Tổng hợp lý thuyết và bài tập chuyên đề Ứng dụng Tích phân trong hình học

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC


    1. Tính diện tích hình phẳng.

    • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=f\left(x\right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=a;x=b\) là
    01.png
    \(S=\int^b_a\left|f\left(x\right)\right|dx\)
    • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=f\left(x\right)\), \(y=g\left(x\right)\) và hai đường thẳng \(x=a;x=b\) là
    02.png
    \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx\)
    • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng \(y=a;y=b\) là
    \(S=\int^b_a\left|f\left(y\right)-g\left(y\right)\right|dy\)
    Ví du: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong \(y=x^3-x\) và \(y=x-x^2\)
    Giải: Ta xét hiệu hai hàm \(f_1\left(x\right)=x^3-x\) và \(f_2\left(x\right)=x-x^2\) là:
    \(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)=x^3+x^2-2x=x\left(x^2+x-2\right)=x\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)
    Ta có \(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\) bằng 0 tại 3 điểm có hoành độ là -2; 0; 1. Vậy diện tích hình giới hạn bởi hai đồ thị là:
    \(S=\int\limits^1_{-2}\left|x^3+x^2-2x\right|\text{d}x=\left|\int\limits^0_{-2}\left(x^3+x^2-2x\right)\text{d}x\right|+\left|\int\limits^1_0\left(x^3+x^2-2x\right)\text{d}x\right|\)
    \(=\left|\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\right)|^0_{-2}\right|+\left|\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\right)|^1_0\right|\)
    \(=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}\)
    2. Thể tích của vật thể

    Một vật thể \(\Omega\) giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x =a , x = b ( a < b). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại hoành độ x ( a < x < b) và cắt \(\Omega\) theo thiết diện S(x) (hàm phụ thuộc vào hoành độ x) và là hàm liên tục theo biến x trên [a, b]. Khi đó thể tích của \(\Omega\) là (thừa nhận):
    \(V=\int\limits^b_aS\left(x\right)\text{d}x\)
    03.png
    Ví dụ: Tính thể tích hình lăng trụ biết diện tích đáy là B và chiều cao h (xem hình vẽ)
    04.png
    Áp dụng công thức ở trên:
    \(V=\int\limits^h_0S\left(x\right)\text{d}x=\int\limits^h_0B\text{d}x=B.x|^h_0=B.h\)
    3. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

    a) Khối chóp
    Tính thể tích hình chóp có diện tích đáy B và chiều cao h (xem hình vẽ dưới)
    05.png
    Ta có thiết diện và đáy tỉ lệ với x/h => Diện tích thiết diện và diện tích đáy tỉ lệ với (x/h)2 (do diện tích bằng tích hai độ dài).
    Hay là: \(\frac{S\left(x\right)}{B}=\frac{x^2}{h^2}\) => \(S\left(x\right)=\frac{B.x^2}{h^2}\)
    Theo công thức tính thể tích:
    \(V=\int\limits^h_0S\left(x\right)\text{d}x=\int\limits^h_0\frac{B.x^2}{h^2}\text{d}x=\frac{B}{h^2}.\frac{x^3}{3}|^h_0=\frac{B.h}{3}\)
    b) Khối chóp cụt:
    Thể tích khối chóp cụt có diện tích đáy dưới là \(B_1\) , diện tích đáy trên là \(B_2\) và chiều cao là h:
    06.png
    \(V=\int\limits^{h_1}_{h_2}\frac{B_1x^2}{h_1^2}\text{d}x=\frac{B_1}{h_1^2}.\frac{x^3}{3}|^{h_1}_{h_2}=\frac{B_1}{3h_1^2}\left(h_1^3-h_2^3\right)\)
    \(=\frac{B_1\left(h_1-h_2\right)}{3}\frac{\left(h_1^2+h_1h_2+h_2^2\right)}{h_1^2}\)
    Thay \(h_1-h_2=h\) và \(\left(\frac{h_2}{h_1}\right)^2=\frac{B_2}{B_1}\) ta có:
    \(V=\frac{h}{3}\left(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2\right)\)
    Chú ý: có thể tích thể tích khối chóp cụt bằng hiệu hai thể tích khối chóp to (đáy B1) và khối chóp bé (đáy B2) cũng ra được công thức trên.
    4. Tính thể tích khối tròn xoay.

    • Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a;x=b\) quanh trục Ox là
    \(V_x=\pi\int\limits^b_af^2\left(x\right)dx\) (vì thiết diện là hình tròn bán kính \(f\left(x\right)\))
    • Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\), \(y=g\left(x\right)\) (trong đó \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) cùng dấu) và hai đường thẳng \(x=a;x=b\)quanh trục Ox là
    \(V_x=\pi\int\limits^b_a\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|dx\) (vì thiết diện là hình miệng giếng giới hạn bởi hai đường tròn bán kính lần lượt là \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\))
    • Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x=g\left(y\right)\)), trục hoành và hai đường thẳng \(y=a;y=b\) quanh trục Oy là
    \(V_y=\pi\int\limits^b_ag^2\left(y\right)dy\)
    Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=\sin x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0;x=\pi\). Hãy tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình này quanh trục Ox.
    07.png
    Giải: Thể tích của khối tròn xoay là:
    \(V=\pi\int\limits^{\pi}_0\sin^2x\text{d}x\)
    \(=\pi\int\limits^{\pi}_0\frac{1}{2}\left(1-\cos2x\right)\text{d}x=\frac{\pi}{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin2x\right)|^{\pi}_0=\frac{\pi^2}{2}\)
    Các ví dụ khác

    Ví dụ 1: (Hai Bà Trưng-Huế 2015 L3)
    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(x=\ln 3;x=\ln 8;y=0;y=\sqrt{e^x+1}\).
    ĐS: \(S=2+\ln 3-\ln 2\) (đvdt)
    Ví dụ 4: (Quỳnh Lưu 3-Nghệ An 2015) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=\ln x; y=0;x=e\).
    ĐS: S=1 (đvdt)
    Ví dụ 5: (Lê Xoay-Vĩnh Phúc 2015 L4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=x^3+x^2-2x\) và trục hoành.
    ĐS: \(S=\dfrac{37}{12}\) (đvdt)
    Ví dụ 6: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng \(H=\{y=x\ln x; y=0; x=1; x=e\}\) quay quanh Ox.
    ĐS: \(V=\dfrac{\pi}{27}(5e^3-3)\) (đvtt)
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong. giới hạn bởi đồ thi hàm số f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), xung quanh trục Ox.
    1. \(V=\pi\int\limits^b_af^2\left(x\right)dx\)
    2. \(V=\int\limits^b_af^2\left(x\right)dx\)
    3. \(V=\pi\int\limits^b_af\left(x\right)dx\)
    4. \(V=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|dx\)
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    \(V=\pi\int\limits^b_af^2\left(x\right)dx\)
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^3-x\) và đồ thị hàm số \(y=x-x^2\)
    • \(\frac{37}{12}\)
    • \(\frac{9}{4}\)
    • \(\frac{81}{12}\)
    • 13
    Hướng dẫn giải:

    Đặt \(f\left(x\right)=x^3-x\) và \(g\left(x\right)=x-x^2\)
    Ta có :
    \(f\left(x\right)-g\left(x\right)=x^3-x-x+x^2\)
    \(=x\left(x^2+x-2\right)\)
    \(=x\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)
    => f(x) - g(x) = 0 tại 3 điểm có hoành độ là x = 0; x = 1; x = -2.
    Lập bảng xét dấu f(x) - g(x) ta có:
    01.png
    Vậy f(x) giao g(x) tại 3 điểm -2; 0; 1 và trên [-2; 0] thì \(f\left(x\right)\ge g\left(x\right)\), trên [0; 1] \(f\left(x\right)\le g\left(x\right)\).
    Diện tích hình giới hạn bởi hai đồ thị f(x) và g(x) là:
    \(\int\limits^1_{-2}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx=\int\limits^0_{-2}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx+\int\limits^1_0\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx\)
    \(=\int\limits^0_{-2}\left(x^3+x^2-2x\right)dx+\int\limits^1_0\left(-x^3-x^2+2x\right)dx\)
    \(=\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-\frac{2x^2}{2}\right)|^0_{-2}+\left(-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^2}{2}\right)|^1_0\)
    \(=-\frac{\left(-2\right)^4}{4}-\frac{\left(-2\right)^3}{3}+\left(-2\right)^2-\frac{1^4}{4}-\frac{1^3}{3}+1^2\)
    \(=\frac{37}{12}\)
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=2\left(x-1\right)e^x\), trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quang trục Ox.
    • \(V=4-2e\)
    • \(V=\left(4-2e\right)\pi\)
    • \(V=e^2-5\)
    • \(V=\left(e^2-5\right)\pi\)
    Hướng dẫn giải:

    Ta có \(2\left(x-1\right)e^x=0\Leftrightarrow x=1\)
    => Hàm số \(y=2\left(x-1\right)e^x\) cắt trục hoành tại điểm x = 1.
    Trục tung là đường thẳng x = 0.
    => Thể tích V bằng:
    \(V=\pi\int\limits^1_0\left(2\left(x-1\right)e^x\right)^2dx\)
    \(V=4\pi\left(\int\limits^1_0x^2e^{2x}dx-2\int\limits^1_0xe^{2x}dx+\int\limits^1_0e^{2x}dx\right)\)
    Ta tính:
    \(\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}\int e^{2x}d\left(2x\right)=\frac{1}{2}e^{2x}\)
    \(\int xe^{2x}dx=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{2}\int e^{2x}\) (Đăth \(u=x;v'=e^{2x}\) => \(u'=1;v=\frac{1}{2}e^{2x}\))
    \(=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}\)
    \(\int x^2e^{2x}dx=\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\int xe^{2x}dx\) (Đăth \(u=x^2;v'=e^{2x}\) => \(u'=x;v=\frac{1}{2}e^{2x}\))
    \(=\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}\)
    Thay vào ta tính V như sau:
    \(V=4\pi\left[\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}-xe^{2x}+\frac{1}{2}e^{2x}+\frac{1}{2}e^{2x}\right]|^1_0\)
    \(V=4\pi\left(\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\frac{3}{2}xe^{2x}+\frac{5}{4}e^{2x}\right)|^1_0\)
    \(V=4\pi\left(\frac{1}{2}e^2-\frac{3}{2}e^2+\frac{5}{4}e^2\right)-4\pi\left(\frac{5}{4}e^0\right)\)
    \(V=\pi\left(e^2-5\right)\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tính diện tích S giới hạn bởi các đường sau:
    \(y=x^2\) và \(y=x+2\)
    • \(S=5\)
    • \(S=\frac{9}{2}\)
    • \(S=4\)
    • \(S=\frac{7}{2}\)
    Hướng dẫn giải:

    Hoành đồ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm phương trình:
    \(x^2=x+2\)
    \(\Leftrightarrow x^2-x-2=0\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-1\\x=2\end{array}\right.\)
    Vậy diện tích S giới hạn bởi hai đồ thị là:
    \(S=\int\limits^2_{-1}\left|x^2-x-2\right|\text{d}x\)
    \(=\left|\int\limits^2_{-1}\left(x^2-x-2\right)\text{d}x\right|\) (vì trong [-1; 2] biểu thức dưới dấu tích phân không đổi dẩu)
    \(=\left|\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x\right)|^2_{-1}\right|\)
    \(=\left|\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\right|\)
    \(=\frac{9}{2}\)
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
    \(y=\left(x-6\right)^2\) và \(y=6x-x^2\)
    • \(S=8\)
    • \(S=9\)
    • \(S=10\)
    • \(S=11\)
    Hướng dẫn giải:

    Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình sau:
    \(\left(x-6\right)^2=6x-x^2\)
    \(\Leftrightarrow2x^2-18x+36=0\)
    \(\Leftrightarrow x^2-9x+18=0\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=6\\x=3\end{array}\right.\)
    Diện tích hình giới hạn bởi hai đường cong là:
    \(S=\int\limits^6_3\left|\left(x-6\right)^2-6x+x^2\right|\text{d}x\)
    \(=\int\limits^6_3\left|2x^2-18x+36\right|\text{d}x\)
    \(=2\int\limits^6_3\left|x^2-9x+18\right|\text{d}x\)
    \(=2\int\limits^6_3\left(-x^2+9x-18\right)\text{d}x\) (vì trong [3; 6] biểu thức trong | | không dương)
    \(=2\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{9x^2}{2}-18x\right)|^6_3\)
    \(=9\)
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=x^2+1\), tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2; 5) và trục Oy.
    • \(S=\frac{20}{3}\)
    • \(S=\frac{10}{3}\)
    • \(S=\frac{8}{3}\)
    • \(S=5\)
    Hướng dẫn giải:

    Tiếp tuyến với đồ thị \(y=x^2+1\) tại điểm M(2 ; 5) có dạng:
    \(y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+5\)
    Với \(f'\left(x\right)=2x\) => \(f'\left(2\right)=2.2=4\)
    => Tiếp tuyến là: \(y=4\left(x-2\right)+5\)
    Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, tiếp tuyến với đồ thị tại M(2;5) và trục Oy (đường thẳng x = 0) là:
    \(\int\limits^2_0\left|x^2+1-4\left(x-2\right)-5\right|\text{d}x\)
    \(=\int\limits^2_0\left|x^2-4x+4\right|\text{d}x\)
    \(=\int\limits^2_0\left(x^2-4x+4\right)\text{d}x\) ( do biểu thức dưới trong dấu | | không âm.)
    \(=\left(\frac{x^3}{3}-4.\frac{x^2}{2}+4x\right)|^2_0\)
    \(=\frac{8}{3}\)
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Parabol \(y=\frac{x^2}{2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt{2}\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng?
    • \(3\)
    • \(\frac{9\pi+2}{3\pi-2}\)
    • \(\frac{9\pi-1}{3\pi+1}\)
    • \(\frac{9\pi-2}{3\pi+2}\)
    Hướng dẫn giải:

    Phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính \(2\sqrt{2}\) là:
    \(x^2+y^2=\left(2\sqrt{2}\right)^2\)
    \(\Leftrightarrow x^2+y^2=8\)
    Giao điểm M(x;y) của Parabol với đường tròn là nghiệm của hệ phương trình sau:
    \(\begin{cases}y=\frac{1}{2}x^2\\x^2+y^2=8\end{cases}\)
    Thay y từ phương trình trên thay vào phương trình dưới ta có:
    \(x^2+\left(\frac{x^2}{2}\right)^2=8\)
    \(\Leftrightarrow x^4+4x^2-32=0\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x^2=4\\x^2=-8\left(loại\right)\end{array}\right.\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2\\x=-2\end{array}\right.\)
    Với x = 2 thì \(y=\frac{x^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
    Với x = -2 thì \(y=\frac{x^2}{2}=\frac{\left(-2\right)^2}{2}=2\)
    Vậy giao của Parabol với đường tròn là 2 điểm (2; 2) và (-2; 2).
    Diện tích phía trên Parabol giới hạn bơi Parabol và hình tròn là:
    \(S_1=\int\limits^2_{-2}\left(\sqrt{8-x^2}-\frac{x^2}{2}\right)\text{d}x\) (vì nửa trên của đường tròn có phương trình là: \(y=\sqrt{8-x^2}\) và đường này nằm trên Parabol \(\frac{x^2}{2}\) trên đoạn [-2; 2])
    Đặt \(x=\sqrt{8}\sin t\) => \(\text{d}x=\sqrt{8}\cos t\text{d}t\) và \(x|^2_{-2}\Rightarrow t|^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\)
    \(S_1=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\left(\sqrt{8-8\sin^2t}-\frac{8\sin^2t}{2}\right)\sqrt{8}\cos t\text{d}t\)
    \(=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\left(\sqrt{8}\cos t-4\sin^2t\right)\sqrt{8}\cos t\text{d}t\) (vì \(\sqrt{8-8\sin^2t}=\sqrt{8}\left|\cos t\right|=\sqrt{8}\cos t\) trên \(\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]\))
    \(=8\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\cos^2t\text{d}t-4\sqrt{8}\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\sin^2t.\cos t\text{d}t\)
    \(=8\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\frac{1+\cos2t}{2}\text{d}t-4\sqrt{8}\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\sin^2t\text{d}\left(\sin t\right)\)
    \(=4\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\text{d}t+2\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\cos2t\text{d}\left(2t\right)-4\sqrt{8}\frac{\sin^3t}{3}|^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\)
    \(=\left[4t+2\sin\left(2t\right)-\frac{4\sqrt{8}}{3}\sin^3t\right]|^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}}\)
    \(=2\pi+\frac{4}{3}\)
    Diện tích phía dưới Parabol giới hạn bởi Parabol với đường tròn bằng diện tích hình tròn trừ đi phần diện tích phía trên và bằng:
    \(S_2=\pi\left(2\sqrt{2}\right)^2-S_1=8\pi-\left(2\pi+\frac{4}{3}\right)\)
    \(=6\pi-\frac{4}{3}\)
    Tỉ số diện tích là:
    \(\frac{S_2}{S_1}=\frac{6\pi-\frac{4}{3}}{2\pi+\frac{4}{3}}=\frac{9\pi-2}{3\pi+2}\)
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tính thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox :
    \(y=\cos x\) ; \(y=0\) ; \(x=0\) ; \(x=\pi\)
    • \(V=\pi^2\)
    • \(V=\frac{\pi^2}{2}\)
    • \(V=\frac{\pi^2}{3}\)
    • \(V=\frac{2\pi^2}{3}\)
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    \(V=\pi\int\limits^{\pi}_0\left|\cos x\right|^2\text{d}x\)
    \(=\pi\int\limits^{\pi}_0\cos^2x\text{d}x=\pi\int\limits^{\pi}_0\frac{1+\cos2x}{2}\text{d}x\)
    \(=\frac{\pi}{2}\int\limits^{\pi}_0\text{d}x+\frac{\pi}{4}\int\limits^{\pi}_0\cos\left(2x\right)\text{d}\left(2x\right)\)
    \(=\frac{\pi}{2}x|^{\pi}_0+\frac{\pi}{4}\sin\left(2x\right)|^{\pi}_0\)
    \(=\frac{\pi^2}{2}\)