NHỊ THỨC NIU-TƠN1) Công thức nhị thức Niu-tơn Định lý: \(\left(a+b\right)^n=C^0_na^n+C^1_na^{n-1}b+...+C^k_na^{n-k}b^k+...+C^{n-1}_nab^{n-1}+C^n_bb^n\) (1) Định lý này ta thừa nhận (không chứng minh trong chương trình Toán phổ thông). Công thức nhị thức Niu-tơn ở trên có thể viết gọn lại thành với: \(\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)=C^k_n=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\) Chú ý rằng: - Lũy thừa của x giảm dần cho tới khi đạt đến 0 ($x^0 = 1$), giá trị bắt đầu là n (n trong $(x+y)^n$.) - Lũy thừa của y tăng lên bắt đầu từ 0 ($y^0 = 1$) cho tới khi đạt đến n (n trong $(x+y)^n$.) - Hàng nhị thức của tam giác Pascal sẽ là các hệ số của nhị thức mở rộng (chú ý rằng đỉnh là hàng 0) - Với mỗi hàng, tích số (tổng của các hệ số) bằng $2^n$. - Với mỗi hàng, nhóm tích số bằng $n+1$. Ví dụ: \(\left(a+b\right)^2=C^0_2a^2+C^1_2a.b+C^2_2b^2=a^2+2ab+b^2\) \(\left(a+b\right)^3=C^0_3a^3+C^1_3a^2b+C^2_3ab^2+C^3_3b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) 2) Tam giác Pa-xcan Trong nhị thức Niu-tơn (1) ở trên, cho n = 0; 1; 2; ... và xếp các hệ số \(C^k_n\) thành dòng, ta nhận được tam giác sau (còn gọi là tam giác Pa-xcan) Trong tam giác trên, mỗi phần tử ở dòng dưới bằng tổng của hai phần tử đứng ngay trên đầu nó ở dòng trên, ví dụ dòng ứng với n = 5, số 10 trong dòng này bằng tổng của 2 số 4 và 6 ở dòng n = 4. Ta có cách làm này là do tính chất sau: \(C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C^k_{n-1}\) Nhờ tam giác Pa-xcan mà ta có thể triển khai lũy thừa bậc n của tổng hai số một cách dễ dàng mà không cần phải tính \(C^k_n\). Ví dụ: \(\left(a+b\right)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6\) Chú ý: - Định lý nhị thức có thể áp dụng với lũy thừa của bất cứ nhị thức nào. Ví dụ: - Với một nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng khi chuyển phép trừ thành phép cộng với số đối, ví dụ: \(\left(a-b\right)^3=\left[a+\left(-b\right)\right]^3=a^3+3a^2\left(-b\right)+3a\left(-b\right)^2+\left(-b\right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) - Trong trường hợp tổng quát trên trường số phức: Nếu r là một số thực và z là một số phức có môđun nhỏ hơn 1 thì:
\(a^5+10a^4b+40a^3b^2+80a^2b^3+80ab^4+32b^5\) Biểu thức trên là khai triển của nhị thức nào sau đây? \(\left(a-2b\right)^5\) \(\left(a+2b\right)^5\) \(\left(2a+b\right)^5\) \(\left(2a-b\right)^5\) Hướng dẫn giải: \(a^5+10a^4b+40a^3b^2+80a^2b^3+80ab^4+32b^5\) \(=a^5+5a^4\left(2b\right)+10a^3\left(2b\right)^2+10a^2\left(2b\right)^3+5a\left(2b\right)^4+\left(2b\right)^5\) \(=\left(a+2b\right)^5\)
Tìm hệ số của \(x^3\) trong triển khai của biểu thức sau: \(\left(x+\frac{2}{x^2}\right)^6\) 8 12 16 20 Hướng dẫn giải: \(\left(x+\frac{2}{x^2}\right)^6\) \(=x^6+6x^5\frac{2}{x^2}+15x^4\left(\frac{2}{x^2}\right)^2+20x^3\left(\frac{2}{x^2}\right)^3+15x^2\left(\frac{2}{x^2}\right)^4+6x\left(\frac{2}{x^2}\right)^5+\left(\frac{2}{x^2}\right)^6\) \(=x^6+12x^3+60+\frac{160}{x^2}+\frac{240}{x^6}+\frac{192}{x^9}+\frac{64}{x^{12}}\) Hệ số của \(x^3\) trong triển khai trên là 12.
Trong khai triển nhị thức \(\left(2x+y\right)^{15}\), hệ số của \(x^{10}y^5\) là bao nhiêu? \(2^5C_{15}^{10}\) \(2^5C_{15}^5\) \(2^{10}C_{15}^5\) \(2^{10}C_{15}^{11}\) Hướng dẫn giải: Theo công thức triển khai nhị thức: \(\left(a+b\right)^n=C^0_na^n+C^1_na^{n-1}b+...+C^k_na^{n-k}b^k+...+C^{n-1}_nab^{n-1}+C^n_nb^n\) Áp dụng vào triển khai nhị thức \(\left(2x+y\right)^{15}\), số hạng chứa phần biến \(x^{10}y^5\) là \(C^{15-10}_{15}.\left(2x\right)^{15-5}y^5\). Vậy hệ số của \(x^{10}y^5\) là \(2^{10}C^5_{15}\).
Khai triển \(\left(2x+1\right)^{2001}\) ta được \(a_{2001}x^{2001}+a_{2000}x^{2000}+.........+a_1x+a_0\). Chọn mệnh đề đúng: \(3^{2001}\) \(\dfrac{3^{2001}}{2}\) \(4^{2001}\) \(2^{2001}\)
Khai triển \(\left(2x+1\right)^{2001}\) ta được \(a_{2001}x^{2001}+a_{2000}x^{2000}+.........+a_1x+a_0\). Hệ số của số hạng chứa \(x^{1000}\) là: \(C^{1000}_{2001}.2^{1000}\) \(2^{1000}\) \(C^{1000}_{2001}\) \(C^{2001}_{2001}.2^{1000}\) Hướng dẫn giải: Số hạng tổng quát trong khai triển \(\left(2x+1\right)^{2001}\) là: \(C^k_{2001}\left(2x\right)^k.1^{2001-k}=C^k_{2001}.2^k.x^k\). Thay k = 1000 ta được hệ số của số hạng chứa \(x^{1000}\) là: \(C^{1000}_{2001}.2^{1000}\).
Hệ số của hạng chứa \(x^5\) trong khai triển \(x\left(2x-1\right)^5\) là: \(-80\) \(80\) \(160\) \(-160\) Hướng dẫn giải: Số hạng tổng quát của khai triển \(x\left(2x-1\right)^5\) là: \(C^k_5.x.\left(2x\right)^k.\left(-1\right)^{5-k}=C^k_5.2^k.\left(-1\right)^{5-k}.x^{k+1}\). Ta có k + 1 = 5 hay k = 4. Vậy hệ số của số hạng chứa \(x^5\) là: \(C^4_5.2^4.\left(-1\right)^{5-4}=-80\).
Tìm hệ số của \(x^{10}\) trong khai triển \(\left(1+x+x^2+x^3\right)^5\) . 101 102 103 104 Hướng dẫn giải:
Biết n thỏa mãn \(C^n_n+C^{n-1}_n+C^{n-1}_n+.......+C^1_n=127\). Giá trị của n là: n = 7 n = 8 n = 1 n = 2 Hướng dẫn giải: \(C^n_n+C^{n-1}_n+C^{n-1}_n+.......+C^1_n=127\) \(\Leftrightarrow C^n_n+C^{n-1}_n+C^{n-1}_n+.......+C^1_n+C^0_n=128\) \(\Leftrightarrow2^n=2^7\) \(\Leftrightarrow n=7\).
Tìm hệ số chứa \(x^5\)trong khai triển \(\left(1+x\right)+2\left(1+x\right)^2+3\left(1+x\right)^3+......+10\left(1+x\right)^{10}\) . 4290 4200 4500 4300 Hướng dẫn giải: Hệ số của \(x^5\) trong \(5\left(1+x\right)^5\) là: \(5.C^5_5=5\). Hệ số của \(x^5\) trong \(6\left(1+x\right)^6\) là: \(6.C^5_6=36\). Hệ số của \(x^5\) trong \(7\left(1+x\right)^7\) là: \(7.C^5_7=147\). Hệ số của \(x^5\) trong \(8\left(1+x\right)^8\) là: \(8.C^5_8=448\). Hệ số của \(x^5\) trong \(9\left(1+x\right)^9\) là: \(9.C^5_9=1134\). Hệ sô của \(x^5\) trong \(10\left(1+x\right)^{10}\) là: \(10.C^5_{10}=2520\). Vậy hệ số của \(x^5\) trong khai triển \(\left(1+x\right)+2\left(1+x\right)^2+3\left(1+x\right)^3+......+10\left(1+x\right)^{10}\) là: \(5+36+147+448+1134+2520=4290\).
