XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1) Định nghĩa cổ điển của xác suất Để đánh giá mức độ xảy ra của một biến cố, ta thường gán biến cố đó với một con số. Nếu số đó lớn thì khả năng xảy ra cũng lớn và ngược lại. Sau đây là một cách gán như vậy. Định nghĩa xác suất của biến cố: Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số \(\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\) là xác suất của biến cố A, và được kí hiệu là P(A) \(P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\) Trong đó n(A) là số phần tử của A, hay là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn \(n\left(\Omega\right)\) là số phần tử của \(\Omega\) hay là số các kết quả có thể có của phép thử. Ví dụ 1: Cho phép thử "gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất", hãy tìm xác suất của các biến cố sau: a) A : "xuất hiện mặt chẵn" b) B : "xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3" c) C : "xuất hiện mặt 7 chấm" Giải: Ta có không gian mẫu là: \(\Omega=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}\), \(n\left(\Omega\right)=6\) a) A = "xuất hiện mặt chẵn" = {2; 4; 6}, n(A) = 3. Vậy P(A) = 3/6 = 0,5 b) B = "xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3" = {3; 6}, n(B) = 2. Vậy P(B) = 2/6 = 1/3 c) C = "xuất hiện mặt 7 chấm" = {}, n(C) = 0. Vậy P(C) = 0/6 = 0 Ví dụ 2: Cho phép thử "gieo một đồng tiên cân đối và đồng chất hai lần". Tính xác suất của các biến cố sau: a) A = "Hai lần gieo kết quả giống nhau" b) B = "Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần" c) C = "Mặt sấp xuất hiện đúng một lần" Giải: Không gian mẫu là: \(\Omega=\left\{SS;SN;NS;NN\right\}\); \(n\left(\Omega\right)=4\) a) A = "Hai lần gieo kết quả giống nhau" = {SS; NN}; n(A) = 2 => P(A) = 2/4 = 0,5 b) B = "Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần" = {SS; SN; NS}; n(B) = 3 => P(B) = 3/4 = 0,75 c) C = "Mặt sấp xuất hiện đúng một lần" = {SN; NS}; n(C) = 2 => P(C) = 2/4 = 0,5 2) Tính chất của xác suất Định lý: Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó: a) \(P\left(\varnothing\right)=0;P\left(\Omega\right)=1\) b) \(o\le P\left(A\right)\le1\) với mọi biến cố A c) Nếu A và B xung khắc (tức \(A\cap B=\varnothing\)) thì \(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\) (công thức cộng xác suất) d) \(P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)\) 3) Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất Ví dụ: Cho phép thử "gieo một đồng tiền rồi sau đó gieo con súc sắc". Tính xác suất các biến cố sau: a) A = "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp" b) B = "Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm" c) C = "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm". Giải: Không gian mẫu là \(\Omega\) = {S1, S2, S3, S4, S5, S6, N1, N2, N3, N4, N5, N6} ; \(n\left(\Omega\right)=12\) a) A = "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp" = { S1, S2, S3, S4, S5, S6 }; n(A) = 6 => P(A) = 6/12 = 1/2 b) B = "Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm" = {S6 , N6} ; n(B) = 2 => P(B) = 2/12 = 1/6 c) C = "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm" = {S6} => n(C) =1 => P(C) = 1/12 Ta có nhận xét: C = A.B và P(C) = P(A.B) = P(A).P(B) Công thức nhân hai xác suất ở trên chỉ đúng khi hai biến cố A và B độc lập nhau, tức là sự xảy ra của biến cố này (đồng tiền xuất hiện mặt sấp) không ảnh hưởng đến sự xảy ra của biến cố kia (súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm).
Cho hai biến cố A và B biết \(P\left(A\right)=\dfrac{1}{4},P\left(B\right)=\dfrac{1}{3},P\left(A\cup B\right)=\dfrac{1}{2}\). Chọn mệnh đề sai: A và B là hai biến cố độc lập. \(P\left(A.B\right)=\dfrac{1}{12}\). A và B là hai biến cố xung khắc. A và B là hai biến cố không xung khắc.
Một hộp có 25 viên bi trong đó có 10 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 10 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tính xác suất để cả ba viên bi có cùng màu. \(\dfrac{5}{46}\) \(\dfrac{6}{46}\) \(\dfrac{1}{20}\) \(\dfrac{25}{40}\) Hướng dẫn giải: A là biến cố cả ba viên bi có màu đỏ. B là biến cố cả ba viên bi có màu trắng. C là biến cố cả ba viên bi có màu vàng. H là biến cố ba viên bi có cùng màu, suy ra \(H=A\cup B\cup C\). \(P\left(A\right)=\dfrac{C^3_5}{C^3_{25}}=\dfrac{1}{230},P\left(B\right)=\dfrac{C^3_{10}}{C^3_{25}}=\dfrac{6}{115},P\left(C\right)=\dfrac{C^3_{10}}{C^3_{25}}=\dfrac{6}{115}\). \(P\left(H\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)=\dfrac{1}{230}+\dfrac{6}{115}+\dfrac{6}{115}=\dfrac{5}{46}\).
Một đồng xu liên tiếp 5 lần. Tính xác suất để cả 5 lần gieo đều được mặt sấp. \(\dfrac{1}{32}\) \(\dfrac{1}{36}\) \(\dfrac{1}{16}\) \(\dfrac{1}{64}\)
Gieo 5 đồng xu liên tiếp 5 lần. Tính xác suất để trong 5 lần gieo có ít nhất một đồng xu sấp. \(\dfrac{31}{32}\) \(\dfrac{1}{32}\) \(\dfrac{1}{16}\) \(\dfrac{20}{32}\) Hướng dẫn giải: Gọi A là biến cố trong 5 lần gieo đều được mặt ngửa. Vậy \(\overline{A}\) chính là biến cố trong 5 lần gieo có ít nhất một mặt sấp. \(P\left(A\right)=\dfrac{1}{2^5}=\dfrac{1}{32}\) \(P\left(\overline{A}\right)=1-\dfrac{1}{32}=\dfrac{31}{32}\).
Một công nhân đứng trước ba máy. Xác suất để máy 1 hư là \(0,1\), xác suất để máy 2 hư là 0,2, xác suất để máy 3 hư là 0,3. Tính xác suất để cả ba máy đều dùng được. \(\dfrac{63}{125}\) \(\dfrac{32}{125}\) \(\dfrac{27}{125}\) \(\dfrac{25}{125}\)
Một chiếc hộp có 30 thẻ, đánh số từ 1 đến 30. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ, tính xác suất để tổng các số ghi trên ba thẻ là một số chẵn. \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{3}{5}\) \(\dfrac{4}{7}\) Hướng dẫn giải: Từ 1 đến 30 có 15 số lẻ và 15 số chẵn. Nếu tổng của ba số là số chẵn thì có 2 trường hợp là : C- C- C và C - L - L. Gọi A là biến cố cả 3 tấm thể đều là số chẵn, B là biến cố có 2 tấm thẻ lẻ và 1 tấm chẵn. C là biến cố tổng các số ghi trên 3 thẻ là một số chẵn. \(C=A\cup B\). \(P\left(A\right)=\dfrac{C^3_{15}}{C^3_{30}}=\dfrac{13}{116},P\left(B\right)=\dfrac{C^1_{15}.C^2_{15}}{C^3_{30}}=\dfrac{45}{116}\). Do A và B là hai biến cố độc lập. \(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)=\dfrac{13}{116}+\dfrac{45}{116}=\dfrac{1}{2}\).
Trong một trò chới điện tử, xác suất để An thắng trong một trận là 0,3. Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,9. 7 trận. 8 trận. 9 trận. 10 trận. Hướng dẫn giải: Gọi số trận mà An phải chơi là n (trận). Gọi A là biến cố không có một trận nào thắng trong n trận đấu. Thì \(\overline{A}\) là biến cố An thắng ít nhất một trận trong n trận đấu. Xác xuất để An thua một trận là: 1 - 0,3 = 0,7. Xác suất để An thua tất cả các trận trong n trận đấu là: \(P\left(A\right)=0,7^n\). \(P\left(\overline{A}\right)=1-0,7^n\). Ta có \(1-0,7^n\ge0,9\Leftrightarrow0,7^n\le0,1\) \(\Leftrightarrow n\ge7\). Vậy An phải chơi tối thiểu 7 trận.
Ba xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia. Xác suất để trúng đích là 0,5; 0,6; 0,7. Tính xác suất để trong 3 lần bắn có 1 lần trượt 2 lần trúng. 0,44 0,55 0,41 0,38 Hướng dẫn giải: Gọi A là biến cố lần 1 trượt, lần 2 và lần 3 trúng. Gọi B là biến cố lần 2 trượt, lần 1 và lần 3 trúng. Gọi C là biến cố lần 3 trượt, lần 1 và lần 2 trúng. Gọi D là biến cố trong ba lần bắn trúng 2 lần và trượt 1 lần thì \(D=A\cup B\cup C\). \(P\left(A\right)=\left(1-0,5\right).0,6.0,7=0,21\). \(P\left(B\right)=0,5.\left(1-0,6\right).0,7=0,14\). \(P\left(C\right)=0,5.0,6.\left(1-0,7\right)=0,09\). Do A, B, C là biến cố xung khắc nên: \(P\left(D\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)=0,21+0,14+0,09=0,44\).
Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác xuất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng: \(\dfrac{5}{22}\) \(\dfrac{6}{11}\) \(\dfrac{5}{11}\) \(\dfrac{8}{11}\) Hướng dẫn giải: Mỗi lần lấy 2 quả trong 11 quả cho ta tổ hợp chập 2 của 11 phần tử. Do đó không gian mẫu có \(C^2_{11}=55\) (phần tử) Vì việc lấy quả cầu là ngẫu nhiên nên các kết quả đó đồng khả năng. Theo quy tắc nhân, xác xuất để hai quả lấy ra khác màu là:
