1. Phép thử Phép thử ngẫu nhiên (hay còn gọi là phép thử) là một hành động hay thí nghiệm mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau. Kết quả của nó không dự đoán được trước, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Ví dụ: khi gieo một đồng tiền, kết quả là được mặt sấp hoặc mặt ngửa. Khi gieo quân súc sắc, kết quả là được một trong sáu khả năng. 2. Không gian mẫu : Không gian mẫu là tập hợp các các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Ví dụ: - gieo một đồng tiền là phép thử với không gian mẫu là \(\Omega\) = {S, N} (S - kí hiệu sấp, N kí hiệu cho ngửa) - gieo một đồng tiền hai lần thì không gian mẫu là \(\Omega\) = {SS, SN, NS, NN}, trong đó SS có nghĩa là lần thứ nhất S, lần thứ hai cũng S; SN có nghĩa là lần đầu S, lần hai N. - gieo quân súc sắc có không gian mẫu là \(\Omega\) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (xem quân súc sắc ở hình dưới) - gieo quân súc sắc hai lần thì không gian mẫu có 36 phần tử là \(\Omega\) = {(i,j) | i, j = 1, 2, 3, 4, 5,6} 3. Biến cố Một biến cố A liên quan đến phép thử T được mô tả bởi tập con \(\Omega_A\) nào đó của không gian mẫu \(\Omega\) của phép thử đó. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập \(\Omega_A\). Mỗi phần tử của \(\Omega_A\) được gọi là kết quả thuận lợi cho A. Hay nói cách khác, biến cố là một tập con của không gian mẫu. Ví dụ: Khi gieo đồng tiền hai lần (không gian mẫu là \(\Omega\) = {SS, SN, NS, NN}). - Ta gọi biến cố A là "kết quả gieo hai lần như nhau". Khi đó biến cố A có thể mô tả bởi tập con của không gian mẫu \(\Omega_A\) = {SS, NN} - Biến cố B = "có ít nhất một lần xuất hiện ngửa" = {SN, NS, NN} - Biến cố C = "mặt sấp xuất hiện trong lần gieo đầu tiên" = {SS, SN} Chú ý: + Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử (khi không gian của biến cố bằng không gian mẫu) + Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử (khi không gian của biến cố bằng rỗng) 4. Phép toán trên các biến cố: a) Biến cố đối: Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử (A là tập con của không gian mẫu \(\Omega\)). Khi đó tập con \(\Omega\backslash A\) là biến cố đối của biến cố A và được kí hiệu là \(\overline{A}\). Ví dụ: Phép thử gieo một quân súc sắc, gọi A là biến cố "xuất hiện mặt chẵn" thì A = {2; 4; 6}. Khi đó \(\overline{A}\) = {1 ; 3; 5} là biến cố đối của A và phát biểu bằng lời là "không xuất hiện mặt chẵn" hay tương đương "xuất hiện mặt lẻ". b) Phép hợp và giao Cho A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử (thực chất A và B là hai tập con của không gian mẫu \(\Omega\)). Khi đó: - Tập \(A\cup B\) là hợp của hai biến cố A và B. Hay nói cách khác biến cố \(A\cup B\) xảy ra khi và chỉ khi hoặc biến cố A xảy ra, hoặc biến cố B xảy ra. - Tập \(A\cap B\) là giao của hai biến cố A và B. Hay nói cách khác biến cố \(A\cap B\) xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B xảy ra. Chú ý \(A\cap B\) có thể viết là \(A.B\) Ta tóm tắt các phép toán liên quan đến biến cố như sau: Kí hiệuNgôn ngữ biến cố\(A\subset\Omega\)A là biến cố\(A=\varnothing\)A là biến cố không xảy ra\(A=\Omega\)A là biến cố chắc chắn xảy ra\(C=A\cup B\)C là biến cố : "A hoặc B"\(C=A.B\)C là biến cố: "A và B"\(A\cap B=\varnothing\)A và B xung khắc\(B=\overline{A}\)A và B là hai biến cố đối nhau 5. Xác suất của biến cố Giả sử phép thử T có không gian mẫu \(\Omega\) và các kết quả của phép thử T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố của phép thử T được mô tả bởi tập \(\Omega_A\)llà các kết quả thuận lợi của biến cố A thì xác suất của biến cố A là \(P\left(A\right)=\frac{\left|\Omega_A\right|}{\left|\Omega\right|}\) Với \(\left|\Omega_A\right|;\left|\Omega\right|\) lần lượt là số phần tử của tập hợp \(\Omega_A;\Omega\) * Lưu ý : Xác suất của một biến cố biểu diễn cho chúng ta khả năng xảy ra biến cố đó khi ta thực hiện phép thử. Nếu A là biến cố chắc chắn thì \(P\left(A\right)=1\) Nếu A là biến cố không xảy ra thì \(P\left(A\right)=0\)
Gieo một đồng tiền ba lần. Hỏi không gian mẫu có bao nhiêu phần tử? 3 6 8 9 Hướng dẫn giải: Không gian mẫu là {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}. Không gian mẫu có 8 phần tử (bẳng $2^3$).
Một túi đựng có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để ba viên bi lấy được đều là bi xanh. \(\dfrac{C^3_5}{C^3_9}\) \(\dfrac{A^3_5}{A^3_9}\) \(\dfrac{C^3_4}{C^3_9}\) \(\dfrac{A^3_4}{A^3_9}\)
Có 100 tấm thẻ được đánh số ngẫu nhiên từ 1 đến 100. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ, tính xác suất để cả hai thẻ rút được đề là số chẵn. \(\dfrac{49}{198}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{1}{4}\) Hướng dẫn giải: Trong 100 tấm thẻ có 50 tấm thẻ mang số chẵn. Gọi A là biến cố cả hai thẻ rút được đều là số chẵn. \(\left|\Omega\right|=C^2_{100}=4950\). \(\left|\Omega_A\right|=C^2_{50}=1225\). \(P_A=\dfrac{1225}{4950}=\dfrac{49}{198}\).
Một đề thi có 10 câu trắc nghiệm,mỗi câu có 4 phương án trả lời. Nếu trả lời mỗi câu đúng được 1 điểm, mỗi câu sai không bị trừ điểm. Tính xác suất để một bạn chọn ngẫu nhiên tất cả phương án được 5 điểm trong bài thi. \(\dfrac{3780}{4^{10}}\) \(\dfrac{C^5_{10}}{4^{10}}\) \(\dfrac{A^5_{10}}{4^{10}}\) \(\dfrac{C^5_{10}.4^5}{4^{10}}\) Hướng dẫn giải: Gọi A là biến cố để một bạn chọn ngẫu nhiên tất cả phương án được 5 điểm trong bài thi. \(\left|\Omega\right|=4^{10}\) Một bạn được 5 điểm thì phải trả lời đúng được 5 câu. Số cách chọn 5 câu đúng trong 10 câu là: \(C^5_{10}\). Trong 5 câu được chọn mỗi câu có 1 phương án đúng nên cách trả lời 5 câu là 1 cách. 5 câu còn lại phải trả lời sai nên nên mỗi câu có 3 cách trả lời. Vậy có 5.3 = 15 (cách). \(\left|\Omega_A\right|=C^5_{10}.1.5.3=3780\) . \(P_A=\dfrac{3780}{4^{10}}\)
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 1000. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 2 và 3. \(\dfrac{166}{1001}\) \(\dfrac{166}{1000}\) \(\dfrac{167}{1000}\) \(\dfrac{165}{1001}\) Hướng dẫn giải: Một số tự nhiên chia hết cho 2 và 3 sẽ chia hết cho 6. Các số nhỏ hơn 1000 và chia hết cho 6 là: 0; 6; 12; .....; 996. Có 166 số. Có 1001 số tự nhiên nhỏ hơn 1000. Vậy xác suất để số được chọn chia hết cho 6 là:\(\dfrac{166}{1001}\).
Một tổ có 8 bạn nam và 7 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn. Tính xác suất để 6 bạn được chọn có cả nam và nữ. \(\dfrac{38}{39}\) \(\dfrac{8}{429}\) \(\dfrac{1}{429}\) \(\dfrac{1}{39}\) Hướng dẫn giải: Gọi A biến cố 5 bạn được chọn có cả nam và nữ. \(\left|\Omega\right|=C^5_{15}\) Gọi B là biến cố cả 5 bạn được chọn đều là nam. \(P_B=\dfrac{C^5_8}{C^5_{15}}=\dfrac{8}{429}\). Gọi C là biến cố cả 5 bạn được chọn đều là nữ. \(P_B=\dfrac{C^5_7}{C^5_{15}}=\dfrac{1}{429}\) \(P_A=1-\left(P_B+P_C\right)=\dfrac{38}{39}\).
Gieo một đồng xu đồng chất và cân đối 4 lần. Tính xác suất để cả bốn lần gieo đều là mặt sấp ? \(\dfrac{1}{16}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{1}{8}\)
Có 10 cặp vợ chồng. Lấy ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất để hai người được chọn là một cặp vợ chồng. \(\dfrac{2}{19}\) \(\dfrac{17}{19}\) \(\dfrac{5}{19}\) \(\dfrac{3}{19}\) Hướng dẫn giải: Gọi A là biến cố lấy 2 người là một cặp vợ chồng. \(\left|\Omega\right|=C^2_{20}=190\). - Lấy 1 người bất kì có 20 (cách). - Nếu đã lấy 1 người thì chỉ có duy nhất 1 người trong 19 người còn lại là vợ hoặc chồng của người đã lấy. Vì vậy \(\left|\Omega_A\right|=20.1=20\). \(P_A=\dfrac{20}{190}=\dfrac{2}{19}\).
Sắp xếp 10 bạn vào một ghế dài có 10 chỗ. Tính xác suất An và Bình ngồi cạnh nhau. \(\dfrac{1}{45}\) \(\dfrac{1}{90}\) \(\dfrac{1}{50}\) \(\dfrac{1}{49}\) Hướng dẫn giải: Gọi A là biến cố là An và Bình ngồi cạnh nhau. Số cách sắp xếp 10 bạn ngồi vào 10 vị trí là: 10!. Cố định hai bạn An và Bình thành một cặp. Cặp này có 2! cách sắp xếp An và Bình. Có 9 vị trí sắp xếp cặp An và Bình. 8 ngươi còn lại có 8! cách sắp xếp. Như vậy: \(\left|\Omega_A\right|=2!.8!\). Xác suất để cặp An và Bình ngồi cạnh nhau là: \(\dfrac{2!.8!}{10!}=\dfrac{1}{45}\).
