+C\) \(\int\tan^2xdx=\tan x-x+C\) Hướng dẫn giải: \(\int\tan^2xdx=\int\frac{\sin^2x}{\cos^2x}dx=\int\frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}dx=\int\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx\) \(=\int\frac{1}{\cos^2x}dx-\int dx=\tan x-x+C\) trong đó hằng số C được chọn tùy ý trong mỗi khoảng xác định của \(\tan x\).
Tính: \(\int\frac{1}{\sin^2x.\cos^2x}dx\) \(\int\frac{1}{\sin^2x.\cos^2x}dx=-2\cot2x+C\) \(\int\frac{1}{\sin^2x.\cos^2x}dx=-\cot2x+C\) \(\int\frac{1}{\sin^2x.\cos^2x}dx=-2\cot^2x+C\) \(\int\frac{1}{\sin^2x.\cos^2x}dx=-2\tan^2x+C\) Hướng dẫn giải: \(\int\frac{1}{\sin^2x.\cos^2x}dx=\int\frac{1}{\frac{1}{4}\sin^22x}dx=2\int\frac{1}{\sin^22x}d\left(2x\right)=-2\cot2x+C\) , trong đó hằng số C trên mỗi khoảng xác định của \(\cot2x\) được xác định một cách tùy ý. Chọn A.
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f\left(x\right)=\frac{2^x-1}{e^x}\) \(\int f\left(x\right)dx=\frac{2^x}{e^x}+e^{-x}+C\) \(\int f\left(x\right)dx=\frac{2^x}{e^x\left(\ln2-1\right)}+e^{-x}+C\) \(\int f\left(x\right)dx=\frac{2^x}{e^x\left(\ln2-1\right)}+C\) \(\int f\left(x\right)dx=\frac{2^x}{\ln2-1}+e^{-x}+C\) \(\int f\left(x\right)dx=\frac{2^x\left(\ln2-1\right)}{e^x}+e^{-x}+C\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(f\left(x\right)=\frac{2^x-1}{e^x}=\left(\frac{2}{e}\right)^x-e^{-x}\) nên \(\int\left[\left(\frac{2}{e}\right)^x-e^{-x}\right]dx=\int\left(\frac{2}{e}\right)^xdx-\int e^{-x}dx\)\(=\frac{\left(\frac{2}{e}\right)^x}{\ln\left(\frac{2}{e}\right)}+\int e^{-x}d\left(-x\right)\)\(=\frac{2^x}{e^x\left(\ln2-1\right)}+e^{-x}+C\) . Do đó B là phương án trả lời đúng.
Tính \(\int2^{\sqrt{x}}\frac{\ln2}{\sqrt{x}}\text{d}x\) , kết quả sai là: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(\int2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx=2^{\sqrt{x}+1}+C\) \(\int2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx=2\left(2^{\sqrt{x}}-1\right)+C\) \(\int2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx=2\left(2^{\sqrt{x}}+1\right)+C\) \(\int2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx=2^{\sqrt{x}}+C\) Hướng dẫn giải: \(\int2^{\sqrt{x}}\frac{\ln2}{\sqrt{x}}\text{d}x=2.\ln2\int2^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\text{d}x\) \(=2.\ln2\int2^{\sqrt{x}}\text{d}\left(\sqrt{x}\right)\) \(=2.\ln2.\frac{2^{\sqrt{x}}}{\ln2}+C=2^{\sqrt{x}+1}+C\) Trong các hàm số cho trong đáp án, các hàm sau khác kết quả trên một hằng số (cộng hoặc trừ một hằng số) thì đều đúng. Đó là các hàm sau: \(2\left(2^{\sqrt{x}}-1\right)+C=2^{\sqrt{x}+1}+\left(C-2\right)\) \(2\left(2^{\sqrt{x}}+1\right)+C=2^{\sqrt{x}+1}+\left(C+2\right)\) Vậy đáp án sai là \(2^{\sqrt{x}}+C\) Cách khác: Lần lượt lấy đạo hàm của các hàm số cho trong đáp án xem kết quả đạo hàm có bằng biểu thức dưới dấu tích phân không.
