1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng. Định nghĩa : Vectơ \(\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}\) có giá song song hoặc trùng với d gọi là vectơ chỉ phương của d. 2. Phương trình tham số của đường thẳng. Đường thẳng qua \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}\left(a_1;a_2;a_3\right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số \(d:\begin{cases}x=x_0+a_1t\\y=y_0+a_2t\\z=z_0+a_3t\end{cases}\) Nhận xét. • Đường thẳng ∆ qua \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(a_1;a_2;a_3\right)\). • Nếu \(a_1;a_2;a_3\ne0\) thì d còn viết dưới dạng \(\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\) gọi là dạng chính tắc. • Nếu d song song với (P) và M ∈ d thì d (d; (P)) = d (M; (P)). 3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. • \(d\equiv d'\Leftrightarrow\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right]=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0M'_0}\right]=\overrightarrow{0}\) • \(d\)//\(d'\Leftrightarrow\begin{cases}\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right]=\overrightarrow{0}\\\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0}\overrightarrow{M'_0}\right]\ne\overrightarrow{0}\end{cases}\) • \(d\) cắt \(d'\Leftrightarrow\begin{cases}\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right]\ne\overrightarrow{0}\\\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right]\overrightarrow{M_0}\overrightarrow{M'_0}=\overrightarrow{0}\end{cases}\) • d và \(d'\) chéo nhau \(\Leftrightarrow\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right].\overrightarrow{M_0}\overrightarrow{M'_0}\ne0\) 4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. Cho đường thẳng d :\(d:\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\) và mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0. Số giao điểm của d và (P) là số nghiệm phương trình : \(A\left(x_0+at\right)+B\left(y_0+bt\right)+C\left(z_0+ct\right)+D=0\)(1) • d ⊂ (α) ⇔ (1) có vô số nghiệm. • d||(α) ⇔ (1) vô nghiệm. • d cắt (α) ⇔ (1) có một nghiệm. • d⊥(α) ⇔ \(d\perp\left(\alpha\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{u_d}=k\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\) 5. Góc giữa hai đường thẳng. • Giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) với \(\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}\) là các vecto chỉ phương : \(\cos\alpha=\frac{\left|\overrightarrow{u_{d1}}\overrightarrow{u_{d2}}\right|}{\left|\overrightarrow{u_{d1}}\right|.\left|\overrightarrow{u_{d2}}\right|}\) • Giữa đường thẳng \(d\) với vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_d}\) và mặt phẳng (P) với vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\): \(\sin\beta=\frac{\left|\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right|}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|.\left|\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right|}\) 6. Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. • Từ một điểm M đến một đường thẳng \(d\) đi qua \(M_0\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_d}\): \(kc\left(M,d\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{M_0M}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|}\) [Chú ý: \(\left|\left[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{MM_0}\right]\right|\) là độ dài của vecto là tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow{u_d}\) và \(\overrightarrow{MM_0}\), độ dài của vecto tích có hướng này bằng diện tích hình bình hành tạo bởi 2 vecto \(\overrightarrow{u_d}\) và \(\overrightarrow{MM_0}\) . Khi chia diện tích này cho độ dài cạnh \(\left|\overrightarrow{u_d}\right|\) ta được đường cao hạ từ M xuống \(\overrightarrow{u_d}\). (xem hình vẽ bên trên)] Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng đi qua hai điểm A và B: \(kc\left(M,AB\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}\) • Giữa hai đường thẳng chéo nhau \(d_1\) đi qua \(M_1\) có veco chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}\) và đường thẳng \(d_2\) đi qua \(M_2\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_2}\): Khoảng cách giữa \(d_1\) và \(d_2\) là IJ và bằng \(M_1H\) trong hình trên và bằng hình chiếu của \(M_1M_2\) lên vecto \(\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\) (là tích có hướng của hai vecto chỉ phương, vuông góc với cả hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng). Ta có \(M_1H=\overrightarrow{\left|M_1M_2\right|}.\cos\left(\widehat{\overrightarrow{M_1M_2},\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]}\right)=\left|\overrightarrow{M_1M_2}\right|\frac{\overrightarrow{M_1M_2}.\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]}{\left|\overrightarrow{M_1M_2}\right|.\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\right|}\) Suy ra: \(kc\left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right].\overrightarrow{M_1M_2}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\right|}\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng: \(kc\left(AB,CD\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]\overrightarrow{AC}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]\right|}\) 7. Các ví dụ Ví dụ 1: (Bạch Đằng-Hải Phòng 2015) Cho điểm $A(-4;1;3)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+3}{3}$. Tìm tọa độ điểm $B$ thuộc $d$ sao cho $AB=\sqrt{27}$. ĐS: $B\left(-\dfrac{13}{7};\dfrac{10}{7};-\dfrac{12}{7}\right)$ Ví dụ 2: (Chuyên ĐH Vinh 2015 L1) Cho mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z}{-1}$. Tìm điểm $A$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ bằng $2\sqrt{3}$. ĐS: $A(4;-5;-2)$ hoặc $A(-2;7;4)$ Ví dụ 3: Cho $I(1;1;1)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-14}{4}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+5}{-2}$. Tìm hình chiếu H của I trên d, từ đó tính khoảng cách từ I tới d. ĐS: $H(2;-3;1),d(I,d)=\sqrt{17}$ Ví dụ 4: (Chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định 2015) Cho $A(2;1;-1),\overrightarrow{AB}(1;0;3)$. Xác định tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $OA$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$. ĐS: $M\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{5}{6};-\dfrac{5}{6}\right)$ Ví dụ 5: (Đại học Khối B 2011) Cho $\Delta:\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z+5}{-2}$ và A(-2;1;1),B(-3;-1;2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng $3\sqrt{5}$. ĐS: $M(-2;1;-5)$ hoặc $M(-14;-35;19)$
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; -1; 2) và B(2; 3; 4). \(\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}\) \(\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{2}\) \(\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-4}{2}\) \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}\) Hướng dẫn giải: Phương trình đường thẳng đi qua A và B là: \(\frac{x-x_B}{x_B-x_A}=\frac{y-y_B}{y_A-y_B}=\frac{z-z_B}{z_A-z_B}\) Hoặc \(\frac{x-x_B}{x_A-x_B}=\frac{y-y_B}{y_A-y_B}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}\)
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A(-1; 1; 0) và B(2; 1; 3). \(\begin{cases}x=-1+2t\\y=1+t\\z=3t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\)) \(\begin{cases}x=-1+3t\\y=1\\z=3t\end{cases}\) \(t\in\mathbb{R}\) \(\begin{cases}x=2-t\\y=1+t\\z=3\end{cases}\) \(t\in\mathbb{R}\) \(\begin{cases}x=-1+2t\\y=1+3t\\z=3t\end{cases}\) \(t\in\mathbb{R}\) Hướng dẫn giải: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua AB là phương trình đi qua A và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\) (hoặc \(\overrightarrow{BA}\)): \(\begin{cases}x=-1+3t\\y=1\\z=3t\end{cases}\)
Cho d là đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\): \(\left(\alpha\right):4x+3y-7z+1=0\) Phương trình tham số của d là: \(d:\begin{cases}x=-1+4t\\y=-2+3t\\z=-3-7t\end{cases}\) \(d:\begin{cases}x=1+4t\\y=2+3t\\z=3-7t\end{cases}\) \(d:\begin{cases}x=1+3t\\y=2-4t\\z=3-7t\end{cases}\) \(d:\begin{cases}x=-1+8t\\y=-2+6t\\z=-3-14t\end{cases}\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng d đi qua M(1;2;3) và nhận vecto pháp tuyến của \(\left(\alpha\right)\) \(\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left(4;3;-7\right)\) làm vecto chỉ phương. Phương trình tham số của d là: \(d:\begin{cases}x=1+4t\\y=2+3t\\z=3-7t\end{cases}\)
Viết phương trình tham số của d biết d là giao tuyến của hai mặt phẳng : \(\left(\alpha\right):x-3y+z=0\) và \(\left(\beta\right)\) : \(x+y-z+4=0\). \(\begin{cases}x=-2+2t\\y=2t\\z=2+4t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=-3+t\\y=-1-t\\z=2t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=t\\y=2+t\\z=2+2t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=-t+1\\y=t\\z=2+2t\end{cases}\) Hướng dẫn giải: Cho t = 0 trong các phương trình tham số trong đáp án ta lần lượt được (x;y;z) = (-2;0;2), (-3;-1;0). (0;2;2), (1;0;2). Dựa vào phương trình tham số của 4 đáp án ta thấy: - Đáp án thứ nhất: đường thẳng đi qua (-2;0;2) và có vecto chỉ phương (2;2;4) - Đáp án thứ hai: đường thẳng đi qua (-3;-1;0) và có vecto chỉ phương (1;-1;2) - Đáp án thứ ba: đường thẳng đi qua (0;2;2) và có vecto chỉ phương (1;1;2) - Đáp án thứ tư: đường thẳng đi qua (1;0;2) và có vecto chỉ phương (-1;1;2) ta có thể loại đáp án thứ ba và thứ tư vì các điểm (0;2;2) , (1;0;2) không thuộc hai mặt phẳng đã cho, chỉ có (-2;0;2) hoặc (-3;-1;0) thỏa mãn cả hai phương trình mặt phẳng. Vì phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng đi qua hai điểm (-2;0;2) và (-3;-1;0) nên vecto chỉ phương của đường thẳng giao tuyến là: \(\overrightarrow{v}=\)(-3+2; -1; -2) =(-1;-1;-2) = (1;1;2). Như vậy trong 4 đáp án thì đáp án thứ nhất là đúng vì nó là đường thẳng đi qua điểm thuộc cả hai măt phẳng và có vecto chỉ phương (2;2;4) trùng với vecto chỉ phương ở trên,
Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M ( 1; -1; 2) trên mặt phẳng (P) 2x - y + 2z + 12 = 0. \(M\left(\frac{-29}{9};\frac{10}{9};\frac{-20}{9}\right)\) \(M\left(1,2,-6\right)\) \(M\left(0;0;-6\right)\) \(M\left(-6;0;0\right)\) Hướng dẫn giải: Phương trình đường thẳng đi qua điểm M (1; -1; 2) vuông góc với mặt phẳng (P) (có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của (P)) là: \(\begin{cases}x=1+2t\\y=-1-t\\z=2+2t\end{cases}\) Gọi H ( x, y, z) là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P ). Tọa độ của M thỏa mãn hệ : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=-1-t\\z=2+2t\\2x-y+2z+12=0\end{cases}\) \(\Rightarrow t=-\frac{19}{9}\) => \(\begin{cases}x=-\frac{29}{9}\\y=\frac{10}{9}\\z=-\frac{20}{9}\end{cases}\) Vậy: \(M\left(\frac{-29}{9};\frac{10}{9};\frac{-20}{9}\right)\)
Cho đường thẳng d: \(\frac{x+2}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-1}\) và điểm M ( 4; -3; 2) . Tìm tọa độ hình chiếu của M lên đường thẳng d. H(-5; -4; 1) H (1;0; -1) H (4; 2; -2) H (0; 0; 1) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\frac{x+2}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-1}\) ta chuyển phương trình đường thẳng d sang dạng tham số: \(\begin{cases}x=3t-2\\y=2t-2\\z=-t\end{cases}\) H thuộc đường thẳng d nên H có tọa độ: ( 3t - 2; 2t - 2; -t ). \(\overrightarrow{MH}\left(3t-6;2t+1;-t-2\right)\) Do H là hình chiếu của M trên d nên \(\overrightarrow{MH}\) vuông góc với vecto chỉ phương của d , \(\overrightarrow{u_d}\left(3;2-1\right)\), suy ra: \(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u_d}=0\) \(\Leftrightarrow3\left(3t-6\right)+2\left(2t+1\right)-1\left(-t-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow t=1\) Vậy H(3.1 - 2; 2.1 - 2; -1) = (1; 0; -1).
Trong hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với điểm \(A\left(1;-1;1\right)\) và hai đường trung tuyến lần lượt là: \(\left(\Delta_1\right):\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-2}{-2}\) và \(\left(\Delta_2\right):\begin{cases}x=1-t\\y=0\\z=1+t\end{cases}\). Tìm tọa độ điểm B và điểm C của tam giác. B (0; 1; 2) , C ( 1; 0; 1) B (0; 0; 1) , C ( 1; 1; 1) B ( 1; 0; 1) , C ( 1; 2; 1) B ( 1; 2; 3 ) , C (1; 1; 1) Hướng dẫn giải: Dễ dàng kiểm tra thấy \(A\notin\Delta_1;A\notin\Delta_2\). Gọi \(M\in\Delta_1,N\in\Delta_2\) lần lượt là trung điểm của AB , AC. \(N\left(1-t;0;1+t\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\left(1-t-1;0+1;1+t-1\right)=\left(-t;1;t\right)\) \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AN}\) \(\Rightarrow\left(x_B-1;y_B+1;z_B-1\right)=2\left(-t;1;t\right)\) \(\Rightarrow B\left(1-2t;1;1+2t\right)\) Do \(B\in\Delta_1\) => \(\frac{1-2t}{2}=\frac{1-1}{-3}=\frac{1+2t-2}{-2}\) \(\Rightarrow t=\frac{1}{2}\Rightarrow B\left(0;1;2\right).\) Tương tự, ta tìm được tọa độ C như sau: Vì \(M\in\Delta_1\) nên \(\frac{x_M}{2}=\frac{y_M-1}{-3}=\frac{z_M-2}{-2}=k\) (chú ý đặt tỉ lệ này là k để không trùng với t trong phương trình tham số của \(\Delta_2\)) \(\Rightarrow M\left(2k;1-3k;2-2k\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(2k-1;1-3k+1;2-2k-1\right)=\left(2k-1;2-3k;1-2k\right)\) \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\Rightarrow\left(x_C-1;y_C+1;z_C-1\right)=2\left(2k-1;2-3k;1-2k\right)\) \(\Rightarrow C\left(4k-1;3-6k;3-4k\right)\) \(C\in\Delta_2\Rightarrow\begin{cases}4k-1=1-t\\3-6k=0\\3-4k=1+t\end{cases}\) \(\Rightarrow k=\frac{1}{2}\Rightarrow C\left(1;0;1\right).\)
Tìm tập hợp các điểm cách đều 3 điểm : \(A\left(1;1;1\right),B\left(-1;2;0\right),C\left(2;-3;2\right)\). \(\begin{cases}x=-8-3t\\y=t\\z=15+7t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=8+3t\\y=t\\z=15-7t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=3t\\y=2+t\\x=5+5t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=9+6t\\y=5-4t\\z=3-7t\end{cases}\) Hướng dẫn giải: Điểm \(M\left(x;y;z\right)\) cách đều 3 điểm A, B, C khi và chỉ khi: \(\begin{cases}MA^2=MB^2\\MA^2=MC^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+z^2\\\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-2\right)^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}-4x+2y-2z-2=0\\2x-8y+2z-14=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}2x-y+z+1=0\\x-4y+z-7=0\end{cases}\) (*) Vậy tập hợp điểm M (x, y, z ) là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt có phương trình ở trên. Ta xét xem trong các phương trình tham số cho trong đáp án, phương trình nào là giao của hai mặt phẳng trên. Đáp án 1: đường thẳng đi qua A(-8;0;15) (cho t = 0) và có vecto chỉ phương (-3;1;7) (là hệ số của t) Đáp án 2: đường thẳng đi qua A(-8;0;15) và có vecto chỉ phương (3;1;-7) Đáp án 3: đường thẳng đi qua B(0;2;5) và có vecto chỉ phương (3;1;5) Đáp án 4: đường thẳng đi qua C(9;5;3) và có vecto chỉ phương (6;-4;-7) Ta thấy các điểm B(0;2;5) và C(9;5;3) không thỏa mãn hai phương trình của (*) vậy nên đáp án 3, 4 không đúng. Ta có điểm A(-8;0;15) thỏa mãn (*) nên (-8;0;15) là một điểm của đường thẳng (*). Ta tìm thêm 1 điểm nữa. Từ (*), ta cho x = 0 => \(\begin{cases}-y+z+1=0\\-4y+z-7=0\end{cases}\) \(\Rightarrow x=-\frac{8}{3};z=\frac{11}{3}\) . Vậy \(M\left(0;-\frac{8}{3};-\frac{11}{3}\right)\) thuộc đường thẳng (*). Vec tơ chỉ phương của (*) là \(\overrightarrow{AM}=\left(0+8;-\frac{8}{3}-0;-\frac{11}{3}-15\right)=\left(8;-\frac{8}{3};-\frac{56}{3}\right)=\frac{8}{3}\left(3;-1;-7\right)\) Vậy đáp án 1 có vecto chỉ phương (-3;1;7) có phương trùng với vecto trên.
Cho \(A\left(0;0;1\right),B\left(-1;-2;0\right),C\left(2;1;-1\right)\). Đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là: \(\begin{cases}x=\frac{1}{3}-5t\\y=-\frac{1}{3}-4t\\z=3t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=\frac{1}{3}+5t\\y=-\frac{1}{3}-4t\\z=3t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=\frac{1}{3}+5t\\y=-\frac{1}{3}+4t\\z=3t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=\frac{1}{3}-5t\\y=-\frac{1}{3}-4t\\z=-3t\end{cases}\) Hướng dẫn giải: Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là: \(G\left(\frac{0-1+2}{3};\frac{0-2+1}{3};\frac{1+0-1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{3};0\right)\) Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left[\left(-1-0;-2-0;0-1\right),\left(2-0;1-0;-1-1\right)\right]=\left[\left(-1;-2;-1\right),\left(2;1;-2\right)\right]\) \(=\left(\left|\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&-1\\-2&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&-2\\2&1\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(5;-4;3\right)\) Vậy mặt qua G và có vecto chỉ phương (5;-4;3) là: \(\begin{cases}x=\frac{1}{3}+5t\\y=-\frac{1}{3}-4t\\z=3t\end{cases}\)
