VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho hai mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0, (P'):a'x+b'y+c'z+d'=0$, khi đó: a) $(P)\parallel (P')\Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\neq \dfrac{d}{d'}$. Khi đó $\overrightarrow{n}_P\parallel \overrightarrow{n}_{P'}$ và là VTPT của (P') b) (P) và (P') cắt nhau khi và chỉ khi chúng không song song hay trùng nhau. c) $(P)\perp (P')\Leftrightarrow \overrightarrow{n}_P.\overrightarrow{n}_{P'}=0$. d) Góc giữa (P) và (P') $\varphi$ là góc giữa hai pháp tuyến, thỏa mãn $\cos\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{n}_P.\overrightarrow{n}_{P'}|}{|\overrightarrow{n}_P|.|\overrightarrow{n}_{P'}|}$. ----------------CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Tìm m để hai mặt phẳng $(P): (m+2)x+(2m+1)y+3z+2=0,(Q): (m+1)x+2y+(m+1)z-1=0$ Song song. Vuông góc. Cắt nhau. ĐS: a) $m=1$; b) $m=-5\pm3\sqrt{2}$}; c) $m\neq 1$ Ví dụ 2: (Tốt Nghiệp THPT 2011) Cho A(3;1;0) và mặt phẳng (P):2x+2y-z+1=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P). ĐS: $2x+2y-z-8=0$ Ví dụ 3: (Bắc Yên Thành-Nghệ An 2015) Cho hai điểm $A(-1;3;-2),B(-3;7;-18)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$. ĐS: $2x+5y+z-11=0$ Ví dụ 4: (Chuyên Võ Nguyên Giáp-Quảng Bình 2014) Viết phương trình mặt phẳng đi qua $M(2;3;-1)$, vuông góc với hai mặt phẳng lần lượt có phương trình $5x-4y+3z+20=0$ và $3x-4y+z-8=0$. ĐS: $(P):2x+y-2z-9=0$ Ví dụ 5: (Bảo Thắng-Lào Cai 2015) Cho $A(-1;2;-1)$ và mặt phẳng $(\alpha):x+2y-2z-1=0$. Viết phương trình mặt phẳng $(\beta)$ song song với $(\alpha)$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng khoảng cách từ điểm $A$ tới mặt phẳng $(\beta)$. ĐS: $x+2y-2z-9=0$
Cho ba mặt phẳng sau: \(\left(\alpha\right):x+y+2z+1=0\) \(\left(\beta\right):x+y-z+2=0\) \(\left(\gamma\right):x-y+5=0\) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? \(\left(\alpha\right)\perp\left(\beta\right)\) \(\left(\gamma\right)\perp\left(\beta\right)\) \(\left(\alpha\right)\) // \(\left(\gamma\right)\) \(\left(\alpha\right)\perp\left(\gamma\right)\) Hướng dẫn giải: Vecto pháp tuyến của các mặt phẳng là: \(\overrightarrow{n_{\left(\alpha\right)}}=\left(1;1;2\right)\) \(\overrightarrow{n_{\left(\beta\right)}}=\left(1;1;-1\right)\) \(\overrightarrow{n_{\left(\gamma\right)}}=\left(1;-1;0\right)\) Ta có: \(\overrightarrow{n_{\left(\alpha\right)}}.\overrightarrow{n_{\beta}}=1.1+1.1+2.\left(-1\right)=0\) => \(\left(\alpha\right)\perp\left(\beta\right)\) \(\overrightarrow{n_{\left(\gamma\right)}}.\overrightarrow{n_{\beta}}=1.1+1.\left(-1\right)+\left(-1\right).0=0\) => \(\left(\gamma\right)\perp\left(\beta\right)\) \(\overrightarrow{n_{\left(\alpha\right)}}.\overrightarrow{n_{\gamma}}=1.1+1.\left(-1\right)+\left(2\right).0=0\) => \(\left(\alpha\right)\perp\left(\gamma\right)\) và \(\left(\alpha\right)\) không song song với \(\left(\gamma\right)\)
Xác định vị trí tương đối của cặp mặt phẳng sau: (Q) x + 2y - z + 5 = 0 và (P) 2x + 3y - 7z - 4 = 9. Hai mặt phẳng song song Hai mặt phẳng cắt nhau Hai mặt phẳng trùng nhau Hai mặt phẳng chéo nhau Hướng dẫn giải: Ta xét tỉ lệ giữa các hệ số của hai mặt phẳng: \(\frac{1}{2};\frac{2}{3};-\frac{1}{-7};\frac{5}{-4}\) Ta thấy: \(\frac{1}{2}\ne\frac{2}{3}\ne-\frac{1}{-7}\) vậy nên hai mặt phẳng đã cho cắt nhau.
Xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng sau: (Q) x + 2y + z + 1 = 0 và (P) 2x + 4y + 2z + 2 = 0. Hai mặt phẳng trùng nhau Hai mặt phẳng cắt nhau Hai mặt phẳng song song Hai mặt phẳng chéo nhau Hướng dẫn giải: Cách 1: Ta có tỉ số giữa các hệ số của hai mặt phẳng có tính chất sau: \(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) nên hai măt trùng nhau. Cách 2: Xét phương trình mf (P): \(2x+4y+2z+2=0\) \(\Leftrightarrow2\left(x+2y+z+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow x+2y+z+1=0\) Vậy hai phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q) giống nhau.
Xác định vị trí tương đối của 2 mặt phẳng sau: (Q) 3x - 2y -3z + 5 = 0 và (P): 6x - 4y - 6z +5 = 0. Hai mặt phẳng song song Hai mặt phẳng trùng nhau Hai mặt phẳng cắt nhau Hai mặt phẳng vuông góc Hướng dẫn giải: Vì \(\frac{3}{6}=\frac{-2}{-4}=\frac{-3}{-6}\ne\frac{5}{5}\) nên hai mặt phẳng song song.
Cho hai mặt phẳng có phương trình 2x - my + 3z - 6 + m = 0 và (m + 3)x - 2y + ( 5m + 1)z - 10 = 0. Xác định m để hai mặt phẳng này song song. m = 1 m = - 1 \(m\ne0\) Không có m thỏa mãn Hướng dẫn giải: Hai mặt phẳng song song với nhau \(\Leftrightarrow\frac{2}{m+3}=\frac{-m}{-2}=\frac{3}{5m+1}\ne\frac{-6+m}{-10}\) Ta có: \(\begin{cases}\frac{2}{m+3}=\frac{m}{2}\\\frac{m}{2}=\frac{3}{5m+1}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+3m-4=0\\5m^2+m-6=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m=1\) Nhưng với m = 1 ta có: \(\frac{m}{2}=\frac{1}{2};\frac{-6+m}{-10}=\frac{1}{2}\) nên hai mặt phẳng trùng nhau. Vậy m = 1 không thỏa mãn và không có m nào thỏa mãn.
Xác định tham số m để hai mặt phẳng sau vuông góc với nhau : (Q) 2x + 3y + (2m + 1) z + 10 = 0 và (P) (m + 1)x + 2y + 2z + 2 = 0 \(m=-\frac{5}{3}\) \(m=\frac{5}{3}\) \(m\ne\frac{5}{3}\) m = 0 Hướng dẫn giải: Để hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì hai vecto pháp tuyến cũng vuông góc với nhau. => \(\left(2;3;2m+1\right).\left(m+1;2;2\right)=0\) \(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)+6+2\left(2m+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow m=-\frac{5}{3}\)
Trong hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x - y + z - 2 = 0 và x + 4y - 5 = 0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng thứ ba: 2x - z + 7 = 0. x - 22y +2z + 21 = 0 x + 22y - 2z + 21= 0 x - 22y + 2z - 21 = 0 z + y + z + 1 = 0 Hướng dẫn giải: M ( x ; y ; z ) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng suy ra: \(\begin{cases}3x-y+z-2=0\\x+4y-5=0\end{cases}\) Chọn y = 0 suy ra x = 5, z = -13 vậy điểm A ( 5 ; 0; -13 ) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. Chọn y = 1 suy ra x = 1, z = 0 vậy điểm B ( 1; 1; 0) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. Khi đó mặt phẳng cần tìm đi qua B (1; 1; 0) và có véc tơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{n}\right]\) với \(\overrightarrow{n}=\left(2;0;-1\right)\) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng thứ ba. và \(\overrightarrow{BA}=\left(5-1;0-1;-13-0\right)=\left(4;-1;-13\right)\) \(\overrightarrow{u}=\left(\left|\begin{matrix}0&-1\\-1&-13\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&2\\-13&4\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\4&-1\end{matrix}\right|\right)=\left(-1;22;-2\right)\). Phương trình mặt phẳng cần tìm là: -1.( x - 1) + 22( y - 1) - 2z = 0 hay x - 22y + 2z + 21 = 0
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng x + y - z - 2 = 0 (Q) và cách nó một khoảng bằng \(\sqrt{3}\). Có 2 mặt phẳng (P) thỏa mãn \(x+y-z+1=0\) và \(x+y-z-5=0\) Có 1 mặt phẳng (P) thỏa mãn x + y - z + 1 = 0 Có 2 mặt phẳng (P) thỏa mãn x + y - z + 1 = 0 và x + y - z = 0 Có 1 mặt phẳng (P) thỏa mãn là x + y - z = 0 Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng x + y - z - 2 = 0 nên có phương trình x + y - z + m = 0. Lấy một điểm thuộc mặt phẳng (Q): Cho y = 0; z = 0 => x - 2 = 0 => x = 2 Vậy M(2; 0; 0) thuộc mặt phẳng (Q) Ta có: \(d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2+0+0+m\right|}{\sqrt{1^2+1^2+\left(-1\right)^2}}=\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=1\\m=-5\end{array}\right.\)
Trong hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng: ( P) x + 2y + 3z + 4 = 0 và ( Q ) 3x + 2y - z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 1; 1; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). x + 2y + 3z - 6 = 0 3x + 2y - z - 4 = 0 4x + 4y + 2z - 10 = 0 4x - 5y + 2z - 1 = 0 Hướng dẫn giải: Gọi mặt phẳng cần tìm là (R). Do (R) vuông góc với ( P ) và (Q) nên \(\overrightarrow{n_R}=\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right]=\left[\left(1;2;3\right),\left(3;2;-1\right)\right]=\left(\left|\begin{matrix}2&3\\2&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}3&1\\-1&3\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&2\\3&2\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(-8;10;-4\right)=-2.\left(4;-5;2\right)\) Mặt phẳng (R) đi qua A(1; 1; 1) và có vecto chỉ phương (4;-5;2) nên có phương trình là: 4( x - 1 ) - 5(y - 1) + 2(z - 1) = 0 hay 4x - 5y + 2z - 1 = 0.
