Tóm tắt lý thuyết 2.1. Khái niệm lôgarit Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit có số \(a\) của \(b\), kí hiệu \(\log_ab=\alpha\). Vậy: \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1,b > 0\\ {a^\alpha } = b \end{array} \right.\) Ví dụ: \(\log_2\sqrt{2}=\frac{1}{2}\) vì \(2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\) \(\log_2\frac{1}{8}=-3\) vì \(2^{-3}=\frac{1}{8}\) \(\log_23=1\) vì \(3^1=3\) \(\log_a1=0\) vì \(a^0=1\) \(\log_23=x\) vì \(2^x=3\) 2.2. Các tính chất của lôgarit a) Qui tắc tính lôgarit Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau: Với \(b>0\): \(a^{\log_ab}=b\) Lôgarit của một tích: Với \(x_1,x_2>0\): \(\log_a(x_1.x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2\) Mở rộng với \(x_1,x_2,..., x_n>0\): \(\log_a(x_1.x_2....x_n)=\log_ax_1+\log_ax_2+...+\log_ax_n\) Lôgarit của một thương Với \(x_1,x_2>0 :\ \log_a\frac{x_1}{x_2}=\log_ax_1-\log_ax_2\) Với \(x> 0: \log_a\frac{1}{x}=-\log_ax\) Lôgarit của một lũy thừa: Với \(b>0:\) \(\log_ab^x=x\log_ab\) \(\forall x\): \(\log_aa^x=x\) b) Công thức đổi cơ số: Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau: Với \(00:\) \(\log_ab=\frac{\log_c \ b}{\log_c \ a}\) Lấy \(0 < b \ne 1\), chọn \(c=b\) ta có: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\) Với \(\alpha \neq 0,b>0\): \(\log_{a^\alpha }b^\beta =\frac{\beta }{\alpha }\log_ab\) Với \(\alpha \neq 0, b>0:\) \(\log_{a^\alpha }b=\frac{1}{\alpha }\log_ab\) c) So sánh hai lôgarit cùng cơ số Nếu \(a>1\) thì \(\log_ax>\log_ay \Leftrightarrow x>y>0\) Nếu \(a<1\) thì \(\log_ax>\log_ay \Leftrightarrow 0 < x< y\) Nếu \(a=1\) thì \(\log_ax = \log_ay = 0 \) 2.3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên a) Lôgarit thập phân Lôgarit cơ số 10 của số \(x>0\) được gọi là lôgarit thập phân của \(x\), kí hiệu là \(\log x\) hoặc \(\lg x\). b) Lôgarit tự nhiên Lôgarit cơ số \(e\) của số \(a>0\) được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu \(\ln a.\) Bài tập minh họa Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau: a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 - {\log _9}10\) b) \(B = {\log _{36}}2 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3\) c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right)\) Lời giải: a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 - {\log _9}10 = {\log _9}\frac{{15.18}}{{10}} = {\log _9}{3^3} = \frac{1}{2}{\log _3}{3^3} = \frac{3}{2}\) b) \(B = {\log _{36}}2 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2 + \frac{1}{2}{\log _6}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2.3 = \frac{1}{2}\) c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right) = - {\log _4}\left( {{{\log }_2}3.{{\log }_3}4} \right)\) \(= - {\log _4}\left( {{{\log }_2}4} \right) = - \frac{1}{2}{\log _2}2 = - \frac{1}{2}\) Ví dụ 2: Tính các giá trị biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều xác định): a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}\) b) \(B={\log _{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}\) Lời giải: a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a} = {\log _a}\left( {{a^{3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}}}} \right) = 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{10}}\) b) \(B=lo{g_{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}} = - {\log _a}\left( {\frac{{{a^{1 + \frac{3}{5} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}}}} \right) = - \left( {\frac{{34}}{{15}} - \frac{3}{4}} \right) = - \frac{{91}}{{60}}\) Ví dụ 3: a) Tính \(A= {\log _3}135\) biết \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b\) b) Tính \(B={\log _{49}}32\) biết \({\log _2}14 = a\) Lời giải: a) \(A = {\log _3}135 = {\log _3}{5.3^3} = {\log _3}5 + 3 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} + 3 = \frac{a}{b} + 3 = \frac{{a + 3b}}{b}\) b) Ta có: \({\log _2}14 = a \Leftrightarrow 1 + {\log _2}7 = a \Rightarrow {\log _2}7 = a - 1\) Vậy: \({\log _{49}}32 = \frac{{{{\log }_2}{2^5}}}{{{{\log }_2}{7^2}}} = \frac{5}{{2{{\log }_2}7}} = \frac{5}{{2\left( {a - 1} \right)}}\) Ví dụ 4: Không dùng máy tính, hãy so sánh: a) \({\log _{0,4}}\sqrt 2 \; \vee \;{\log _{0,2}}0,34\) b) \({\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\; \vee \;{\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5}\) c) \({2^{{{\log }_5}3}}\; \vee \;{3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}}\) Lời giải: a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 2 > 1 \Rightarrow {\log _{0,4}}\sqrt 2 < {\log _{0,4}}1 = 0\\ 0,3 < 1 \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,2}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,4}}\sqrt 2\) b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{3} > 1;0 < \frac{3}{4} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4} < {\log _{\frac{5}{3}}}1 = 0\\ 0 < \frac{3}{4} < 1;0 < \frac{2}{5} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{3}{4}}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\) c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _5}3 > {\log _5}1 \Rightarrow {2^{{{\log }_5}3}} > {2^{{{\log }_5}1}} = {2^0} = 1\\ {\log _5}\frac{1}{2} < {\log _5}1 \Rightarrow {3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}} < {3^{{{\log }_5}1}} = {3^0} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _5}3 > {\log _5}\frac{1}{2}\)
Cho các số thực dương a, b với \(a\ne1\). Khẳng định nào sau đây là đúng? \(log_{a^2}\left(ab\right)=\frac{1}{2}log_ab\) \(log_{a^2}\left(ab\right)=\frac{1}{4}log_ab\) \(log_{a^2}\left(ab\right)=2+2log_ab\) \(log_{a^2}\left(ab\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}log_ab\) Hướng dẫn giải: \(log_{a^2}\left(ab\right)=\frac{1}{2}log_a\left(ab\right)=\frac{1}{2}\left(log_aa+log_ab\right)=\frac{1}{2}\left(1+log_ab\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}log_ab\)
Đặt \(a=log_23\), \(b=log_53\). Hãy biểu diễn \(log_645\) ? \(log_645=\frac{a+2ab}{ab}\) \(log_645=\frac{2a^2-2ab}{ab}\) \(log_645=\frac{a+2ab}{ab+b}\) \(log_645=\frac{2a^2-2ab}{ab+b}\) Hướng dẫn giải: \(log_645=\frac{log_345}{log_36}=\frac{log_3\left(3^2.5\right)}{log_3\left(2.3\right)}=\frac{2+log_35}{log_32+1}=\frac{2+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+1}=\frac{a+2ab}{ab +b}\)
Cho hai số thực a và b, với 1 < a < b. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ? \(log_ab< 1< log_ba\) \(log_ba< log_ab< 1\) \(1< log_ab< log_ba\) \(log_ba< 1< log_ab\) Hướng dẫn giải: Với a, b > 1 và a < b thì \(log_ab>log_aa=1\) \(log_ba< log_bb=1\) Vậy \(log_ba< 1< log_ab\)
Tìm số thực a biết \(\log_3\left(2-a\right)=2\) ? \(a=-4\) \(a=6\) \(a=-7\) \(a=-6\) Hướng dẫn giải: \(\log_3\left(2-a\right)=2\) \(\Leftrightarrow2-a=3^2\) \(\Leftrightarrow a=-7\)
Tìm số thực a biết \(\log_2a.\log_{\sqrt{2}}a=32\) ? \(a=256\) hoặc \(a=\frac{1}{256}\) \(a=64\) \(a=16\) \(a=16\) hoặc \(a=\frac{1}{16}\) Hướng dẫn giải: \(\log_2a.\log_{\sqrt{2}}a=32\) \(\Leftrightarrow\log_2a.\log_{2^{\frac{1}{2}}}a=32\) \(\Leftrightarrow\log_2a.\left(2\log_2a\right)=32\) \(\Leftrightarrow\left(\log_2a\right)^2=16\) \(\Leftrightarrow\log_2a=4\) hoặc \(\log_2a=-4\) \(\Leftrightarrow a=2^4=16\) hoặc \(\Leftrightarrow a=2^{-4}=\frac{1}{16}\)
Cho a là một số thực dương, khác 1. Đặt \(\log_3a=\alpha\). Tính số trị của biểu thức sau theo \(\alpha\) ? \(P=\log_{\frac{1}{3}}a-\log_{\sqrt{3}}a^2+\log_a9\) \(P=\frac{2-5\alpha^2}{\alpha}\) \(P=\frac{2\left(1-\alpha^2\right)}{\alpha}\) \(P=\frac{1-10\alpha^2}{\alpha}\) \(P=-3\alpha\) Hướng dẫn giải: \(P=\log_{\frac{1}{3}}a-\log_{\sqrt{3}}a^2+\log_a9\) \(=\log_{3^{-1}}a-\log_{3^{\frac{1}{2}}}a^2+\log_a3^2\) \(=\frac{1}{-1}\log_3a-\frac{2}{\frac{1}{2}}\log_3a+2.\frac{1}{\log^3a}\) \(=-\alpha-4\alpha+\frac{2}{\alpha}\) \(=\frac{-5\alpha^2+2}{\alpha}\)
Cho a và b là các số thực dương, khác 1. Đặt \(\log_ab=\alpha\). Tính theo \(\alpha\) số trị của biểu thức \(P=\log_{a^2}b-\log_{\sqrt{b}}a^3\) ? \(P=\frac{\alpha^2-12}{\alpha}\) \(P=\frac{\alpha^2-12}{2\alpha}\) \(P=\frac{4\alpha^2-3}{2\alpha}\) \(P=\frac{\alpha^2-3}{\alpha}\) Hướng dẫn giải: \(P=\log_{a^2}b-\log_{\sqrt{b}}a^3\) \(=\frac{1}{2}\log_ab-\log_{b^{\frac{1}{2}}}a^3\) \(=\frac{1}{2}\log_ab-\frac{3}{\frac{1}{2}}\log_ba\) \(=\frac{1}{2}\log_ab-6.\frac{1}{\log_ab}\) \(=\frac{1}{2}\alpha-6.\frac{1}{\alpha}\) \(=\frac{\alpha^2-12}{2\alpha}\)
Cho a và b là các số thực dương, a khác 1. Hỏi khẳng định nào dưới đây đúng ? \(\log_{\sqrt{a}}\left(a^2+ab\right)=1+4\log_ab\) \(\log_{\sqrt{a}}\left(a^2+ab\right)=4+2\log_ab\) \(\log_{\sqrt{a}}\left(a^2+ab\right)=2+2\log_a\left(a+b\right)\) \(\log_{\sqrt{a}}\left(a^2+ab\right)=4\log_a\left(a+b\right)\) Hướng dẫn giải: \(\log_{\sqrt{a}}\left(a^2+ab\right)=\log_{a^{\frac{1}{2}}}\left[a\left(a+b\right)\right]\) \(=\frac{1}{\frac{1}{2}}\left[\log_aa+\log_a\left(a+b\right)\right]\) \(=2\left[1+\log_a\left(a+b\right)\right]\)
Đặt \(a=\log_35;b=\log_45\). Hãy biểu diễn \(\log_{15}10\) theo a và b ? \(\log_{15}10=\frac{a+2ab}{2ab}\) \(\log_{15}10=\frac{a^2-ab}{ab}\) \(\log_{15}10=\frac{a+2ab}{2\left(ab+b\right)}\) \(\log_{15}10=\frac{a^2-ab}{ab+b}\) Hướng dẫn giải: Vì \(a=\log_35;b=\log_45\) nên ta có: \(b=\log_{2^2}5=\frac{1}{2}\log_25\) => \(\log_25=2b\) Và \(\log_23=\log_25.\log_53=2b.\frac{1}{a}=\frac{2b}{a}\) Ta tính: \(\log_{15}10=\log_{15}\left(2.5\right)=\log_{15}2+\log_{15}5\) \(=\frac{1}{\log_215}+\frac{1}{\log_515}\) \(=\frac{1}{\log_23+\log_25}+\frac{1}{\log_53+\log_55}\) \(=\frac{1}{\frac{2b}{a}+2b}+\frac{1}{\frac{1}{a}+1}\) \(=\frac{a}{2b\left(a+1\right)}+\frac{a}{a+1}\) \(=\frac{a+2ab}{2\left(ab+a\right)}\)