1. Phương trình mặt cầu. • Dạng 1 : \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=R^2\left(R>0\right)\). Có tâm I (a; b; c) và bán kính \(R=\sqrt{R^2}\) • Dạng 2 : \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0;\left(a^2+b^2+c^2>d\right)\) . Có tâm I (a; b; c) và bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}\) 2. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P), ta có : • d(I,(P)) > R : Mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S). • d(I,(P)) = R : Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). • d(I,(P)) < R : Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có tâm K là hình chiếu của I trên (P) và bán kính \(r=\sqrt{R^2-d^2\left(I,\left(P\right)\right)}\) 3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu. Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và đường thẳng d, ta có : • d(I, d) > R : Đường thẳng d không cắt mặt cầu (S). • d(I, d) = R : Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S). • d(I, d) < R : Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) theo dây cung \(AB=\sqrt{R^2-d^2\left(I,\left(P\right)\right)}\) 4. Các dạng toán cơ bản Loại 1 : Các bài toán viết phương trình mặt cầu Ví dụ 1: Cho 3 điểm \(A\left(2;0;1\right);B\left(1;0;0\right);C\left(1;1;1\right)\) và mặt phẳng (P) : \(x+y+z-2=0\). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và tâm thuộc (P) Bài giải : Phương trình tổng quát của mặt cầu qua A, B là : \(\left(\varphi\right)x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0\) với \(a^2+b^2+c^2>d\) (1) Khi đó \(\left(\varphi\right)\) có tâm là \(I\left(-a;-b;-c\right)\) Từ đó ta đi đến hệ phương trình sau để xác định a, b, c, d : \(\begin{cases}4+1+4a+2c+d=0\left(2\right)\\1+2a+d=0\left(3\right)\\3+2a+2b+2c+d=0\left(4\right)\\-a-b-c-2=0\left(5\right)\end{cases}\) ((2),(3),(4) ta có được do \(\left(\varphi\right)\) qua A, B, C ; còn (5) có được do tâm \(I\left(-a;-b;-c\right)\in\left(P\right)\) Dễ thấy hệ (2),(3),(4), (5) cho nghiệm a = -1; b = 0; c = -1; d = 1 Vậy mặt cầu \(\left(\varphi\right)\) cần tìm có phương trình :\(x^2+y^2+z^2+1=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+y^2+\left(x-1\right)^2=1\) Đó là mặt cầu tâm tại I(1;0;1) và bán kính R = 1 Ví dụ 2: Trong không gian cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A_1B_1C_1D_1\) với A(0;3;0); B(4;0;0);C(0;3;0); \(B_1\left(4;0;4\right)\) a) Tìm tọa độ các đỉnh \(A_1;C_1\) b) Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng \(BCC_1B_1\) Bài giải : a) Dễ thấy \(A_1=\left(0;-3;4\right);C_1=\left(0;3;4\right)\) b) Xét mặt phẳng \(\left(BCC_1B_1\right)\), ta có : \(\overrightarrow{BC}=\left(-4;3;0\right);\overrightarrow{BB_1}=\left(0;0;4\right)\) Vậy vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng \(\left(BCC_1B_1\right)\) là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BB_1}\right]\) \(=\left(\left|\begin{matrix}3&0\\0&4\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&-4\\4&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-4&3\\0&0\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(12;16;0\right)\) Cùng phương với vectơ (3;4;0) Vậy mặt phẳng \(\left(BCC_1B_1\right)\) có phương trình : \(3\left(x-4\right)+4\left(y-0\right)=0\) \(\Leftrightarrow3x+4y-12=0\) Khoảng cách h từ A xuống \(\left(BCC_1B_1\right)\) là : \(h=\frac{\left|3.0+4\left(-3\right)-12\right|}{5}=\frac{24}{5}\) Đó chính là bán kính R của hình cầu \(\left(\varphi\right)\) có tâm A và tiếp xúc với \(\left(BCC_1B_1\right)\) Vậy mặt cầu \(\left(\varphi\right)\) cần tìm có phương trình : \(x^2+\left(y+3\right)^2+z^2=\frac{576}{25}\) Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm A(3;3;0);B(3;0;3);C(0;3;3);D(3;3;3) a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài giải:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu: (S) : \(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=9\) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S). \(I\left(-1;2;1\right)\) và \(R=3\) \(I\left(1;-2;-1\right)\) và \(R=3\) \(I\left(-1;2;1\right)\) và \(R=9\) \(I\left(1;-2;-1\right)\) và \(R=9\) Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu tâm \(I\left(x_I;y_I;z_I\right)\) và bán kính R là: \(\left(x-x_I\right)^2+\left(y-y_I\right)^2+\left(z-z_I\right)^2=R^2\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;1) và mặt phẳng (P) : 2x + y + 2z + 2 = 0. Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu (S). (S) : \(\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=8\) (S) : \(\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=10\) (S) : \(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=8\) (S) : \(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=10\) Hướng dẫn giải: K/c từ I đến mặt phẳng (P) là: \(d=\frac{\left|2.2+1+2.1+2\right|}{\sqrt{2^2+1^1+2^2}}=3\) Giao tuyến cúa (S) với (P) là đường tròn bán kính r = 1. Suy ra bán kính R của hình cầu (S) là: \(R=\sqrt{d^2+r^2}=\sqrt{3^1+1^1}=\sqrt{10}\) Vậy phương trình hình cầu (S) có tâm I(2;1;1) và bán kính \(\sqrt{10}\) là: \(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=10\)
Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau: \(x^2+y^2+z^2-8x-2y+1=0\) Tâm I(8;2;0) bán kính R = 1 Tâm I(-4;-1;0) bán kính R = 1 Tâm I(4;1;0) bán kính R = 4 Tâm I(-4;-1;0) bán kính R = 4 Hướng dẫn giải: Ta cần viết lại phương trình dưới dạng: \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=R^2\) Ta có: \(x^2+y^2+z^2-8x-2y+1=0\) \(\Leftrightarrow\left(x^2-8x+16\right)+\left(y^2-2y+1\right)+z^2-16=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+\left(y-1\right)^2+z^2=4^2\) Vậy tâm là (4; 1; 0) và bán kính là 4
Tim tâm và bán kính mặt cầu có phương trình dưới đây: \(3x^2+3y^2+3z^2-6x+8y+15z-3=0\) \(I\left(3;-4;-\frac{15}{2}\right),R=\sqrt{3}\) \(I\left(1;-\frac{4}{3};-\frac{5}{2}\right),R=\frac{19}{6}\) \(I\left(1;\frac{4}{3};\frac{5}{2}\right),R=\frac{19}{6}\) Phương trình trên không phải là phương trình mặt cầu Hướng dẫn giải: Ta cần viết lại phương trình dưới dạng: \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=R^2\) Ta có: \(3x^2+3y^2+3z^2-6x+8y+15z-3=0\) \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2x+\frac{8}{3}y+5z-1=0\) \(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+2.\frac{4}{3}y+\frac{16}{9}\right)+\left(z^2+2.\frac{5}{2}z+\frac{25}{4}\right)-1-\frac{16}{9}-\frac{25}{4}-1=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+\frac{4}{3}\right)^2+\left(z+\frac{5}{2}\right)^2=\frac{361}{36}\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+\frac{4}{3}\right)^2+\left(z+\frac{5}{2}\right)^2=\left(\frac{19}{6}\right)^2\) => Tâm mặt cầu là \(I\left(1;-\frac{4}{3};-\frac{5}{2}\right)\) và bán kính \(R=\frac{19}{6}\)
Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với: A(4; -3; 7) và B(2; 1; 3) \(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-5\right)^2=36\) \(x^2+y^2+z^2-3x+2y-10z+26=0\) \(x^2+y^2+z^2+3x+2y+10z+26=0\) \(x^2+y^2+z^2+3x-2y+10z+26=0\) Hướng dẫn giải: Mặt cầu đường kính AB nên tâm mặt cầu là trung điểm I của AB và bán kính bằng \(\frac{AB}{2}\). Tâm I có tọa độ là: \(\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)=\left(\frac{4+2}{2};\frac{-3+1}{2};\frac{7+3}{2}\right)=\left(3;-1;5\right)\) Bán kính \(R=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}\) \(=\frac{1}{2}\sqrt{\left(2-4\right)^2+\left(1+3\right)^2+\left(3-7\right)^2}=3\) Vậy phương trình mặt cầu là: \(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-5\right)^2=3^2\) \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-3x+2y-10z+26=0\)
Viết phương trình mặt cầu đi qua A(5 ; -2; 1) và có tâm I(3; -3; 1). \(\left(x-3\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-1\right)^2=5\) \(\left(x-3\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-1\right)^2=\sqrt{5}\) \(\left(x+3\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z+1\right)^2=5\) \(\left(x+3\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z+1\right)^2=\sqrt{5}\) Hướng dẫn giải: Bán kính mặt cầu là: \(IA=\sqrt{\left(5-3\right)^2+\left(-2+3\right)^2+\left(1-1\right)^2}=\sqrt{5}\) Mặt cầu tâm I(3; -3; 1) bán kính \(\sqrt{5}\) có phương trình là: \(\left(x-3\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-1\right)^2=5\)
Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh như sau: A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0 ; 0; 1) và D(1 ; 1; 1) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\sqrt{2}\) \(\sqrt{3}\) \(\frac{3}{4}\) Hướng dẫn giải: Giả sử tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là I(x ; y ; z), ta có: IA = IB = IC = ID \(\Leftrightarrow\begin{cases}IA^2=IB^2\\IA^2=IC^2\\IA^2=ID^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x-1\right)^2+y^2+z^2=x^2+\left(y-1\right)^2+z^2\\\left(x-1\right)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+\left(z-1\right)^2\\\left(x-1\right)^2+y^2+z^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y\\x=z\\y+z=1\end{cases}\) \(x=y=z=\frac{1}{2}\) Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là \(I\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) và bán kính là \(IA=\sqrt{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2+\left(0-\frac{1}{2}\right)^2+\left(0-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Cho (S) là mặt cầu tâm I(2;1;-1) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) có phương trình: \(\left(\alpha\right):2x-2y-z+3=0\) Bán kính của mặt cầu (S) là: \(2\) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{4}{3}\) \(\frac{2}{9}\) Hướng dẫn giải: Gọi H là điểm tiếp xúc giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\). Khi đó \(IH\perp\left(\alpha\right)\), hay là đường thẳng IH nhận vecto pháp tuyến của \(\left(\alpha\right)\) làm vecto chỉ phương. Vecto pháp tuyến của \(\left(\alpha\right)\) là: \(\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left(2;-2;-1\right)\) Đường thẳng IH đi qua I(2;1;-1) và có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left(2;-2;-1\right)\), phương trình của đường thẳng IH là: \(\begin{cases}x=2+2t\\y=1-2t\\z=-1-t\end{cases}\) H là giao của đường thẳng IH với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\), tìm tọa độ H(x;y;z) thỏa mãn: \(\begin{cases}x=2+2t\\y=1-2t\\z=-1-t\\2x-2y-z+3=0\end{cases}\) \(\begin{cases}t=-\frac{2}{3}\\x=\frac{2}{3}\\y=\frac{7}{3}\\z=-\frac{1}{3}\end{cases}\) Vậy \(H\left(\frac{2}{3};\frac{7}{3};-\frac{1}{3}\right)\) Bán kính mặt cầu (S) bằng IH: \(IH=\sqrt{\left(\frac{2}{3}-2\right)^2+\left(\frac{7}{3}-1\right)^2+\left(-\frac{1}{3}+1\right)^2}=2\)
Cho tứ diện ABCD có \(A\left(3;6;-2\right);B\left(6;0;1\right);C\left(-1;2;0\right);D\left(0;4;1\right)\) . Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ : \(I\left(3;-2;1\right)\) \(I\left(3;2;-1\right)\) \(I\left(-3;2;1\right)\) \(I\left(3;-2;-1\right)\) Hướng dẫn giải:
