Tổng hợp lý thuyết và bài tập chuyên đề Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    1) Dạng 1: Hai đường thẳng cắt nhau
    *) $\Delta$ cắt $d:\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ tại A thì $A(x_0+at;y_0+bt;z_0+ct)$.
    *) $\Delta\parallel (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{v_\Delta}.\overrightarrow{n_P}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{n_P}$ là VTPT của $\Delta$ và $\overrightarrow{v_\Delta}$ là VTCP của (P).
    *) $\Delta\perp (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{v_\Delta}\parallel \overrightarrow{n_P}\Leftrightarrow \overrightarrow{n_P}$ là VTCP của $\Delta$ và $\overrightarrow{v_\Delta}$ là VTPT của (P).
    *) $\Delta \subset (P)$ và $A=\Delta\cap d$ thì $A=d\cap (P)$.


    Ví dụ 1:
    Cho mặt phẳng (P):x-3y+4z-1=0, đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{2}$ và điểm A(3;1;1). Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A cắt đường thẳng d và song song với (P).
    ĐS: $\Delta:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{1}$

    Ví dụ 2:
    Cho các mặt phẳng (P):3x+12y-3z-5=0, (Q):3x-4y+9z+7=0 và các đường thẳng $d_1:\dfrac{x+5}{2}=\dfrac{y-3}{-4}=\dfrac{z+1}{3},d_2:\dfrac{x-3}{-2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-2}{4}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với (P),(Q) và cắt cả $d_1,d_2$.
    ĐS: $\Delta: \dfrac{x-5}{8}=\dfrac{y+4}{-3}=\dfrac{z+2}{-4}$

    Ví dụ 3:
    (Khối A-2007) Cho hai đường thẳng
    \(d_1:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{1},d_2:\begin{cases} x=-1+2t\\ 1+t\\ z=3 \end{cases} \)
    Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P):7x+y-4z=0 và cắt hai đường thẳng $d_1,d_2$.
    ĐS: $d:\dfrac{x-2}{7}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{-4}$

    Ví dụ 4:
    Cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-7}{1}=\dfrac{y-4}{2}=\dfrac{z-9}{-1},d_2:\dfrac{x-3}{-7}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{3}$. Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ cắt $d_1,d_2$ và Ox tại A,B,C sao cho B là trung điểm AC.
    ĐS: $\Delta: \Delta:\dfrac{x-8}{12}=\dfrac{y-6}{3}=\dfrac{z-8}{4}$

    Ví dụ 5:
    Cho mặt phẳng (P):2x-y+2z-3=0 và hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{-1},d_2:\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+5}{3}=\dfrac{z-7}{-2}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với (P), cắt $d_1,d_2$ tại A,B sao cho $AB=3$.
    ĐS: $\Delta:\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{2}$

    2) Dạng 2: Hai đường thẳng vuông góc
    *) $\Delta\perp d\Leftrightarrow \overrightarrow{v_\Delta}\perp\overrightarrow{v_d}=0$.
    *) Nếu $\Delta\perp d$ thì $\overrightarrow{v_d}$ là VTPT của $\Delta$.


    Ví dụ 6:
    Cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{1}$, mặt phẳng $(P):x+y-2z+5=0$ và điểm A(1;-1;2). Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua A song song với (P) và vuông góc với d.
    ĐS: $\Delta: \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{-5}=\dfrac{z-2}{-1}$

    Ví dụ 7:
    Cho A(4;3;2) và đường thẳng $\Delta:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z-2}{-1}$. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc và cắt $\Delta$.
    ĐS: $d:\dfrac{x-4}{27}=\dfrac{y-3}{-19}=\dfrac{z-2}{-3}$

    Ví dụ 8:
    (Đại học Khối D 2006) Cho A(1;2;3) và hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{1},d_2:\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A, vuông góc với $d_1$ và cắt $d_2$.
    ĐS: $\Delta: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-3}{-5}$

    Ví dụ 9:
    Cho đường thẳng $$\Delta_1:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{1},\Delta_2:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-2}$$
    Tìm $M\in \Delta_1,N\in Ox$ sao cho $MN\perp \Delta_2$ và $MN=2\sqrt{5}$.
    ĐS: $M(1;2;0),N(5;0;0)$ hoặc $M\left(-\dfrac{5}{3};-\dfrac{10}{3};-\dfrac{8}{3}\right),N(-3;0;0)$

    3) Dạng 3: Hai đường thẳng song song
    *) $\Delta\parallel d\Leftrightarrow \overrightarrow{v_\Delta}\parallel \overrightarrow{v_d}$.
    *) Nếu $\Delta\parallel d$ thì $\overrightarrow{v_d}$ là VTCP của $\Delta$.


    Ví dụ 10:
    (Đại học Khối D 2005) Cho $$d_1:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z+1}{2}; d_2:\begin{cases}
    x+y-z-2=0\\ x+3y-12=0
    \end{cases}$$ Chứng minh rằng $d_1$ và $d_2$ song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.
    ĐS: $(P):15x+11y-17z-10=0$

    Ví dụ 11:
    Cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x+8}{2}=\dfrac{y-6}{1}=\dfrac{z-10}{-1}, d_2:\begin{cases}
    x=t\\ y=2-t\\ z=-4+2t
    \end{cases}$. Viết phương trình đường thẳng d song song với Ox và cắt $d_1,d_2$.
    ĐS: $d:\begin{cases} x=-52+t\\ y=-16\\ z=32 \end{cases}$

    4) Dạng 4: Hai đường thẳng chéo nhau
    *) $\Delta,\Delta'$ chéo nhau khi và chỉ khi $[\overrightarrow{v_\Delta},\overrightarrow{v_{\Delta'}}].\overrightarrow{MM'}\neq 0$ với $M\in \Delta, M'\in \Delta'$.
    *) Đường vuông góc chung của $\Delta,\Delta'$ qua $H\in \Delta,K\in \Delta'$ là hai điểm thỏa mãn \(\begin{cases} \overrightarrow{HK}.\overrightarrow{v_\Delta}=0\\ \overrightarrow{HK}.\overrightarrow{v_{\Delta'}}=0\\ \end{cases}\) . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng $\Delta,\Delta'$ là
    $$\boxed{d(\Delta,\Delta')=HK}.$$


    Ví dụ 12:
    (Đại học Khối A 2007) Cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{1}; d_2:\begin{cases}
    x=-1+2t\\ y=1+t\\ z=3
    \end{cases}$. Chứng minh rằng $d_1,d_2$ chéo nhau.
    ĐS: $d(d_1,d_2)=\sqrt{2},\Delta:\begin{cases}
    x=-\dfrac{2}{5}+t\\ y=\dfrac{14}{5}\\ z=-\dfrac{3}{5}+t
    \end{cases}$
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hai đường thẳng:
    \(d_1:\begin{cases}x=1+2t\\y=2+3t\\z=3+4t\end{cases}\) và \(d_2:\begin{cases}x=3+4t'\\y=5+6t'\\z=7+8t'\end{cases}\)
    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
    • \(d_1\perp d_2\)
    • \(d_1\) // \(d_2\)
    • \(d_1\equiv d_2\)
    • \(d_1\) và \(d_2\) chéo nhau
    Hướng dẫn giải:

    \(d_1\) đi qua (1;2;3) và có vecto chỉ phương (2;3;4)
    \(d_2\) đi qua (3;5;7) và có vecto chỉ phương (4;6;8)
    Vì vecto (4;6;8) = 2(2;3;4) nên hai đường thẳng có cùng vecto chỉ phương => \(d_1\) và \(d_2\) song song hoặc trùng nhau.
    Ta kiểm tra điểm (3;5;7) có thuộc đường thẳng \(d_1\) không bằng cách xét hệ:
    \(\begin{cases}3=1+2t\\5=2+3t\\7=3+4t\end{cases}\)
    Hệ trên có nghiệm t = 1. Vậy (3;5;7) thuộc \(d_1\) .
    Vậy \(d_1\) \(\equiv\) \(d_2\)
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho điểm A(1; 0; 2) và đường thẳng (d) : \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}\).
    Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A, vuông góc và cắt (d).
    • \(\Delta:\) \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}\)
    • \(\Delta:\) \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}\)
    • \(\Delta:\) \(\frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}\)
    • \(\Delta:\) \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-2}{1}\)
    Hướng dẫn giải:

    Giả sử \(\Delta\) vuông góc với (d) và cắt (d) tại \(B\left(x_0;y_0;z_0\right)\) thì ta có:
    \(\begin{cases}AB\perp d\\B\in d\end{cases}\)
    => \(\begin{cases}\left(x_0-1;y_0;z_0-2\right).\left(1;1;2\right)=0\\\frac{x_0-1}{1}=\frac{y_0}{1}=\frac{z_0+1}{2}\end{cases}\)
    => \(\begin{cases}x_0-1+y+2\left(z_0-2\right)=0\\\frac{x_0-1}{1}=\frac{y_0}{1}=\frac{z_0+1}{2}=k\end{cases}\)
    => \(\begin{cases}\left(k+1-1\right)+k+2\left(2k-1-2\right)=0\\\frac{x_0-1}{1}=\frac{y_0}{1}=\frac{z_0+1}{2}=k\end{cases}\)
    => \(\begin{cases}k=1\\\frac{x_0-1}{1}=\frac{y_0}{1}=\frac{z_0+1}{2}=k\end{cases}\)
    => \(x_0=2;y_0=1;z_0=1\)
    Vậy phương trình \(\Delta\) chính là phương trình AB:
    \(\frac{x-x_A}{x_0-x_A}=\frac{y-y_A}{y_0-y_A}=\frac{z-z_A}{z_0-z_A}\)
    Hay là:
    \(\frac{x-1}{2-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1-2}\)
    \(\Leftrightarrow\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}\)
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (0 ; 1 ; 2) và hai đường thẳng :
    \(d_1:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-1}\) và: \(d_2:\begin{cases}x=1+t\\y=-1-2t\\z=2+t\end{cases}\).
    Tìm tọa độ \(M\in d_1,N\in d_2\) sao cho A, M, N thẳng hàng.
    • \(M\left(0;1;-1\right),N\left(0;1;1\right)\)
    • \(M\left(2;2;-2\right),N\left(0;1;1\right)\)
    • \(M\left(2;2;-2\right),N\left(2;-3;3\right)\)
    • \(M\left(0;1;-1\right),N\left(1;-1;2\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    \(M\in d_1,N\in d_2\) nên \(M\left(2m;1+m;-1-m\right),N\left(1+t;-1-2t;2+t\right)\).
    Suy ra: \(\overrightarrow{AM}\left(2m;m;-3-m\right),\overrightarrow{AN}\left(1+t;-2-2t;t\right)\).
    Ba điểm A, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi độ dài tích có hướng của \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{AN}\) bằng 0.
    Ta có:
    \(\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}\right]=\left(\left|\begin{matrix}m&-3-m\\-2-2t&t\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-3-m&2m\\t&1+t\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2m&m\\1+t&-2-2t\end{matrix}\right|\right)\)
    \(=\left(-mt-2m-6t-6;-3mt-m-3t-3;-5mt-5m\right)\)
    A, M, N thẳng hàng \(\Leftrightarrow\) \(\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}\right]=\overrightarrow{0}\)
    \(\Leftrightarrow\begin{cases}-mt-2m-6t-6=0\\-3mt-m-3t-3=0\\-5mt-5m=0\end{cases}\)
    Từ phương trình thứ ba suy ra:
    \(-5mt-5m=0\)
    => \(\left[\begin{array}{nghiempt}m=0\\t=-1\end{array}\right.\)
    Với m = 0 , thay vào hai phương trình đầu của hệ ta tìm được \(t=-1\)
    Với t = -1, thay vào hai phương trình đầu ta tìm đươc m = 0
    Vậy cả hai trường hợp đều cho kết quả m = 0 và t = -1.
    \(\Rightarrow M\left(0;1;-1\right),N\left(0;1;1\right)\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong hệ tọa độ Oxyz cho \(\Delta:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}\). Xác định điểm M thuộc trục hoành sao cho khoảng cách từ M tới d bằng OM.
    • \(M_1\left(-1;0;0\right),M_2\left(2;0;0\right)\)
    • \(M_1\left(1;0;0\right),M_2\left(2;0;0\right)\)
    • \(M_1\left(0;-1;0\right),M_2\left(0;2;0\right)\)
    • \(M_1\left(-2;0;0\right),M_2\left(1;0;0\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    \(M\in\) Ox \(\Rightarrow M\left(m;0;0\right)\left(m\in R\right)\) . Suy ra OM = | m |.
    Đường thẳng \(\Delta\) đi qua N (0 ; 1; 0) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left(2;1;2\right)\).
    \(\Rightarrow\overrightarrow{NM}=\left(m;-1;0\right)\)
    \(\Rightarrow\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{NM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&2\\-1&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&2\\0&m\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&1\\m&-1\end{matrix}\right|\right)\)
    \(=\left(2;2m;-2-m\right)\)
    (chú ý: độ dài của vecto \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{NM}\right]\) bằng diện tích hình bình hành tạo bởi \(\overrightarrow{a}\) và vecto \(\overrightarrow{NM}\), nếu chia độ dài vecto tích có hướng này cho 1 cạnh của hình hành là \(\left|\overrightarrow{a}\right|\) thì sẽ được chiều cao hạ từ M xuống \(\overrightarrow{a}\)).
    Ta có: \(d\left(M,\Delta\right)=OM\Leftrightarrow\frac{\left|\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{NM}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\left|m\right|\)
    \(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{2^2+\left(2m\right)^2+\left(-2-m\right)^2}}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\left|m\right|\)
    \(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{5m^2+4m+8}}{3}=\left|m\right|\)
    \(\Leftrightarrow4m^2-4m-8=0\)
    \(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\)
    \(m=-1\) hoặc \(m=2\)
    Vậy \(M_1\left(-1;0;0\right),M_2\left(2;0;0\right)\)
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho \(d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+5}{-2}\) và \(A\left(-2;1;1\right)\), \(B\left(-3;-1;2\right)\).
    Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích bằng \(3\sqrt{5}\).
    • \(M_1\left(-2;1;-5\right),M_2\left(-14;-35;19\right)\)
    • \(M_1\left(2;1;5\right),M_2\left(14;-35;19\right)\)
    • \(M_1\left(-2;1;1\right),M_2\left(-14;-35;19\right)\)
    • \(M_1\left(-2;1;-5\right),M_2\left(-14;1;1\right)\)
    Hướng dẫn giải:


    \(M\in d\Rightarrow M\left(-2+t;1+3t;-5-2t\right),\left(t\in R\right)\).
    \(\overrightarrow{AB}\left(-1;-2;1\right),\overrightarrow{AM}\left(t;3t;-6-2t\right)\)
    \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}\right]=\left(t+12;-t-6;-t\right)\)
    \(S_{\Delta MAB}=3\sqrt{5}\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}\right]\right|=3\sqrt{5}\)
    \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(t+12\right)^2+\left(t+6\right)^2+t^2}=6\sqrt{5}\)
    \(\Leftrightarrow3t^2+36t=0\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=0\\t=-12\end{array}\right.\)
    Vậy: \(M_1\left(-2;1;-5\right),M_2\left(-14;-35;19\right)\)
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong hệ tọa độ Oxyz cho \(d_1:\begin{cases}x=3+t\\y=t\\z=t\end{cases}\) và \(d_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}\).
    Tìm \(M\in d_1\) sao cho khoảng cách từ M đến \(d_2\) bằng 1.
    • \(M_1\left(4;1;1\right),M_2\left(7;4;4\right)\)
    • \(M_1\left(-4;-1;-1\right),M_2\left(7;4;4\right)\)
    • \(M_1\left(4;1;0\right),M_2\left(7;4;4\right)\)
    • \(M_1\left(4;1;-1\right),M_2\left(7;4;4\right)\)
    Hướng dẫn giải:


    \(M\in d_1\Rightarrow M\left(3+t;t;t\right)\)
    \(d_2\) đi qua \(A\left(2;1;0\right)\) và có vtcp \(\overrightarrow{a_2}=\left(2;1;2\right)\)
    Ta có \(\overrightarrow{AM}=\left(1+t;t-1;t\right)\Rightarrow\left[\overrightarrow{a_2},\overrightarrow{AM}\right]=\left(2-t;-2;t-3\right)\)
    \(d\left(M,d_2\right)=1\)
    \(\Leftrightarrow\frac{\left|\left[\overrightarrow{a_2},\overrightarrow{AM}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{a_2}\right|}=1\) \(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{\left(2-t\right)^2+4+\left(t-3\right)^2}}{\sqrt{4+1+4}}=1\)
    \(\Leftrightarrow\sqrt{2t^2-10t+17}=3\)
    \(\Leftrightarrow2t^2-10t+8=0\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=1\\t=4\end{array}\right.\)
    Vậy: \(M_1\left(4;1;1\right),M_2\left(7;4;4\right)\).
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong không gian Oxyz cho \(d_1:\frac{x+8}{2}=\frac{y-6}{1}=\frac{z-10}{-1}\) và \(d_2:\begin{cases}x=t\\y=2-t\\z=-4+2t\end{cases}\).
    Viết phương trình đường thẳng d song song Ox và cắt \(d_1,d_2\).
    • \(\begin{cases}x=-52+t\\y=-16\\z=32\end{cases}\)
    • \(\begin{cases}z=-52+t\\x=-16t\\z-32t\end{cases}\)
    • \(\begin{cases}x=-52-t\\y=16\\z=32\end{cases}\)
    • \(\begin{cases}x=1+t\\y=16t\\z=32t\end{cases}\)
    Hướng dẫn giải:

    \(A=d\cap d_1\Rightarrow A\left(-8+2t_1;6+t_1;10-t_1\right)\), \(B=d\cap d_2\Rightarrow B\left(t_2;2-t_2;-4+2t_2\right)\).
    \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}\left(t_2-2t_1+8;-t_2-t_1-4;2t_2+t_1-14\right)\)
    \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)\) cùng phương\(\Leftrightarrow\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{i}\right]=\overrightarrow{0}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}-t_2-t_1-4=0\\2t_2+t_1-14=0\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow\begin{cases}t_1=-22\\t_2=18\end{cases}\)
    Vậy: \(A\left(-52;-16;32\right),B\left(18;-16;32\right)\).
    Phương trình đường thẳng d là: \(\begin{cases}x=-52+t\\y=-16\\z=32\end{cases}\)
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong hệ tọa độ Oxyz có \(A\left(0;0;0\right)\), \(B\left(1;0;0\right)\), \(D\left(0;1;0\right)\), \(A'\left(0;0;1\right)\).
    Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính khoảng cách \(A'C\) và MN.
    • \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
    • \(\sqrt{2}\)
    • \(2\sqrt{2}\)
    • 2
    Hướng dẫn giải:

    Gọi (P) là mặt phẳng đi qua chứa A'C và song song MN.
    Khi đó d(A'C,MN) = d(M,(P)).
    Ta có C( 1; 1; 0 ), \(M\left(\frac{1}{2};0;0\right)\), \(N\left(\frac{1}{2};1;0\right)\).
    \(\overrightarrow{A'C}=\left(1;1-1\right),\overrightarrow{MN}=\left(0;1;0\right)\).
    \(\left[\overrightarrow{A'C},\overrightarrow{MN}\right]=\left(1;0;1\right)\)
    Mặt phẳng (P) đi qua A(0;0;1) và vtpt\(\overrightarrow{n}\left(1;0;1\right)\) có phương trình:
    \(1\left(x-0\right)+0\left(y-0\right)+1\left(z-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow x+z-1=0\).
    \(d\left(A'C,MN\right)=d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|\frac{1}{2}+0-1\right|}{\sqrt{1^2+0+1^2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\).
    Cách khác \(d\left(A'C,MN\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{A'C},\overrightarrow{MN}\right]\overrightarrow{A'M}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{A'C,\overrightarrow{MN}}\right]\right|}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\).
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hai đường thẳng :
    \(\left(d_1\right):\frac{x-3}{-7}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\) ; \(\left(d_2\right):\frac{x-7}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-9}{-1}\) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right):x+y+z+3=0\).
    Hình chiếu của \(\left(d_2\right)\) theo phương của \(\left(d_1\right)\) lên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) có phương trình tổng quát :
    • \(\begin{cases}2x-y+4z-53=0\\x+y+z+3=0\end{cases}\)
    • \(\begin{cases}2x+y-4z+53=0\\x+y+z+3=0\end{cases}\)
    • \(\begin{cases}2x+y+4z-53=0\\x+y+z+3=0\end{cases}\)
    • \(\begin{cases}2x-y-4z+53=0\\x+y+z+3=0\end{cases}\)
    Hướng dẫn giải:

    01.jpg