PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1) Phương trình sin x = a - Nếu |a| > 1 thì phương trình vô nghiệm vì \(-1\le\sin x\le1\) - Nếu \(\left|a\right|\le1\), trên đường tròn lượng giác tâm O bán kính 1, kẻ đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm có tung độ a và cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M và M'. Gọi \(\alpha\) là số đo cung \(\stackrel\frown{AM}\), khi đó cung \(\stackrel\frown{AM'}\) bằng \(\pi-\alpha\). Ta dễ dạng nhận thấy các cung sau đây có tung độ (tức là sin của cung đó) bằng a: \(\alpha+2k\pi\) \(\left(\pi-\alpha\right)+2k\pi\) Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=\alpha+2k\pi\) hoặc \(x=\left(\pi-\alpha\right)+2k\pi\) (với \(\alpha\) là cung có \(\sin\alpha=a\)). Chú ý: - Khi a là các số đặc biệt (0, \(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\),\(\pm\frac{1}{2}\), \(\pm\)1) thì cung \(\alpha\) là số đo các góc đặc biệt (0, \(\pm\frac{\pi}{6}\), \(\pm\frac{\pi}{4}\), \(\pm\frac{\pi}{3}\), \(\pm\frac{\pi}{2}\)) - Khi a không phải là các số trên và \(-1\le a\le1\), ta kí hiệu cung \(\alpha\) thỏa mãn \(-\frac{\pi}{2}\le\alpha\le\frac{\pi}{2}\) và \(\sin\alpha=a\) là \(arcsin\) \(a\). Khi đó nghiệm của phương trinh sin x = a là: \(x=arcsin\left(a\right)+2k\pi\) và \(x=\pi-arcsin\left(a\right)+2k\pi\) - Phương trình \(\sin x=\sin\alpha\) có nghiệm là: \(x=\alpha+2k\pi\) và \(x=\pi-\alpha+2k\pi\) - Phương trình \(\sin f\left(x\right)=\sin g\left(x\right)\) tương đương với: \(\left[\begin{array}{nghiempt}f\left(x\right)=g\left(x\right)+2k\pi\\f\left(x\right)=\pi-g\left(x\right)+2m\pi\end{array}\right.\) - Phương trình \(\sin x=0\) có nghiệm là \(x=k\pi\) (hai họ nghiệm \(0+2k\pi\) và \(\pi-0+2k\pi\)có thể viết chung thành 1 họ nghiệm là \(k\pi\)) - Phương trình \(\sin x=1\) có nghiệm là: \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) - Phương trình \(\sin x=-1\) có nghiệm là: \(x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\) Ví dụ: Giải phương trình \(\sin x=\frac{1}{2}\) Giải: Vì \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) nên phương trình đã cho tương đương với: \(\sin x=\sin\frac{\pi}{6}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in\mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\) 2) Phương trình cos x = a - Nếu |a| > 1 thì phương trình vô nghiệm (vì \(-1\le\cos x\le1\) - Nếu \(-1\le a\le1\), lấy cung \(\alpha\) (cung \(\stackrel\frown{AM}\)) sao cho \(\begin{cases}0\le\alpha\le\pi\\\cos\alpha=a\end{cases}\) (góc \(\alpha\) như vậy có tên gọi là \(arccos\left(a\right)\)). Khi đó nghiệm của phương trình là: \(x=\alpha+2k\pi=arccos\left(a\right)+2k\pi\) (Tương ứng với cung có điểm cuối M như trong hình dưới) hoặc \(x=-\alpha+2k\pi=-arccos\left(a\right)+2k\pi\) (Tương ứng với cung có điểm cuối M' như trong hình dưới) Chú ý: - Khi \(a\in\left\{-1;-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{1}{2};0;\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};1\right\}\) thì góc \(\alpha\) tương ứng là \(\alpha\in\left\{\pi;\frac{5\pi}{6};\frac{3\pi}{4};\frac{2\pi}{3};\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{6};0\right\}\) - Phương trình \(\cos x=-1\) có nghiệm là \(x=\pi+2k\pi\) - Phương trinh \(\cos x=0\) có nghiệm là \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) - Phương trình \(\cos x=1\) có nghiệm là \(x=2k\pi\) - Phương trình \(\cos x=\cos\alpha\) có nghiệm là \(x=\pm\alpha+2k\pi\) - Phương trình \(\cos f\left(x\right)=\cos g\left(x\right)\) tương đương với \(\left[\begin{array}{nghiempt}f\left(x\right)=g\left(x\right)+2k\pi\\f\left(x\right)=-g\left(x\right)+2k\pi\end{array}\right.\) Ví dụ: Giải phương trình: \(\cos\left(2x\right)=\cos x\) Giải: Phương trình đã cho tương đương với: \(\left[\begin{array}{nghiempt}2x=x+2k\pi\\2x=-x+2h\pi\end{array}\right.\) (với \(k,h\in\mathbb{Z}\)) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2k\pi\\3x=2h\pi\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2k\pi\\x=\frac{2h\pi}{3}\end{array}\right.\) 3) Phương trình tan x = a - Điệu kiện của phương trình: \(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)) - Trên mặt phẳng tọa độ có chứa đường tròn lượng giác, kẻ đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm có tung độ a. Đường thẳng này cắt trục tang tại điểm B. Nối OB cắt đường tròn lượng giác tại M và M'. Cung \(\stackrel\frown{AM}\) có số đo là \(\alpha\) (\(-\frac{\pi}{2}< \alpha< \frac{\pi}{2}\) , \(\alpha\) còn được gọi là \(arctan\left(a\right)\)); Cung \(\stackrel\frown{AM'}\) có số đo là \(\alpha+\pi\). Các cung có điểm cuối M và M' có tang bằng a. Nghiệm của phương trình \(\tan x=a\) là: \(x=\alpha+k\pi,k\in\mathbb{Z}\) (tương ứng với các cung có điểm cuối là M hoặc M') Chú ý: - Khi \(a=0;\pm\frac{\sqrt{3}}{3};\pm1;\pm\sqrt{3}\) thì \(\alpha=arctan\left(a\right)=0;\pm\frac{\pi}{6};\pm\frac{\pi}{4};\pm\frac{\pi}{3}\) - Phương trình \(\tan x=\tan\alpha\) có nghiệm là \(x=\alpha+k\pi,k\in\mathbb{Z}\) - Phương trình \(\tan f\left(x\right)=\tan g\left(x\right)\) tương đương với \(f\left(x\right)=g\left(x\right)+k\pi\) , với \(k\in\mathbb{Z}\) Ví dụ: Giải phương trình \(\tan\left(3x+15^o\right)=-\sqrt{3}\) Ta có: \(\tan\left(-60^o\right)=-\sqrt{3}\) (vì vế trái có sử dụng số đo độ nên ta dùng số đo độ ở cả hai vế cho thống nhất) Vậy phương trình đã cho tương đương với: \(\tan\left(3x+15^o\right)=\tan\left(-60^o\right)\) \(\Leftrightarrow3x+15^o=60^o+k.180^o\) với \(k\in\mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow x=-25^o+k.60^o\) 4) Phương trình cot x = a - Điệu kiện của phương trình: \(x\ne k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)) - Trên mặt phẳng tọa độ có chứa đường tròn lượng giác, kẻ đường thẳng song song với trục tung cắt trục tung tại điểm có hoành độ a. Đường thẳng này cắt trục côtang tại điểm B. Nối OB cắt đường tròn lượng giác tại M và M'. Cung \(\stackrel\frown{AM}\) có số đo là \(\alpha\) (\(-\pi< \alpha< \pi\) , \(\alpha\) còn được gọi là \(arccot\left(a\right)\)); Cung \(\stackrel\frown{AM'}\) có số đo là \(\alpha+\pi\). Các cung lượng giác có điểm cuối M và M' có côtang bằng a. Nghiệm của phương trình \(\cot x=a\) là: \(x=\alpha+k\pi,k\in\mathbb{Z}\) (tương ứng với các cung có điểm cuối là M hoặc M') Chú ý: - Khi \(a=0;\pm\frac{\sqrt{3}}{3};\pm1;\pm\sqrt{3}\) thì \(\alpha=arccot\left(a\right)=\pm\frac{\pi}{2};\pm\frac{\pi}{3};\pm\frac{\pi}{4};\pm\frac{\pi}{6}\) - Phương trình \(\cot x=\cot\alpha\) có nghiệm là \(x=\alpha+k\pi,k\in\mathbb{Z}\) - Phương trình \(\cot f\left(x\right)=\cot g\left(x\right)\) tương đương với \(f\left(x\right)=g\left(x\right)+k\pi\) , với \(k\in\mathbb{Z}\) Ví dụ: Giải phương trình \(\cot x=-2\) Giải: \(\cot x=-2\) \(\Leftrightarrow x=arccot\left(-2\right)+k\pi\) (với \(k\in\mathbb{Z}\))
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? \(\tan x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) \(\tan x=-1 \Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) \(\cot x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) \(\cot x=0 \Leftrightarrow x=\pi+2k\pi\) Hướng dẫn giải: Vì \(\sin\left(\pi+2k\pi\right)=0\) nên \(\cot\left(\pi+2k\pi\right)\) vô nghĩa. Do đó khẳng định " \(\cot x=0 \Leftrightarrow x=\pi+2k\pi\) " là khẳng định sai.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(\sin x=0 \Leftrightarrow x=k\pi\) \(\sin x=1 \Leftrightarrow x=k\pi\) \(\cos x=0 \Leftrightarrow x=k\pi\) \(\cos x=1 \Leftrightarrow x=k\pi\) Hướng dẫn giải: - Vì \(\sin k\pi=0\) nên \(\sin x=1 \Leftrightarrow x=k\pi\) là khẳng định sai. - Vì \(\cos k\pi=\left(-1\right)^k\) nên \(\cos x=0 \Leftrightarrow x=k\pi\) và \(\cos x=1 \Leftrightarrow x=k\pi\) là những khẳng định sai. Do đó \(\sin x=0 \Leftrightarrow x=k\pi\) là khẳng định đúng.
Giải phương trình: \(\sin\left(3x\right)=1\) Nghiệm của phương trình là: \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}\) \(x=\frac{\pi}{6}+2k\frac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\) \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}\) \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\) Hướng dẫn giải: \(\sin3x=1\) <=> \(3x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2k\dfrac{\pi}{3};k\in Z.\)
Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số \(y=\sin\left(3x\right)\) và \(y=\sin x\) bằng nhau? \(x=0\) \(x=2k\pi,k\in\mathbb{Z}\) \(x=k\pi,k\in\mathbb{Z}\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=k\pi\\x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\end{array}\right.\) với \(k\in\mathbb{Z}\) Hướng dẫn giải: \(\sin\left(3x\right)=\sin x\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}3x=x+2k\pi\\3x=\pi-x+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in\mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}2x=2k\pi\\4x=\pi+2k\pi\end{array}\right.\)với \(k\in\mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=k\pi\\x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\end{array}\right.\)với \(k\in\mathbb{Z}\)
Giải phương trình: \(\cos^2\left(2x\right)=\frac{1}{4}\) \(x=\pm\dfrac{\pi}{6}+k\pi,k\in Z\) \(x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi\) , \(k\in\mathbb{Z}\) \(\dfrac{\sqrt{arccos\left(\dfrac{1}{4}\right)+2k\pi}}{2},k\in Z.\) \(x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi\) , \(x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi\) , \(k\in\mathbb{Z}\) Hướng dẫn giải: \(\cos^2\left(2x\right)=\frac{1}{4}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\cos\left(2x\right)=\frac{1}{2}\\\cos\left(2x\right)=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\cos\left(2x\right)=\cos\frac{\pi}{3}\\\cos\left(2x\right)=\cos\frac{2\pi}{3}\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}2x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\\2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in\mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi\\x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in\mathbb{Z}\)
Giải phương trình \(\frac{2\cos\left(2x\right)}{1-\sin\left(2x\right)}=0\) \(x=-\dfrac{\pi}{4}+m\pi,m\in\mathbb{Z}\)\(\) \(x=\frac{\pi}{4}+m\frac{\pi}{2}\), \(m\in\mathbb{Z}\) Phương trình vô nghiệm \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\) , \(k\in\mathbb{Z}\) Hướng dẫn giải: + \(x=\dfrac{\pi}{4}+m\dfrac{\pi}{2}\) sai vì \(x=\dfrac{\pi}{4}\) (ứng với \(m=0\) ) làm cho \(1-sin2x=0\) nên không phải là nghiệm của phương trình. Cũng vậy \(x=\dfrac{\pi}{4}+m\pi\) không phải là đáp án đúng + Khẳng định " phương trình vô nghiệm " sai vì có thể kiểm tra được ngay \(x=-\dfrac{\pi}{4}\) là một nghiệm của phương trình. Do đó chỉ có \(x=-\dfrac{\pi}{4}+m\pi,m\in\mathbb{Z}\) mới có thể là đáp án đúng. Có thể kiểm tra điều này bằng cách GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐÃ CHO như sau: \(\dfrac{2\cos\left(2x\right)}{1-\sin\left(2x\right)}=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}cos2x=0\\1-sin2x\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}cos^22x=0\\sin2x\ne1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sin^22x=1\\sin2x\ne1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow sin2x=-1\Leftrightarrow2x=-\dfrac{\pi}{2}+m2\pi\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+m\pi\).
Giải phương trình: \(\sin\left(3x\right)-\cos\left(5x\right)=0\) \(x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\) , \(k\in\mathbb{Z}\) \(x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4}\) , \(k\in\mathbb{Z}\) \(x=-\frac{\pi}{4}-k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\) \(x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4};x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\) Hướng dẫn giải: \(\sin\left(3x\right)-\cos\left(5x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\sin\left(3x\right)=\cos\left(5x\right)\) \(\Leftrightarrow\sin\left(3x\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)\) (áp dụng công thức lượng giác của hai góc phụ nhau) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}3x=\frac{\pi}{2}-5x+2k\pi\\3x=\pi-\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in\mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4}\\x=-\frac{\pi}{4}-k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in\mathbb{Z}\) Họ nghiệm thứ hai ta có thể thay k bới -k thì tập nghiệm vẫn không thay đổi. Vậy nghiệm của phương trình là: \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4}\\x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in\mathbb{Z}\)
Giải phương trình: \(\tan\left(3x\right).\tan x=1\) \(x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4}\) , \(k\in\mathbb{Z}\) Phương trình vô nghiệm \(x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{4}\) , \(k\in\mathbb{Z}\) \(x=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3}\) , \(k\in\mathbb{Z}\) Hướng dẫn giải: Đáp án C: Thay \(x=\dfrac{\pi}{4}\) ta có: \(tan\dfrac{3\pi}{4}.tan\dfrac{\pi}{4}=-1\). Đáp án này loại. Đáp án D: loại với \(x=\dfrac{\pi}{6}\) thì tan3x không tồn tại. Đáp án A: Dùng máy tính kiểm tra thì nghiệm đúng. Ngoài ra còn có cách giải phương trình đã cho như sau: Điều kiện: \(\begin{cases}\cos\left(3x\right)\ne0\\\cos x\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow cos3x\ne0\) \(\Leftrightarrow3x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) \(\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}\) Biến đổi phương trình ban đầu ta có: \(\tan\left(3x\right).\tan x=1\) Dễ thấy tanx = 0 không là nghiệm của phương trình, từ đó ta có: \(\Leftrightarrow\tan\left(3x\right)=\frac{1}{\tan x}\) \(\Leftrightarrow\tan\left(3x\right)=\cot x\) \(\Leftrightarrow\tan\left(3x\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) (công thức lượng giác của hai góc phụ nhau) \(\Leftrightarrow3x=\frac{\pi}{2}-x+k\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4}\) với \(k\in\mathbb{Z}\) Đối chiếu với điều kiện ta thấy họ nghiệm trên thỏa mãn.
Trong đoạn \(\left[-\pi;\pi\right]\) phương trình \(\cos x=\sin x\) có bao nhiêu nghiệm? 2 4 5 6 Hướng dẫn giải: Dễ thấy \(sinx=0\) không là nghiệm của phương trình \(\cos x=\sin x\). Vì vậy: \(\cos x=\sin x\Leftrightarrow tanx=1\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) Điều kiện \(x\in\left[-\pi;\pi\right]\) có nghĩa là \(-\pi\le x\le\pi\Leftrightarrow-\pi\le\dfrac{\pi}{4}+k\pi\le\pi\Leftrightarrow-\dfrac{5}{4}\le k\le\dfrac{3}{4}\)\(\Leftrightarrow k=-1,k=0\), do đó \(x=-\dfrac{3\pi}{4},x=\dfrac{\pi}{4}\). Đáp số: 2.
