1) Dạng 1: Đường thẳng song song với mặt phẳng *) $d\parallel (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{v_d}.\overrightarrow{n_P}=0$. *) Nếu $d\parallel (P)$ thì $\overrightarrow{v_d}$ là VTCP của (P) và $\overrightarrow{n_P}$ là VTPT của d. Ví dụ 1: (Sở GD Bắc Ninh 2014) Cho mặt phẳng (P):x-3y+4z-1=0, đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{2}$ và điểm $A(3;1;1)$. Tìm $B\in d$ sao cho $AB\parallel (P)$, viết phương trình AB.\\ ĐS: $B(1;-1;0);AB:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{1}$ Ví dụ 2: (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm-Quảng Nam 2013) Tìm $A\in d_1:\dfrac{x+5}{2}=\dfrac{y-3}{-4}=\dfrac{z+1}{3}$ và $B\in d_2:\dfrac{x-3}{-2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-2}{4}$ sao cho AB song song với các mặt phẳng (P):x+4y-z-2=0, (Q):3x-4y+9z+1=0. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua A,B.\\ ĐS: $A(-3;-1;2),B(5;-4;-2);AB:\dfrac{x+3}{8}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z-2}{-4}$ Ví dụ 3: (Trần Quốc Tuấn-Phú Yên 2013) Tìm $A\in d_1:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{2}$ và $B\in d_2:\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$ sao cho $AB=\sqrt{2}$ và $AB\parallel (P):x-y+z+2012=0$.\\ \textbf{ĐS: $A(0;0;0),B(-1;0;1)$ hoặc $A\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{4}{7};\dfrac{8}{7}\right),B\left(\dfrac{1}{7};-\dfrac{4}{7};\dfrac{3}{7}\right)$} Ví dụ 4: (Chuyên ĐH Vinh 2014 L1) Cho M(1;1;0) và $d_1:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z-1}{1}, d_2:\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z-2}{-3}$. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với $d_1,d_2$, đồng thời cách M một khoảng bằng $\sqrt{6}$.\\ ĐS: $(P):x+2y+z+3=0$ hoặc $(P):x+2y+z-9=0$ Ví dụ 5: (Chuyên Hà Tĩnh 2015) Cho điểm $A(-2;1;5)$, mặt phẳng $(P):2x-2y+z-1=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z}{1}$. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A$, vuông góc với $(P)$ và song song với $d$.\\ ĐS: $(Q):x-2z+12=0$ 2) Dạng 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng *) $d\perp (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{v_d}\parallel\overrightarrow{n_P}$. *) Nếu $d\perp (P)$ thì $\overrightarrow{v_d}$ là VTPT của (P) và $\overrightarrow{n_P}$ là VTCP của d. Ví dụ 6: (Đại học Khối B 2014) Cho điểm A(1;0;-1) và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d. ĐS: $(P):2x+2y-z-3=0$ Ví dụ 7: (Đặng Thúc Hứa-Nghệ An 2013) Tìm $A\in Ox$ và $B\in d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$ sao cho $AB\perp (P):2x+y-2z-3=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua A,B. ĐS: $A(1;0;0),B(-1;-1;2)\Rightarrow AB:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-2}$ 3) Dạng 3: Đường thẳng nằm trong mặt phẳng *) $d:\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}\subset (P)\Leftrightarrow M(x_0;y_0;z_0)\in (P)$ và $\overrightarrow{v_d}(a;b;c)$ là VTCP của (P). *) Nếu $d\subset (P)$ thì $\overrightarrow{n_P}$ là VTPT của d. *) (P) chứa $d:\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ và A có VTPT là $\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{v_d}]$ với $M(x_0;y_0;z_0)$. Ví dụ 8: (Chuyên ĐH Vinh 2015 L2)Cho điểm $M(-2;1;0)$ và đường thẳng $\Delta:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$. Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M$ và chứa $\Delta$. ĐS: $(P):x-7y-4z+9=0$ Ví dụ 9: Cho hai đường thẳng $d_1:\begin{cases} x=1-t\\ y=t\\ z=-t \end{cases}, d_2:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z}{1}$. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua $d_1$ và song song với $d_2$. ĐS: $(P):y+z=0$ Ví dụ 10: (Đại học Khối A 2014) Cho mặt phẳng (P):2x+y-2z-1=0 và đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z+3}{3}$. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ chứa d và vuông góc với (P). ĐS: $(\alpha):x+8y+5z+13=0$ 4) Dạng 4: Đường thẳng cắt mặt phẳng *) Giao điểm của $d:\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ và (P) là điểm $M(x_0+at;y_0+bt;z_0+ct)\in d$ thỏa mãn phương trình của (P). *) Để tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P), ta viết phương trình đường thẳng MH qua M và nhận $\overrightarrow{n_P}$ làm VTCP. Khi đó H là giao điểm của đường thẳng MH và mặt phẳng (P). Ví dụ 11: (Đa Phúc-Hà Nội 2015 L2) Cho đường thẳng $\Delta:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{-2}$ và mặt phẳng $(P):x-2y+z-2=0$. Tìm tọa độ giao điểm của $\Delta$ và $(P)$. ĐS: $M(3;1;1)$ Ví dụ 12: (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa 2015 L2) Cho mặt phẳng $(P):x-y+z+2=0$ và điểm $A(1;-1;2)$. Tìm tọa độ điểm $A'$ đối xứng với điểm $A$ qua mặt phẳng $(P)$. ĐS: $A'(-1;3;-2)$ Ví dụ 13: (Phan Đăng Lưu-Nghệ An 2014) Cho hai mặt phẳng (P):x-2y+z=0,(Q):x-3y+3z+1=0 và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$. Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua M nằm trong mặt phẳng (P), song song với (Q). ĐS: $\Delta:\dfrac{x+3}{3}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z+1}{1}$ Ví dụ 14: (Chuyên Nguyễn Huệ-Hà Nội 2013 L2) Cho mặt phẳng (P):x+y+z+2=0 và đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z+1}{-1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua M(3;0;-3) cắt đường thẳng d và mặt phẳng (P) tại A và B sao cho M là trung điểm AB.\\ ĐS: $A(5;-1;-2),B(1;1;-4); AB:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+3}{1}$
Cho mặt phẳng \(\left(\alpha\right):2x+y+3z+1=0\) và đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \(d:\begin{cases}x=-3+t\\y=2-2t\\z=1\end{cases}\) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? \(d\perp\left(\alpha\right)\) \(d\) không vuông góc nhưng cắt \(\left(\alpha\right)\) \(d\) // \(\left(\alpha\right)\) \(d\subset\left(\alpha\right)\) Hướng dẫn giải: Vecto pháp tuyến của \(\left(\alpha\right)\) là \(\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left(2;1;3\right)\) Đường thẳng \(d\) đi qua A(-3;2;1) và có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{u_d}=\left(1;-2;0\right)\) . Dễ thấy: \(\overrightarrow{n_{\alpha}}.\overrightarrow{u_d}=\left(2;1;3\right).\left(1;-2;0\right)=2.1+1.\left(-2\right)+3.0=0\) => \(d\) vuông góc với vecto pháp tuyến của \(\left(\alpha\right)\) => \(d\) song song hoặc nằm trong mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\). Ta kiểm tra A(-3;2;1) có thuộc \(\left(\alpha\right)\) không? Thay tọa độ A vào phương trình của \(\left(\alpha\right)\) ta có: 2.(-3) + 2 +3.1 + 1 = 0 <=> 0 = 0 Thỏa mãn. Vậy \(d\) đi qua A thuộc \(\left(\alpha\right)\) và \(d\) vuông góc với vecto pháp tuyến của \(\left(\alpha\right)\) => \(d\subset\left(\alpha\right)\)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình: \(\frac{x-10}{5}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{1}\) Xét mặt phẳng (P) : 10x + 2y +mz + 11 = 0, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng \(\Delta\). m = -2 m = 2 m = -52 m = 52 Hướng dẫn giải: Đường thẳng \(\Delta\) có vec tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{v}=\left(5;1;1\right)\). Để (P) vuông góc với \(\Delta\) thì vec tơ pháp tuyến của (P) song song với vec tơ chỉ phương của \(\Delta\). Vec tơ pháp tuyến của (P) là: \(\overrightarrow{n}=\left(10;2;m\right)\). Để \(\overrightarrow{n}\) // \(\overrightarrow{v}\) thì: \(\frac{10}{5}=\frac{2}{1}=\frac{m}{1}\) => m = 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1;1) và B(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB. x + 2y - 4z - 6 = 0 2x + 3y + 4z - 7 = 0 x + y + 2z - 3 = 0 x - 3y - 4z + 7 = 0 Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{AB}=\left(1-0;2-1;3-1\right)=\left(1;1;2\right)\) Mặt phẳng (P) vuông góc với \(\overrightarrow{AB}\) nên nhận \(\overrightarrow{AB}\) là vec tơ pháp tuyến. Phương trình (P) đi qua A(0;1;1) và có vecto pháp tuyến (1;1;2) là: 1.(x - 0) + 1.(y - 1) + 2.(z - 1) = 0. <=> x + y + 2z - 3 = 0
Tìm giao điểm của đường thẳng \(\Delta:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{3}\) và mặt phẳng (P) \(2x+z-5=0\) \(A\left(1;2;2\right)\) \(A\left(\frac{6}{5};\frac{12}{5};\frac{13}{5}\right)\) \(A\left(\frac{4}{5};\frac{8}{5};\frac{17}{5}\right)\) \(A\left(2;4;5\right)\) Hướng dẫn giải: \(\Delta:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{3}=t\) Chuyển sang dạng tham số: \(\begin{cases}x=1+t\\y=2+2t\\z=2+3t\end{cases}\) Gọi giao điểm là M, vì M nằm trên đường thẳng \(\Delta\) nên M có tọa độ (1+t; 2+2t; 2+3t). Thay tọa độ này vào phương trình mặt phẳng (P) ta có: \(2x+z-5=0\) \(\Leftrightarrow2\left(1+t\right)+2+3t-5=0\) \(\Leftrightarrow5t=1\) \(\Leftrightarrow t=\frac{1}{5}\) Vậy \(A\left(\frac{6}{5};\frac{12}{5};\frac{13}{5}\right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng \(d_1,d_2\) lần lượt có phương trình: \(\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3}\) \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{4}\) Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng \(d_1,d_2\). \(14x-4y-8z+3=0\) \(14x+4y+8z-3=0\) \(14x-4y-8z-3=0\) \(14x+4y-8z-3=0\) Hướng dẫn giải: \(d_1\) đi qua \(A\left(2;2;3\right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d_1}}=\left(2;1;3\right)\). \(d_2\) đi qua \(B\left(1;2;1\right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d_2}}=\left(2;-1;4\right)\). Do mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng \(d_1,d_2\) nên mặt phẳng cần tìm song song với hai đường thẳng \(d_1,d_2\) nên suy ra vecto pháp tuyến của (P) là: \(\overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&3\\-1&4\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}3&2\\4&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(7;-2;-4\right)\) Vậy phương trình (P) có dạng 7x - 2y - 4z + d = 0. Do mặt phẳng cách đều hai đường thẳng \(d_1,d_2\) nên \(d\left(A,\left(P\right)\right)=d\left(B,\left(P\right)\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{\left|7.2-2.2-4.3+d\right|}{\sqrt{69}}=\frac{\left|7.1-2.2-4.1+d\right|}{\sqrt{69}}\) \(\Leftrightarrow\left|d-2\right|=\left|d-1\right|\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}d-2=d-1\\d-2=1-d\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow d=\frac{3}{2}\) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(7x-2y-4z+\frac{3}{2}=0\) \(\Leftrightarrow14x-4y-8z+3=0\)
Trong hệ tọa Oxyz với A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và mặt phẳng (P) x+ y + z - 10 = 0. Xác định điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). \(D\left(\frac{5}{2};\frac{1}{2};-1\right)\) \(D\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2};1\right)\) \(D\left(3;3;2\right)\) \(D\left(\frac{-5}{2};\frac{1}{2};1\right)\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left(1-2;2-1;2-0\right)=\left(-1;1;2\right)\), Phương trình đường thẳng AB (đi qua A và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\)) là: \(\begin{cases}x=2-t\\y=1+t\\z=2t\end{cases}\) D thuộc AB nên \(D\left(2-t;1+t;2t\right)\) Khi đó \(\overrightarrow{CD}=\left(2-t-1;1+t-1;2t-0\right)=\left(1-t;t;2t\right)\). Do CD song song với (P) nên CD vuông góc với vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_P}=\left(1;1;1\right)\): => \(\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{n_P}=0\) <=> 1.(1 - t ) + 1. t + 1.2t = 0 \(\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}\) Vậy \(D\left(\frac{5}{2};\frac{1}{2};-1\right)\).
Cho hai đường thẳng \(d_1:\begin{cases}x=5+2t\\y=1-t\\z=5-t\end{cases}\) và \(d_2:\begin{cases}x=9-t'\\y=t'\\z=-2+t'\end{cases}\) Mặt phẳng (P) chứa cả \(d_1,d_2\) là: \(\left(P\right):3x-5y+z-25=0\) \(\left(P\right):-y+z-4=0\) \(\left(P\right):-y+z+2=0\) Không có mặt phẳng nào Hướng dẫn giải: Đường thằng \(d_1\) đi qua A(5; 1; 5) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d_1}}=\left(2;-1;-1\right)\) Đường thằng \(d_2\) đi qua B(9; 0; -2) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d_2}}=\left(-1;1;1\right)\) Mặt phẳng (P) chứa \(d_1\) và \(d_2\) nên nhận vecto pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}\right]\). Ta có: \(\left[\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}\right]=\left(\left|\begin{matrix}-1&-1\\1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&2\\1&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(0;-1;1\right)\) Vì (P) chứa cả \(d_1\) và \(d_2\) nên (P) đi qua A(5;1;5) và có vecto pháp tuyến (0; -1; 1), phương trình của (P) là: \(-1\left(y-1\right)+1.\left(z-5\right)=0\) \(\Leftrightarrow-y+z-4=0\) Ta cần kiểm tra xem B(9; 0; -2) của \(d_2\) có thuộc (P) không (bằng cách thay tọa độ B vào P): \(-0-2-4=0\) không đúng => B không thuộc (P), hay là hai đường thẳng đã cho là chéo nhau. Vậy không có mặt phẳng nào chứa hai đường chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau: \(d:\begin{cases}x=2-t\\y=-1+t\\z=1-t\end{cases}\) và \(d':\begin{cases}x=2+2t'\\y=t'\\z=1+t'\end{cases}\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) chứa d và song song với d'. \(\left(\alpha\right):2x-y-3z-6=0\) \(\left(\alpha\right):2x-y-3z-12=0\) \(\left(\alpha\right):2x+y+3z-6=0\) \(\left(\alpha\right):2x+y+3z-12=0\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng d đi qua (2;-1;1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_d}=\left(-1;1-1\right)\). Đường thẳng d' đi qua (2; 0; 1) và có vecto chi phương \(\overrightarrow{u_{d'}}=\left(2;1;1\right)\). Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) chứa d và song song với d' nên \(\left(\alpha\right)\) đi qua (2 ; -1 ; 11) và nhận \(\left[\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{u_{d'}}\right]\) làm vecto pháp tuyến. Ta có: \(\left[\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{u_{d'}}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&1\\2&1\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(2;-1;-3\right)\) Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) đi qua (2; -1 ; 1) và nhận (2; -1; -3) làm vecto pháp tuyến có phương trình là: \(2\left(x-2\right)-1\left(y-1\right)-3\left(z+3\right)=0\) \(\Leftrightarrow2x-y-3z-12=0\)
Cho đường thẳng d: \(\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{1}\). Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là: \(\begin{cases}x=-2+t\\y=-3+t\\z=0\end{cases}\) \(\begin{cases}x=1+2t\\y=-1+t\\z=0\end{cases}\) \(\begin{cases}x=-1+2t\\y=1+t\\z=0\end{cases}\) \(\begin{cases}x=2+2t\\y=-1+t\\z=0\end{cases}\) Hướng dẫn giải: Phương trình tham số của d là: \(\begin{cases}x=2+2t\\y=-1+t\\z=2+t\end{cases}\) Lấy hai điểm thuộc d: cho t = -2 => A(-2 ; -3 ; 0) [Chú ý lấy t = -2 để z = 0 và ta được điểm là giao của d với mặt phẳng Oxy] cho t = 0 => B(2 ; -1; 2) Hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy (chỉ việc cho thành phần z =0) chính là: A(-2; -3; 0) Hình chiếu của B lên mặt phẳng Oxy là; B'(2; -1; 0) => Hình chiếu của đường thẳng AB (tức đường thẳng d) lên mặt phẳng Oxy là đường thẳng AB'. Đường thẳng AB' đi qua A(-2; -3; 0) và có vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow{AB'}=\left(2+2;-1+3;0-0\right)=\left(4;2;0\right)=2\left(2;1;0\right)\). Suy ra AB' đi qua A(-2;-3;0) và có vecto chỉ phương (2;1;0) : \(\begin{cases}x=-2+2t\\y=-3+t\\z=0\end{cases}\) (*) Ta cần kiểm tra xem trong 4 đáp án cho trong đầu bài, đáp án nào trùng với đường thẳng trên. - Đáp án 1: đường thẳng đi qua (-2;-3;0) và có vecto chỉ phương (1;1;0): không đúng vì vecto chỉ phương (1;1;0) không cùng phương với vecto chỉ phương của đường thẳng (*) [là vecto (2;1;0)] - Đáp án 2: đường thẳng đi qua (1;-1;0) và có vecto chỉ phương (2;1;0): không đúng vì (1;-1;0) không thuộc đường thẳng (*) - Đáp án 3: đường thẳng đi qua (-1;1;0) và có vecto chỉ phương (2;1;0): không đúng vì (-1;1;0) không thuộc đường thẳng (*) - Đáp án 4: đường thẳng đi qua (2;-1;0) và có vecto chỉ phương (2;1;0): đúng vì (2;-1;0) thuộc đường thẳng (*) (ứng với t = 1) và có vecto chỉ phương trùng với vecto chỉ phương của (*)
