Tổng hợp lý thuyết và bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
    I. Sơ đồ khảo sát hàm số (tổng quát)

    1. Tập xác định.

    Tìm tập xác định của hàm số
    2. Sự biến thiên.

    - Xét chiều biến thiên của hàm số
    + Tính đạo hàm y'
    + Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định
    + Xét dấu đạo hàm y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số y
    - Tìm cực trị
    - Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
    - Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).
    3. Đồ thị.

    Dựa vào bảng biến thiên, các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị. Có thể khảo sát thêm các yếu tố sau để có đồ thị chính xác hơn:
    • Tương giao với các trục.
    • Tính đối xứng (nếu có).
    • Điểm đặc biệt (nếu cần).
    • Điểm uốn.
    Định nghĩa : Điểm U (\(x_0;f\left(x_0\right)\)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\)nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm \(x_0\) sao cho trên một trong hai khoảng (\(a;x_0\)) và (\(x_0;b\)) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
    Mệnh đề (Cách tìm điểm uốn): Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa \(x_0\), \(f"\left(x_0\right)\) và \(f"\left(x\right)\) đổi dấu khi qua điểm \(x_0\) thì U (\(x_0;f\left(x_0\right)\)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\).
    II. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát

    01.png
    02.png
    03.png
    04.png
    III. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1 : Cho hàm số \(y=x^3+3x^2-4\)
    a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
    b. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình \(\left(x+2\right)^2=\frac{m}{\left|x-1\right|}\)
    Bài giải :
    a. Tập xác định : D = R
    Sự biến thiên :
    * Chiều biến thiên : Ta có \(y'=3x^2+6x\)
    \(y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=-2\end{array}\right.\)
    \(y'< 0\Leftrightarrow-2< x< 0\)
    và \(y'>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x< -2\\x>0\end{array}\right.\)
    Suy ra hàm số đồng biên trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(0;+\infty\right)\); Hàm nghịch biến trên \(\left(-2;0\right)\)
    * Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2,y_{CD}=0\)
    đạt cực tiểu tại \(x=0,y_{CT}=-4\)
    * Giới hạn : \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=+\infty;\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=-\infty\)
    * Bảng biến thiên :
    xy'y-8-20+8+-+000-4-8+8
    upload_2019-1-11_12-23-5.jpeg
    * Đồ thị : Đồ thị (C) của hàm số cắt trục hoành tại A(1;0)
    b. Ta có \(\left(x+2\right)^2=\frac{m}{\left|x-\right|}\Leftrightarrow\left|x-1\right|\left(x^2+4x+4\right)=m,x\ne1\)
    Xét hàm số \(f\left(x\right)=\left|x-1\right|\left(x^2+4x+4\right)=\begin{cases}x^3+3x^2-4;x>1\\-\left(x^3+3x^2-4\right);x< 1\end{cases}\)
    Suy ra đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) gồm phần đồ thị (C) với x > 1 và đối xứng phần đồ thị (C) với x < 1 qua Ox
    Dựa vào đồ thị suy ra :
    * m < 0 phương trình vô nghiệm
    * m = 0 phương trình có 1 nghiệm
    * 0 < m < 4 phương trình có 4 nghiệm
    * m = 4 phương trình có 3 nghiệm
    * m > 4 phương trình có 2 nghiệm
    upload_2019-1-11_12-23-5.jpeg
    Ví dụ 2 : Cho hàm số \(y=x^4-2x^2-1\)
    a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
    b. Tìm m để phương trình \(\left|x^4-2x^2-1\right|=2m\) có 6 nghiệm phân biệt
    Bài giải :
    a. Tập xác định : D = R
    Ta có \(y'=4x\left(x^2-1\right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\Rightarrow y=-1\\x=\pm1\Rightarrow y=-2\end{array}\right.\)
    Giới hạn : \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}y=+\infty\)
    Bảng biến thiên
    upload_2019-1-11_12-23-5.jpeg
    Hàm đồng biến trên \(\left(-1;0\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\); nghịch biến trên \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(0;1\right)\)
    Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;y_{CD}=-1\)
    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm1;y_{ct}=-2\)
    Đồ thị :
    Do hàm số \(y=x^{ }-2x^2-1\) là hàm số chẵn nên (C) nhận Oy làm trục đối xứng
    upload_2019-1-11_12-23-5.jpeg
    b. Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của 2 đồ thị \(\begin{cases}\left(C'\right):y=\left|x^4-2x^2-1\right|\\\Delta:y=2m;\Delta\backslash\backslash Ox\end{cases}\)
    Ta có đồ thị :
    upload_2019-1-11_12-23-5.jpeg
    Dựa vào (C'), suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi :
    \(1< 2m< 2\Leftrightarrow\frac{1}{2}< m< 1\)
    Ví dụ 3 : Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{x-2}\)
    a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
    b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình \(\left|\left|x\right|-1\right|=m\left|\left|x\right|-2\right|\)
    Bài giải :
    a. Tập xác định : \(D=R\backslash\left\{2\right\}\)
    Sự biến thiên :
    * Chiều biến thiên : Ta có \(y'=\frac{1}{\left(x-2\right)^2}>0;x\ne2\) suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\)
    * Giới hạn : \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{-x+1}{x-2}=-1\)
    và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x+1}{x-2}=-1\)
    \(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}y=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\frac{-x+1}{x-2}=+\infty\)
    và \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}y=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\frac{-x+1}{x-2}=-\infty\)
    * Tiệm cận : Đồ thị có đường tiệm cận ngang là \(y=-1\); đường tiệm cận đứng là \(x=2\)
    * Bảng biến thiên :
    upload_2019-1-11_12-23-5.jpeg
    * Đồ thị :
    upload_2019-1-11_12-23-5.jpeg
    Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại (0;1); cắt trục tung tại \(\left(0;-\frac{1}{2}\right)\) và nhận giao điểm I(2;-1) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
    b. Ta có \(x=\pm2\) không là nghiệm của phương trình nên :
    \(\left|\left|x\right|-1\right|=m\left|\left|x\right|-2\right|\Leftrightarrow m=\frac{\left|1-\left|x\right|\right|}{\left|\left|x\right|-1\right|}\)
    Xét hàm số \(\frac{\left|1-\left|x\right|\right|}{\left|\left|x\right|-1\right|}=y\) có đồ thị (C)
    upload_2019-1-11_12-23-5.jpeg
    Khi đó đồ thị \(\left(C_1\right)\) gồm :
    - Phần bên trên trục hoành và bên phải trục tung của đồ thị (C)
    - Phần ở phía dưới trục hoành, bên phải trục tung của đồ thị (C) lấy đối xứng qua trục hoành
    - Phần bên trên trục hoành và bên trái trục tung của đồ thị (C)
    - Phần ở phía dưới trục hoành, bên trái trục tung của đồ thị (C) lấy đối xứng qua trục hoành
    Từ đồ thị ta có
    * Với \(0< m< \frac{1}{2}\) và \(m>\frac{1}{2}\) thì phương trình có 4 nghiệm riêng biệt
    * Với m = 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
    * Với \(m=\frac{1}{2}\) thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt
    * Với m < 0 thì phương trình vô nghiệm
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số liệt kê phía dưới. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
    01.png
    • \(y=-x^2+x-1\)
    • \(y=-x^3+3x+1\)
    • \(y=x^4-x^2+1\)
    • \(y=x^3-3x+1\)
    Hướng dẫn giải:

    - Hàm số \(y=-x^2+x-1\) có đồ thị là Parabol, không có dạng trên
    - Hàm \(y=x^4-x^2+1\) có \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=+\infty\) mà dồ thị cho thấy \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}=-\infty\), Mâu thuẫn.
    - Hàm \(y=-x^3+3x+1\) có \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=+\infty\) mà đồ thị cho thấy \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}=-\infty\). Mâu thuẫn
    Vậy, bằng phương pháp loại trừ ta thấy chỉ còn hàm \(y=x^3-3x+1\) có thể có đồ thị như hình vẽ.
    Chú ý: Giới hạn của đa thức khi \(x\rightarrow\pm\infty\) bằng giới hạn của đơn thức bậc cao nhất. Ví dụ:
    \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4-x^2+1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4\right)=+\infty\)
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên:
    01.png
    Khẳng định nào sau đây đúng?
    • Hàm số có đúng một cực trị
    • Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1
    • Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1
    • Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 1
    Hướng dẫn giải:

    Vì hàm liên tục và đạo hàm đổi dấu từ dương sang â, khi qua điểm tại x = 0 nên hàm có cực đại tại x = 0.
    Tương tự, hàm số liên tục và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số có cực tiểu tại x = 1.
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(f\left(x\right)\) xác định trên khoảng (-2; -1) và có \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=2;\lim\limits_{x\rightarrow-1}f\left(x\right)=-\infty\). Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
    1. Đồ thị hàm số \(f\left(x\right)\) có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng \(x=-2\) và \(x=-1\)
    2. Đồ thị hàm số \(f\left(x\right)\) có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng \(y=2\) và \(y=-1\)
    3. Đồ thị hàm số \(f\left(x\right)\) có đúng hai tiệm cận ngang là các đường thẳng \(y=2\)
    4. Đồ thị hàm số \(f\left(x\right)\) có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-1\)
    Hướng dẫn giải:

    Đồ thị có tiệm cận đứng tại \(x=x_0\) nếu:
    \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}y=\pm\infty\) hoặc \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}y=\pm\infty\)
    Có tiệm cận ngang nếu tồn tại hữu hạn giới hạn sau:
    \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=M\) hoặc \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}y=M\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\), xác định trên \(R\backslash\left\{-1;1\right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau :
    01.jpg
    Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai ?
    1. Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0
    2. Hàm số đạt cực trị tại x = 0
    3. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = -1 và x = 1
    4. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = -2 và y = 2
    Hướng dẫn giải:

    Phát biểu sai là: Hàm số đạt cực trị tai x=0 vì hàm y không có giá trị lớn nhất tại bất cứ khoảng lân cận nào chứa điểm x=0.
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Đồ thị (C') của hàm số \(y=x^3+6x^2+9x+2\) chính là đồ thị (C) của hàm số \(y=x^3+3x^2\) được tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{OI}\). Tọa độ điểm I (gốc tọa độ mới) là :
    • \(I\left(1;2\right)\)
    • \(I\left(2;1\right)\)
    • \(I\left(-1;-2\right)\)
    • \(I\left(-2;-1\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    01.jpg
    02.jpg
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Đồ thị (C') của hàm số \(y=\frac{x^2-3x+1}{x}\) chính là đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}\) được tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{OI}\). Tọa độ điểm I là :
    • \(I\left(-1;3\right)\)
    • \(I\left(1;-3\right)\)
    • \(I\left(3;-1\right)\)
    • \(I\left(-3;1\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    01.jpg