Tổng hợp lý thuyết và bài tập chuyên đề Số phức

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    1. Số \(i\)
    Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm thực. Phương trình bậc hai đơn giản nhất không có nghiệm thực là phương trình
    \(x^2+1=0\)
    Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới, kí hiện là \(i\) và coi nó là nghiệm của phương trình trên. Như vậy
    \(i^2=-1\)

    2. Định nghĩa số phức
    Mỗi biểu thức dạng \(a+bi\) trong đó \(a,b\in R,i^2=-1\) được gọi là một số phức
    Đối với số phức \(z=a+bi\), ta nói \(a\) là phần thực \(b\) là phần ảo của \(z\)
    Tập hợp các số phức kí hiệu là \(C\)
    Ví dụ : Các số sau là những số phức : \(2+5i;-\sqrt{2}+3i;1+\left(-3\right)i\) (còn viết là \(1-3i;\)) ; \(1+\sqrt{3}i\) (còn viết là \(1+i\sqrt{3}\))

    3. Số phức bằng nhau:
    Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
    \(a+bi=c+di\Leftrightarrow a=c;b=d\)
    Ví dụ : Tìm các số thực x và y, biết :
    \(\left(2x+1\right)+\left(3y-2\right)i=\left(x+2\right)+\left(y+4\right)i\)
    Giải : Từ định nghĩa của hai số phức bằng nhau, ta có :
    \(2x+1=x+2\) và \(3y-2=y+4\)
    Vậy \(x=1;y=3\)

    CHÚ Ý :
    - Mỗi số thực \(a\) được coi là một số phức với phần ảo bằng 0 \(\text{ a=a+0i}\). Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có \(R\subset C\)
    - Số phức \(0+bi\) được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là \(\text{ bi}\)
    \(bi=0+bi\)
    Đặc biệt \(i=0+1i\). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo

    4. Môđun của số phức
    Giả sử số phức \(z=a+bi\) được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trên mặt phẳng tọa độ
    01.png
    Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{OM}\) được gọi là môđun của số phức \(z\) và kí hiệu là\(\left|z\right|\)
    Vậy \(\left|z\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|\) hay \(\left|a+bi\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|\)
    Dễ thấy \(\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)
    Ví dụ : \(\left|3-2i\right|=\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt{13}\)
    \(\left|1+i\sqrt{3}\right|=\sqrt{1+\left(\sqrt{3}\right)^2}=2\)

    5. Số phức liên hợp
    Cho số phức \(z=a+bi\) , ta gọi \(a-bi\) là số phức liên hợp của \(z\) và kí hiệu là \(\overline{z}=a-bi\)
    02.png
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.
    • Số phức \(z=5-3i\) có phần thực là 5, phần ảo là -3.
    • Số phức \(z=\sqrt{2}i\) là số thuần ảo.
    • Điểm \(M\left(-1;2\right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z=-1+2i\) .
    • Số 0 không phải là số phức
    Hướng dẫn giải:

    Ta có: \(0=0+0i\) là số phức có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 0
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Khẳng định nào sau đây là sai?
    • Số phức \(2\sqrt{2}\) có phần thực là \(2\sqrt{2}\)
    • Số phức \(z=\sqrt{2}-i\) có phần thực là \(\sqrt{2}\) và phần ảo là \(-i\)
    • Tập số phức chứa tập số thực
    • Số phức \(z=-3+4i\) có mô đun bằng 5
    Hướng dẫn giải:

    Số phức \(z=\sqrt{2}-i=\sqrt{2}-1.i\) có phần thực là \(\sqrt{2}\) và phần ảo là \(-1\) .
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm tất cả các cặp số thực (x; y) thỏa mãn điều kiện sau:
    \(\left(x^2-3x\right)+\left(5y^2+y+1\right)i=\left(2x-6\right)+\left(y^2+2y+6\right)i\) .
    • \(\left(2;-1\right),\left(2;\frac{5}{4}\right)\)
    • \(\left(2;-1\right),\left(2;\frac{5}{4}\right),\left(3;-1\right)\)
    • \(\left(2;-1\right),\left(3;\frac{5}{4}\right),\left(3;-1\right)\)
    • \(\left(2;-1\right),\left(2;\frac{5}{4}\right),\left(3;-1\right),\left(3;\frac{5}{4}\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    \(\left(x^2-3x\right)+\left(5y^2+y+1\right)i=\left(2x-6\right)+\left(y^2+2y+6\right)i\)
    \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-3x=2x-6\\5y^2+y+1=y^2+2y+6\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-5x+6=0\\4y^2-y-5=0\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=2,x=3\\y=-1,y=\frac{5}{4}\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\) hoặc \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=2\\y=\frac{5}{4}\end{cases}\) hoặc \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=3\\y=-1\end{cases}\) hoặc \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=3\\y=\frac{5}{4}\end{cases}\)
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪