1. Quy tắc cộng Qui tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất cứ cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện. Quy tắc cộng ở trên thực chất là qui tắc đếm số phần từ của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: \(m\left(A\cup B\right)=m\left(A\right)+m\left(B\right)\). Qui tắc có thể mở rộng cho nhiều hành động (hoặc tập hợp). Ví dụ: Có bao nhiêu hình vuông trong hình sau: Nhìn vào hình vẽ ta thấy có hai loại hình vuông: hình vuôn cạnh 1cm (gọi là tập A) và hình vuông cạnh 2cm (gọi là tập B) và hai loại này không giao nhau. m(A) = số hình vuông cạnh 1cm = 4 x 2 = 8 (hình) m(B) = số hình vuông cạnh 2cm = 3 (hình) Vậy số hình vuông có trong hình là: \(m\left(A\cup B\right)=m\left(A\right)+m\left(B\right)=8+3=11\) hình 2. Qui tắc nhân Qui tắc nhân: Một công việc phải được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp nhau. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó lại có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc Ví dụ 1: Bạn Hoàng có hai áo màu khác nhau và ba quần kiểu khác nhau. Hỏi Hoàng có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo? Giải: Để chọn được 1 bộ quần áo thì phải thực hiện 2 hành động liên tiếp: - Chọn áo : có 2 cách chọn - Chọn quần: với mỗi áo thì lại có 3 cách chọn quần. Vậy số cách chọn ra một bộ quần áo là: 2 x 3 = 6 cách Ví dụ 2: a) Có bao nhiêu số điện thoại có 9 chữ số? b) Nếu có 100 triệu người dùng điện thoại, mỗi người sở hữu một số thì số điện thoại cần phải bao nhiêu chữ số? Giải: a) Một số điện thoại có 9 chữ số (tức 9 vị trí) thì: - Có thể chọn 10 chữ số cho vị trí thứ nhất (chọn trong các chữ số: 0; 1 ; ...; 9) - Với mỗi cách chọn ở vị trí thứ nhất thì có 10 cách chọn cho vị trí thứ hai ... - Cuối cùng, với mỗi cách chọn 8 vị trí đầu, lại có 10 cách cho chọn vị trí thứ chín. Vậy số cách chọn là: 10.10...10 = 109 cách chọn hay tương ứng với 1.000.000.000 số (1 tỉ số). b) Với 100 triệu người và mỗi người sở hữu 1 số điện thoại thì có 100.000.000 triệu số. Để có 100.000.000 số (108 số) thì số điện thoại phải có ít nhất 8 chữ số. Chú ý: Qui tắc nhân có cho nhiều hành động liên tiếp như ví dụ 2 ở trên.
Một nữ sinh viên có 3 kiểu mũ, 6 kiểu áo và 4 đôi giầy. Cô sinh viên này có thể chọn bao nhiêu bộ : "Mũ - áo-giầy" khác nhau ? 13 48 30 72 Hướng dẫn giải: Chọn "Mũ - áo - giầy" ta phải thực hiện 3 hành động liên tiếp: - Chọn Mũ: 3 cách chọn. - Chọn áo: 6 cách chọn. - Chọn giầy: 4 cách chọn. Theo qui tắc nhân, số cách chọn "mũ - áo - giầy" là: 3.6.4 = 72 cách.
Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau ? 72 120 15 48 Hướng dẫn giải: Số lẻ là số có tận cùng 1; 3; 5 trong các chữ số đã cho. Vậy có 3 cách chọn chữ số đơn vị (là 1 ; 3 ; 5). Với mỗi chữ số hàng đơn vị có 4 cách chọn chữ số hàng chục (lấy 5 chữ số ban đầu loại trừ đi chữ số hàng đơn vị) Với mỗi cách chọn chữ số hàng chục và hàng đơn vị lại có 3 cách chọn chữ số hàng trăm. Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm, chục, đơn vị, lại có 2 cách chọn chữ số hàng nghìn. Vậy có: 3.4.3.2 = 72 cách.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nữ và 5 bạn nam ngồi trên một dãy ghế thẳng có 10 ghế? 2.5!.5! 5!.5! 10! 111
Một tổ có 5 bạn nam và 7 bạn nữ. Có bao nhiêu cách lựa chọn 4 bạn vào đội văn nghệ của tổ đó sao cho số bạn nam bằng số bạn nữ? \(C^2_5.C^2_7\) \(A^2_5.A^2_7\) \(C^4_{12}\) \(A^4_{12}\) Hướng dẫn giải: Có bốn bạn được chọn và số bạn nam bằng số bạn nữ nên sẽ có 2 bạn nam được chọn, 2 bạn nữ được chọn. Số cách chọn 2 bạn nữ trong 7 bạn nữ là: \(C^2_7\). Số cách chọn 2 bạn nam trong 5 bạn nam là: \(C^2_5\). Số cách chọn bốn bạn sao cho số bạn nam bằng số bạn nữ là: \(C^2_5.C^2_7\).
An có 5 cái quần, 4 cái áo và 3 cái cà vạt. Hỏi An có bao nhiêu cách kết hợp sao cho một bộ trang phục gồm 1 cái áo, 1 cái quần và 1 cái cà vạt ? \(C^1_5.C^1_4.C^1_3\) \(C^3_{12}\) \(A^3_{12}\) \(C^3_5.C^3_4.C^1_3\)
Một mặt phẳng có n \(\left(n\ge3\right)\)điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu véc tơ khác 0 được tạo thành từ n điểm trên ? \(A^2_n\) \(C^2_n\) \(C^1_n.C^1_n\) \(A^1_n.A^1_n\)
Một nhóm học sinh có 9 bạn nam và 8 bạn nữ. Người ta cần chọn ra 4 em đi thi thể thao. Yêu cầu trong các em phải có ít nhất 1 em nữ và 1 em nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 7560 7707 9792 8902 Hướng dẫn giải: - Có 9 cách chọn 1 em nữ trong 9 em nữ. - Có 8 cách chọn 1 em nam trong 8 em nam. - Có \(C^2_{15}\) cách chọn 2 em trong số 15 em còn lại. Vậy có tổng cộng số cách chọn là: 9 x 8 x 105 = 7560 (cách)
Trong mặt phẳng có n điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ n điểm đã cho \(\left(n\ge3\right)\) ? \(C^3_n\) \(A^3_n\) \(3n\) \(\dfrac{n}{3}\) Hướng dẫn giải: Mỗi bộ 3 điểm không kể thứ tự, trong n điểm đã cho xác định một tam giác và ngược lại. Vậy số tam giác có đỉnh là 3 trong n điểm nói trên bằng \(C^3_n\)
Một bài thi trắc nghiệm có 10 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có bao phương án trả lời? \(4^{10}\) \(10^4\) \(C^4_{10}\) \(A^4_{10}\)
