1. Các định nghĩa. • Lũy thừa với số mũ nguyên dương : \(a^n=a.a.a...a\) (n thừa số a) (a ∈ R, n ∈ N ∗ ). • Lũy thừa với số mũ 0 : \(a^0=1,\left(a\ne0\right)\) • Lũy thừa với số mũ nguyên âm : \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)(a\(\ne\) 0, n ∈ N ∗ ). • Lũy thừa với số mũ hữu tỷ : \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) (a > 0; m, n ∈ Z; n \(\ge\) 2). • Lũy thừa với số mũ thực : \(a^{\alpha}=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a^{r_n}\); \(\left(a>0;\left(r_n\right)\subset Q;\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}r_n=\alpha\right)\) 2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực. Cho hai số thực a, b > 0 và α, β là những số thực tuỳ ý. Ta có • \(a^{\alpha}.a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}\) . • \(\left(a^{\alpha}\right)^{\beta}=a^{\alpha.\beta}\) . • \(\left(ab\right)^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha}\). • \(\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha-\beta}\). •\(\left(\frac{a}{b}\right)^{\alpha}=\frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}\). • Nếu a > 1 thì \(a^{\alpha}>a^{\beta}\) \(\Leftrightarrow\alpha>\beta\) • Nếu 0 < a < 1 thì \(a^{\alpha}>a^{\beta}\Leftrightarrow\alpha<\beta\). • Nếu α > 0 thì 0 < a < b ⇔ \(a^{\alpha}\)<\(b^{\alpha}\) • Nếu α < 0 thì 0 < a < b ⇔\(a^{\alpha}\) > \(b^{\alpha}\) 3. Ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau : \(A=4^{\frac{3}{2}}+8^{\frac{2}{3}}\) Bài giải : \(A=4^{\frac{3}{2}}+8^{\frac{2}{3}}=\left(2^2\right)^{\frac{3}{2}}+\left(2^3\right)^{\frac{2}{3}}=2^3+2^2=12\) Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức \(A=\frac{\sqrt[5]{81}.\sqrt[5]{3}.\sqrt[5]{9}.\sqrt{12}}{\left(\sqrt[5]{\sqrt{3}}\right)^3.\sqrt{18}.\sqrt[5]{27}.\sqrt{6}}\) Bài giải : \(A=\frac{\sqrt[5]{81}.\sqrt[5]{3}.\sqrt[5]{9}.\sqrt{12}}{\left(\sqrt[5]{\sqrt{3}}\right)^3.\sqrt{18}.\sqrt[5]{27}.\sqrt{6}}=\frac{3^{\frac{4}{5}}.3^{\frac{1}{5}}.3^{\frac{2}{5}}.2.3^{\frac{1}{2}}}{\left(3^{\frac{1}{10}}\right)^3.3.2^{\frac{1}{2}}.3^{\frac{3}{5}}.2^{\frac{1}{2}}.3^{\frac{1}{2}}}=\frac{3^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{9}{10}}}=3^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\) Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức sau : \(B=\sqrt[3]{a^2\sqrt[4]{a}}\) Bài giải : \(B=\sqrt[3]{a^2\sqrt[4]{a}}=\left(a^2.a^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(a^{\frac{9}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}\)
Hãy so sánh \(\left(\sqrt{3}\right)^{0,4}\) với 1 ? \(\left(\sqrt{3}\right)^{0,4}>1\) \(\left(\sqrt{3}\right)^{0,4}< 1\) \(\left(\sqrt{3}\right)^{0,4}=1\) Hướng dẫn giải: Do \(\sqrt{3}>\sqrt{1}=1\) nên suy ra \(\left(\sqrt{3}\right)^{0,4}>1^{0,4}\) => \(\left(\sqrt{3}\right)^{0,4}>1\)
So sánh \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{3}}\) với 1 ? \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{3}}< 1\) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{3}}>1\) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{3}}=1\) Không so sánh được Hướng dẫn giải: Vì \(\frac{1}{2}< 1\) nên suy ra \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{3}}>1^{-\frac{1}{3}}\) (vì hàm \(y=x^a,a< 0\) là hàm nghịch biến). => \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{3}}>1\)
Rút gọn biểu thức sau: \(A=\left(1-2\sqrt{\frac{b}{a}}+\frac{b}{a}\right):\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)\) \(A=\frac{1}{a}\) \(A=\dfrac{2}{a}\) \(A=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a}\) \(A=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a}\) Hướng dẫn giải: \(A=\left(1-2\sqrt{\frac{b}{a}}+\frac{b}{a}\right):\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)\) \(=\left[1-2\sqrt{\frac{b}{a}}+\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\right]:\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)\) \(=\left[1-\sqrt{\frac{b}{a}}\right]^2:\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)\) \(=\left[1-\sqrt{\frac{b}{a}}\right]^2:\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\) (ĐK \(a\ge0;b\ge0;a\ne b\)) \(=\left[\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\right]^2.\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\) \(=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a}\)
Cho đa thức $f(x)=3x^{3}-2x^{2}+4x+7$ và $g(x)=x^{2}+2x$. Dư của $\frac{f(x)}{g(x)}$ là: 20x+7 15x-3 8x+7 12x-5 Hướng dẫn giải: Thực hiện phép chia $\frac{f(x)}{g(x)}$:
Đơn giản biểu thức sau \(C=\frac{\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)^2}{\sqrt[3]{ab}}:\left(2+\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)\) là: a+ b 1 \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) 1/2 Hướng dẫn giải: \(C=\frac{\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)^2}{\sqrt[3]{ab}}:\left(2+\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)\) \(=\frac{\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)^2}{\sqrt[3]{ab}}:\frac{2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{ab}}\) \(=\frac{\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)^2}{\sqrt[3]{ab}}:\frac{\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)^2}{\sqrt[3]{ab}}\) \(=1\)
Tính \(9^{\frac{2}{5}}.27^{\frac{2}{5}}\) 3 9 \(\sqrt{3}\) 27 Hướng dẫn giải: Đổi về cơ số 3 và dùng tính chất lũy thừa của một lũy thừa và tính chất tích hai lũy thừa cùng cơ số.
Tính \(144^{\frac{3}{4}}:9^{\frac{3}{4}}\) 4 9 8 3 Hướng dẫn giải: Dùng tính chất thương của hai lũy thừa cùng số mũ.
Tính \(\left(\frac{1}{16}\right)^{-0,75}+0,25^{-2,5}\) được kết quả là: 8 40 10 25 Hướng dẫn giải: Viết \(\frac{1}{16}=2^{-4}\) và \(0,25=\frac{1}{4}=2^{-2}\) rồi dùng tính chất lũy thừa của một lũy thừa.
Tính \(\left(0,04\right)^{-1,5}-\left(0,125\right)^{-\frac{2}{3}}\) -81 64 121 125 Hướng dẫn giải: Viết \(0,04=\frac{4}{100}=5^{-2},0,125=\frac{125}{1000}=2^{-3}\) rồi dùng tính chất lũy thừa của một lũy thừa.
