PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Tích có hướng của hai vec tơ và vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Tích có hướng: Cho hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)\) , ta định nghĩa tích có hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (kí hiệu là \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\))là một vec tơ xác định như sau: \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{matrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(a_2b_3-a_3b_2;a_3b_1-a_1b_3;a_1b_2-a_2b_1\right)\) Nhận xét: *) Tích có hướng của hai vec tơ là vec tơ vuông góc với hai vec tơ đó. Tức là: \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\perp\overrightarrow{a}\) và \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\perp\overrightarrow{b}\) *) Độ dài tích có hướng của hai vec tơ bằng diện tích hình bình hành có 2 cạnh liên tiếp tạo bởi hai vec tơ đó, tức là: \(\left|\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\right|=S_{OADB}\) (xem hình vẽ) - Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P), nếu vec tơ \(\overrightarrow{n}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) thì \(\overrightarrow{n}\) được gọi là vec tơ pháp tuyến của (P). Nhận xét: Vec tơ \(\overrightarrow{n}\) vuông góc với hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) mà có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) thì \(\overrightarrow{n}\) là vec tơ pháp tuyến của (P). 2. Phương trình của mặt phẳng a) Mặt phẳng (P) đi qua \(M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)\) và có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right)\) có phương trình là: \(a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0\) Thật vậy: Lấy \(M\in\left(P\right)\), vì \(M,M_0\in\left(P\right)\Rightarrow\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{MM_0}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{n}.\overrightarrow{MM_0}=0\) \(\Rightarrow a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0\) b) Trong không gian Oxyz, tập hợp các điểm M(x;y;z) thỏa mãn phương trình \(ax+by+cz+d=0\) (trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0) là một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right)\) làm vec tơ pháp tuyến. c) Mặt phẳng $(P)$ có 2 véc tơ chỉ phương (VTCP) là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ thì nó có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]$. d) Mặt phẳng $(P)$ qua 3 điểm $A,B,C$ thì nó nhận $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ làm VTCP. Điều đó có nghĩa là $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]$ là VTPT của $(P)$. e) Phương trình đoạn chắn: Nếu mặt phẳng $(P)$ cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ tại\\ $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ thì phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $(ABC):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$ (Dễ dàng kiểm tra mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C bằng cách cho 2 tọa độ bằng 0 trong phương trình trên.) f) Phương trình chùm mặt phẳng: Nếu $(P):ax+by+cz+d=0$ và $(Q):a'x+b'y+c'z+d'=0$ thì phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ có dạng $(\alpha):m(ax+by+cz+d)+n(a'x+b'y+c'z+d')=0\quad (m^2+n^2>0)$ $m,n$ có thể được chọn qua tỉ số $\dfrac{m}{n}$. --------------CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho $A(-1;2;3),B(2;-4;3),C(4;5;6)$. - Viết phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với BC. - Tính diện tích tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng qua A,B,C. Giải - Mặt phẳng (P) cần tìm qua A(-1;2;3) và nhận \(\overrightarrow{BC}(2;9;3)\) làm VTPT nên (P) có phương trình (P): 2(x+1)+9(y-2)+3(z-3)=0. Vậy (P):2x+9y+3z-25=0. - Diện tích tam giác ABC xác định bởi $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|$. Ta có \(\overrightarrow{AB}(3;-6;0),\overrightarrow{AC}(5;3;3)\)\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{matrix}-6&0\\3&3\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&3\\3&5\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}3&-6\\5&3\end{matrix}\right|\right)=\left(-18;-9;39\right)\) Vậy \(S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{18^2+9^2+39^2}=\) Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G(1;2;3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. Giải Gọi giao điểm của (P) với các trục tọa độ là A(a;0;0), B(0;b;0) và C(0;0;c). Khi đó trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ \(\begin{cases}x_G=\frac{a}{3}=1\\y_G=\frac{b}{3}=2\\z_G=\frac{c}{3}=3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=3\\b=6\\c=9\end{cases}\).. Vậy A(3;0;0),B(0;6;0), C(0;0;9). Do đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng đoạn chắn là \(\left(P\right):\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1\) Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(4;-2;1),B(1;1;-2) và song song với trục Ox. Giải Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B nên nhận \(\overrightarrow{AB}\left(-3;3;-3\right)\)làm VTCP. Mặt phẳng (P) song song với trục Ox nên nhận \(\overrightarrow{i}\left(1;0;0\right)\) làm VTCP. Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{i}\right]=\left(\left|\begin{matrix}3&-3\\0&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-3&-3\\0&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-3&3\\1&0\end{matrix}\right|\right)=\left(0;-3;-3\right)=-3\left(0;1;1\right)\) Do (P) đi qua A(4;-2;1) nên (P) có phương trình (P): 0(x-4)+1.(y+2)+1.(z-1)=0 hay (P):y+z+1=0 Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua M(3;4;1) và giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):19x-6y-4z+27=0$ và $(Q): 42x-8y+3z+11=0$. Giải Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua giao tuyến của (P) và (Q) nên có phương trình dạng \(m\left(19x-6y-4z+27\right)+n\left(42x-8y+3z+11\right)=0\) với \(m^2+n^2>0\) Do $(\alpha)$ đi qua M(3;4;1) nên 56m+108n=0, suy ra \(\frac{m}{n}=-\frac{27}{14}\). Chọn m=27, n=-14 thì \(\left(\alpha\right):27\left(19x-6y-4z+27\right)-14\left(42x-8y+3z+11\right)=0\Leftrightarrow-75x-50y-150z+575=0\) Vậy \(\left(\alpha\right):3x+2y+6z-23=0\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(3x-z+2=0\). Vec tơ nào dưới đây là vec tơ pháp tuyến của (P)? \(\overrightarrow{n}=\left(-1;0;-1\right)\) \(\overrightarrow{n}=\left(3;-1;2\right)\) \(\overrightarrow{n}=\left(3;-1;0\right)\) \(\overrightarrow{n}=\left(3;0;-1\right)\) Hướng dẫn giải: Nếu phương trình mặt phẳng là ax + by + cz + d = 0 thì vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)\).
Trong hệ tọa độ Oxyz cho A(2; 4; 1) , B ( -1; 1; 3 ) và mặt phẳng (P) x - 3y + 2z - 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( Q) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng P. 2y - 3z + 11 = 0 -2 y + 3z - 11 = 0 2y + 3z + 11 = 0 2y + 3z - 11 = 0 Hướng dẫn giải: ( Q ) đi qua A và B, vuông góc với mặt phẳng P nên (Q) có VTPT \(\overrightarrow{n_Q}=\left[\overrightarrow{n_p,}\overrightarrow{AB}\right]\). Ta có: \(\overrightarrow{n_P}=\left(1;-3;2\right)\) \(\overrightarrow{AB}=\left(-3;-3;2\right)\) => \(\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{AB}\right]=\left(\left|\begin{matrix}-3&2\\-3&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-3\\-3&-3\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(0;-8;-12\right)\) Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A(2;4;1) và có vec tơ pháp tuyến (0;-8;-12) là: \(0\left(x-2\right)-8\left(y-4\right)-12\left(x-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow-8y-12x+44=0\) Hay là: 2y + 3z - 11 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm H ( 2; 1; 1 ) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. 2x + y + z - 6 = 0 -2z + y - z - 6 = 0 2x + y + z + 6 = 0 2x - y - x + 6 = 0 Hướng dẫn giải: Nếu mặt phẳng đi qua H ( 2; 1; 1 ) và cắt các trục tọa độ tại A, B, C thì tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, do đó H là trực tâm tam giác ABC thì \(OH\perp mp\left(ABC\right)\). Vậy mặt phẳng ( ABC) đi qua H và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{OH}=\left(2;1;1\right)\) nên có phương trình: \(2\left(x-2\right)+\left(y-1\right)+\left(z-1\right)=0\) hay \(2x+y+z-6=0.\)
Cho ba điểm A(0; 2; 1), B(3; 0; 1), C(1; 0; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(2x-3y-4z+2=0\) \(2x+3y-4z-2=0\) \(4x+6y-8z+2=0\) \(2x-3y-4z+1=0\) Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (ABC) đi qua C(1;0;0) và có vecto pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}\right]\). \(\left[\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}\right]=\left[\left(0-1;2-0;1-0\right),\left(3-1;0-0;1-0\right)\right]=\left[\left(-1;2;1\right),\left(2;0;1\right)\right]\) \(=\left(\left|\begin{matrix}2&1\\0&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&2\\2&0\end{matrix}\right|\right)=\left(2;3;-4\right)\) Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(2\left(x-1\right)+3\left(y-0\right)-4\left(z-0\right)=0\) \(\Leftrightarrow2x+3y-4z-2=0\)
Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng \(x-y+z-4=0,3x-y+z-1=0\) và đi qua điểm F ( 2 ; 1 ; -1). 15x - 7y + 7z - 16 = 0 15x + 7y - 7z - 16 = 0 15x - 7y + 7z + 16 = 0 -15x + 7y - 7z - 16 = 0 Hướng dẫn giải: Các điểm thuộc giao tuyển của hai mặt phẳng có tọa độ \(\left(x,y,z\right)\) thỏa mãn hệ: \(\begin{cases}x-y+z-4=0\\3x-y+z-1=0\end{cases}\) Cho y = 0 thì: \(\begin{cases}x+z=4\\3x+z=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\frac{3}{2}\\y=\frac{11}{2}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow M\left(-\frac{3}{2};0;\frac{11}{2}\right).\) Cho z = 0 thì: \(\begin{cases}x-y=4\\3x-y=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\frac{3}{2}\\y=-\frac{11}{2}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow N\left(\frac{-3}{2};\frac{-11}{2};0\right)\). Do đó mặt phẳng P đi qua 3 điểm \(M\left(\frac{-3}{2};0;\frac{11}{2}\right),N\left(\frac{-3}{2};\frac{-11}{2};0\right),F\left(2;1;-1\right)\). P đi qua F và có vec to pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{FM},\overrightarrow{FN}\right]\). Ta có: \(\overrightarrow{FM}=\left(-\frac{3}{2}-2;0-1;\frac{11}{2}+1\right)=\left(-\frac{7}{2};-1;\frac{13}{2}\right)\) \(\overrightarrow{FN}=\left(-\frac{3}{2}-2;-\frac{11}{2}-1;0+1\right)=\left(-\frac{7}{2};-\frac{13}{2};1\right)\) \(\left[\overrightarrow{FM},\overrightarrow{FN}\right]=\left(\left|\begin{matrix}-1&\frac{13}{2}\\-\frac{13}{2}&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}\frac{13}{2}&-\frac{7}{2}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-\frac{7}{2}&-1\\-\frac{7}{2}&-\frac{13}{2}\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(\frac{165}{4};-\frac{77}{4};\frac{77}{4}\right)=\frac{11}{4}\left(15;-7;7\right)\) P đi qua F(2;1;-1) và có vec tơ pháp tuyến là (15;-7;7) , phương trình là: \(15\left(x-2\right)-7\left(y-1\right)+7\left(z+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow15x-7y+7z-16=0.\)
Gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm M(8;0;0), N(0;-2;0), P(0;0;4). Phương trình của \(\left(\alpha\right)\) là: \(\frac{x}{8}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{4}=0\) \(\frac{x}{8}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1\) \(x-4y+2z=0\) \(x-4y+2z-8=0\) Hướng dẫn giải: \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng chắn ba trục tọa độ, phương trình của \(\left(\alpha\right)\) là: \(\frac{x}{8}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{4}=1\) \(\Leftrightarrow x-4y+2z-8=0\)
Tìm \(m\ne0\) để 4 điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;m) và M(1;1;1) đồng phẳng. m = 2 m = -2 m = 1 m = -1 Hướng dẫn giải: Dễ thấy A, B, C nằm trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz và cách gốc O một khoảng lần lượt là: 1, 2, m. Vậy phương trình của mặt phẳng đi qua A, B, C là: \(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{m}=1\). Do M(1;1;1) thuộc (P) nên \(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{m}=1\Leftrightarrow m=-2.\)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục tọa độ tạo thành tam giác nhận M là trọng tâm. \(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1\) \(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=-1\) \(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1\) \(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=0\) Hướng dẫn giải: Gọi 3 điểm mà mặt phẳng cắt các trục tọa độ là: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0;0;c) \(\left(abc\ne0\right)\) Do M(1; 2; 3) làm trọng tâm của tam giác ABC nên \(\frac{a+0+0}{3}=1\Rightarrow a=3\) \(\frac{0+b+0}{3}=2\Rightarrow b=6\) \(\frac{0+0+c}{3}=3\Rightarrow c=9\) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1.\)
Goi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M ( 1; 2; 4) , cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC\(\ne0\). Có bao nhiêu mặt phẳng thỏa mãn. 4 2 3 1 Hướng dẫn giải: Mặt phẳng cần tìm có dạng đoạn chắn : \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\), \(\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\ne0\). Điểm M ( 1; 2; 4 ) thuộc mặt phẳng nên \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{4}{c}=1\) Với a = b = c ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{2}{a}+\frac{4}{a}=1\Leftrightarrow a=7\). Phương trình có dạng \(\frac{x}{7}+\frac{y}{7}+\frac{z}{7}=1\) hay x + y + z - 7 = 0. Với \(a=b=-c\) ta có phương trình \(x+y-z+1=0\). Với \(a=c=-b\) ta có phương trình \(x-y+z-3=0\). Với \(-a=b=c\) ta có phương trình \(-x+y+z-5=0\) Có 4 mặt phẳng thỏa mãn.
