1. Thể tích khối hình hộp - Thể tích khối hình hộp chữ nhật có có 3 kích thước a; b; c là \(V_{abc}=abc\) - Thể tích khối lập phương cạnh a là: \(V_{hlp}=a^3\) 2. Thể tích khối chóp \(S.A_1A_2...A_n\) Cho khối chóp \(S.A_1.A_2...A_n\) có diện tích mặt đáy \(A_1A_2...A_n\) là \(S_{day}\) và h là khoảng cách từ đỉnh S tới mặt đáy khối chóp. Khi đó thể tích khối chóp đã cho là \(V_{hchop}=\frac{1}{3}S_{day}.h\) Với tứ diện ABCD \(V=V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}h_D=\frac{1}{3}S_{BCD}.h_A=\frac{1}{3}S_{ACD}.h_B=\frac{1}{3}S_{ABD}.h_C\) ở đó \(h_A,h_B,h_C,h_D\) lần lượt là chiều cao của hình tứ diện ABCD hạ từ đỉnh A; B; C; D. Từ đó, có \(h_A=\frac{3V}{S_{BCD}};h_B=\frac{3V}{S_{ACD}};h_C=\frac{3V}{S_{BAD}};h_D=\frac{3V}{S_{ABC}}\) Đặc biệt: a) Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên các đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm M, N, E. Khi đó: \(\frac{V_{S.MNC}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SE}{SC}\) b) Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên các đường thẳng SA, SB lần lượt lấy các điểm M, N. Khi đó: \(\frac{V_{S.MNC}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}\) c) Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên đường thẳng SA lấy điểm M. Khi đó: \(\frac{V_{S.MBC}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}\) 3. Thể tích khối lăng trụ Cho khối lăng trụ có diện tích một đáy là \(S_{day}\) và khoảng cách giữa hai mặt đáy của nó là h. Khi đó thể tích khối lăng trụ đó là: \(V_{htru}=S_{day}.h\) Đặc biệt đối với hình hộp ABCD.A'B'C'D': \(V_{hhop} = S_{ABCD}.d_{\left(A'\left(ABCD\right)\right)} = S_{ABB'A'}.d_{\left(C,\left(ABB'A'\right)\right)}= S_{ADD'A'}.d_{\left(B;\left(ADD'A'\right)\right)}\)
Cho một khối đa diện. Phát biểu nào dưới đây là SAI: Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh. Hướng dẫn giải: Mỗi cạnh là giao của hai mặt kề nhau, vậy mỗi cạnh là cạnh chung của hai mặt.
Tính thể tích V của khối lập phương ABCDA'B'C'D', biết AC' = \(a\sqrt{3}\) \(V=a^3\) \(V=\frac{3\sqrt{6}a^3}{4}\) \(V=3\sqrt{3}a^3\) \(V=\frac{1}{3}a^3\) Hướng dẫn giải: AC' là đường chéo của khối lập phương. Nếu gọi cạnh của hình lập phương là x thì: \(AC'^2=AA'^2+A'C'^2=AA'^2+A'B'^2+B'C'^2=3x^2\) Vậy \(x=\frac{AC'}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a\) \(V=a^3\)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = \(\sqrt{2}a\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. \(V=\frac{\sqrt{2}a^3}{6}\) \(V=\frac{\sqrt{2}a^3}{4}\) \(V=\sqrt{2}a^3\) \(V=\frac{\sqrt{2}a^3}{3}\) Hướng dẫn giải: Thể tích hình chóp \(V=\frac{1}{3}S_{đáy}.h=\frac{1}{3}a^2.\sqrt{2}a=\frac{\sqrt{2}a^3}{3}\)
Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 6a; AC = 7a và AD = 4a. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP. \(V=\frac{7}{2}a^3\) \(V=14a^3\) \(V=\frac{28}{3}a^3\) \(V=7a^3\) Hướng dẫn giải: \(V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{ACD}.AB=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}AC.AD.AB=\frac{1}{6}7a.6a.4a=28a^3\) Vì M, N, P là trung điểm của BC, CD, BD nên ta có: \(S_{BMP}=S_{CMN}=S_{DNP}=S_{MNP}\) Vậy \(V_{ABMP}=V_{ACMN}=V_{ADNP}=V_{AMNP}=\frac{1}{4}V_{ABCD}\) Suy ra \(V_{AMNP}=\frac{28a^3}{4}=7a^3\)
Cho chóp SACBD, ABCD là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm của AD và AB. Tính tỉ số \(\frac{V_{SAMN}}{V_{SMNDCB}}.\) \(\frac{1}{7}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{5}\) Hướng dẫn giải: Xét mặt phẳng đáy: Do \(\Delta AMN\sim\Delta ADB\) theo hệ số tỉ lệ là \(\frac{1}{2}\) nên \(\frac{S_{AMN}}{SADB}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{S_{AMN}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{8}\Rightarrow\frac{S_{AMN}}{S_{MNBCD}}=\frac{1}{7}\) Ta thấy hai khối chóp S.AMN và S.MNDCB có chung chiều cao nên \(\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.MNBCD}}=\frac{S_{AMN}}{S_{MNBCD}}=\frac{1}{7}.\)
Thể tích khối bát diện đều cạnh x là: \(\frac{\sqrt{2}}{6}x^3\) \(\frac{\sqrt{2}}{3}x^3\) \(\frac{2}{3}x^3\) \(\frac{2}{\sqrt{3}}x^3\) Hướng dẫn giải: Ta chia khối bát diện đều thành hai khối chóp tứ giác đều bằng nhau. \(V_{ABCDE}=\frac{1}{3}S_{BCDE}.AI\) BCDE là hình vuông cạnh x nên \(S_{BCDE}=x^2\) Ta có \(BD=\sqrt{CD^2+CB^2}=\sqrt{2}x\Rightarrow DI=\frac{\sqrt{2}x}{2}\) \(\Rightarrow AI=\sqrt{x^2-\frac{x^2}{2}}=\frac{x}{\sqrt{2}}\) Vậy \(V_{ABCDE}=\frac{1}{3}.x^2.\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{x^3}{3\sqrt{2}}\) Vậy thể tích bát diện đều là: \(2.\frac{x^3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}x^3.\)
Nếu tăng tất cả các cạnh của khối hộp chữ nhật lên 3 lần thì thể tích khối hộp sẽ tăng: 3 lần 9 lần 27 lần 81 lần Hướng dẫn giải: Giả sử các kích thước ban đầu của khối hộp chữ nhật là a, b, c. Khi đó thể tích khối hộp chữ nhật là abc. Sau khi gấp 3 lần các cạnh, kích thước khối hộp chữ nhật mới là 3a, 3b ,3c. Thể tích mới là 3a.3b.3c = 27abc. Vậy thể tích khối hộp chữ nhật tăng lên 27 lần.
Cho khối chóp tam giác đều SABC, cạnh đáy dài a, các cạnh bên tạo với đáy góc \(60^o\) . Tính thể tích khối chóp đó. \(\frac{\sqrt{3}}{12}a^3\) \(\frac{\sqrt{3}}{7}a^3\) \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^3\) \(\frac{2\sqrt{3}}{13}a^3\) Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm BC, H là chân đường cao kẻ từ S tới (ABC). Ta có: \(AM=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}a}{02}=\frac{a}{\sqrt{3}}\) Do \(\widehat{SAH}=60^o\Rightarrow SH=AH.tan60^o=\frac{a}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}=a.\) \(S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.AM=\frac{1}{2}a.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) Vậy \(V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SH=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.a=\frac{\sqrt{3}}{12}a^3.\)
Cho lăng trụ đứng, đáy là tam giác ABC cân tại B. Biết BC = BA = x; \(\widehat{ABC}=150^o\) ; góc tạo bởi BA' và (A'B'C') là \(60^o\) . Tính thể tích khối lăng trụ. \(\frac{\sqrt{3}}{12}x^3\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}x^3\) \(\frac{\sqrt{3}}{8}x^3\) \(\frac{\sqrt{3}}{4}x^3\) Hướng dẫn giải: Do đây là lăng trụ đứng nên \(BB'\perp\left(A'B'C'\right)\) Vậy tam giác A'B'B vuông tại B'. Vậy thì \(BB'=A'B'.tan60^o=x\sqrt{3}\) \(S_{ABC}=\frac{1}{2}BA.BC.sin150^o=\frac{1}{2}.x.x.\frac{1}{2}=\frac{x^2}{4}\) Vậy \(V_{ABCA'B'C}=S_{ABC}.BB'=\frac{x^2}{4}.\sqrt{3}x=\frac{\sqrt{3}}{4}x^3.\)
