Các kĩ năng cơ bản học sinh phải nắm được trong phần này bao gồm: 1. Biết dựa vào đạo hàm cấp một để khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f'\left(x\right)\ge0,\forall x\in D\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) đồng biến trên \(D\) \(f'\left(x\right)\le0,\forall x\in D\) thì hàm số \(f\left(x\right)\)nghịch biến trên \(D\) \(f'\left(x\right)>0,\forall x\in D\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) tăng trên \(D\) \(f'\left(x\right)< 0,\forall x\in D\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) giảm trên \(D\) 2. Biết cách tìm các điểm cực trị của hàm số Để tìm các điểm cực trị của hàm số thì phương pháp phổ biến là theo các bước sau: - Tính đạo hàm bậc một \(y'\) - Tìm tập các nghiệm của \(y'\), giả sử các nghiệm là \(x_1,x_2,..,x_n\), khi đó cực trị nếu có sẽ là các điểm này. - Lập bảng xét dấu \(y'\) dựa trên các mốc \(x_1,x_2,..,x_n\). Nếu \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x_i\) thì hàm số có cực tiểu tại \(x_i\), nếu \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số có cực đại tại \(x_i\), còn nếu \(y'\) không đổi dấu khi qua \(x_i\) thì \(x_i\) không phải là điểm cực trị của hàm số (mà là điểm uốn của đồ thị hàm số). Trong một số trường hợp, ta có thể tìm các điểm cực trị thông qua tìm các nghiệm \(x_1,x_2,..,x_n\) của \(y'\) rồi tính giá trị của \(y''\) tại các điểm này, nếu \(y''\left(x_i\right)>0\) thì \(x_i\) là điểm cực tiểu, nếu \(y''\left(x_i\right)< 0\) thì \(x_i\) là điểm cực đại. Tuy nhiên nếu \(y''\left(x_i\right)=0\) thì không kết luận \(x_i\) có là điểm cực trị hay không mà quay lại phương pháp lập bảng xét dấu của \(y'\). 3. Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số liên tục trên một đoạn hay một khoảng Giá trị lớn nhất trên một khoảng khác với giá trị cực đại. Trong khi giá trị cực đại là giá trị của hàm số tại một điểm \(x_i\) mà lớn hơn giá trị hàm số tại các điểm lân cận \(x_i\), tức là giá trị cực đại là giá trị lớn nhất trên một khoảng đủ nhỏ, thì giá trị lớn nhất trên một khoảng thì nó là giá trị lớn nhất trên toàn khoảng (xem minh họa bên dưới). Tương tự như vậy, giá trị nhỏ nhất khác với giá trị cực tiểu. Vì vậy muốn tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) trên đoạn [a,b] ta làm như sau: - Tính đạo hàm bậc một \(y'\) và tìm nghiệm \(y'=0\), giả sử các nghiệm là \(x_1,x_2,...,x_n\)(các điểm cực đại và cực tiểu sẽ nằm trong tập các điểm này) - Tính giá trị y của hàm số tại các điểm trên \(y\left(x_1\right),y\left(x_2\right),...,y\left(x_n\right)\) và hai điểm đầu mút \(y\left(a\right),y\left(b\right)\) và lấy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất từ tập các giá trị này. 4. Biết cách tìm các đường tiệm cận (đứng, ngang) của đồ thị hàm số (nếu có) - Nếu tồn tại một trong các giới hạn \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\) = a, \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y\) = b thì các đường \(y=a\) và \(y=b\) là các đường tiệm cận ngang của đồ thị. - Nếu sau khi biến đổi và rút gọn y mà hàm số \(y\) có dạng hàm hữu tỉ \(y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\), các đường tiệm cận ngang nếu có của \(y\) là các đường \(x=b\) với b là nghiệm của đa thức mẫu số \(g\left(x\right)\). Vậy để tìm tiệm cận ngang, ta cần tìm các nghiệm \(b_1,...,b_k\) của mẫu số \(g\left(x\right)\), rồi kiểm tra xem nếu chúng không là làm cho tử số \(f\left(b_i\right)\) bằng 0 thì \(x=b_i\) là tiệm cận đứng (vì \(\lim\limits_{x\rightarrow b_i}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\infty\)), nếu \(f\left(b_i\right)=0\) thì ta rút gọn y bằng cách chia cả tử và mẫu cho \(x-b_i\) và tìm lại tập nghiệm của mẫu số. 5. Biết cách lập, biết cách đọc hiểu bảng biến thiên của một hàm số Bảng biến thiên gồm 3 dòng x, y' và y (xem bảng biến thiên ở trên) cho ta biết hàm số đồng biến, nghịch biến trong những khoảng nào, nó cũng cho ta biết hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu tại các điểm nào. 6. Biết cách vẽ, biết cách đọc hiểu và nhận dạng đồ thị của một hàm số Khi cho đồ thị hàm số ta có thể rút ra được các nhận xét sau: - Ta sẽ biết được giá trị của \(y\) khi \(x\rightarrow\pm\infty\) - Các đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị (nếu có) - Các khoảng đồng biến, nghịch biến - Các giá trị cực đại, cực tiểu. Hoành độ điểm cực trị là dương, âm, v.v. - Giao điểm của đồ thị với trục hoành (tức là nghiệm của hàm số) - Giao điểm của đồ thị với trục tung (giá trị của hàm số tại x=0) 7. Biết tìm số giao điểm của đồ thị hàm số với một đường thẳng song song với trục hoành dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số đó Từ bàng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y=f(x) ta có thể tìm hoặc biện luận số nghiệm của phương trình f(x)=m. 9. Biết xác định số giao điểm, biết tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) và \(y=g\left(x\right)\). - Để tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị ta tìm tập nghiệm của phương trình \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\) - Sau khi tìm được các nghiệm \(x_i\), ta thay \(x_i\) vào một trong hai hàm \(f\left(x\right)\) hoặc \(g\left(x\right)\) để tìm ra tung độ giao điểm (chú ý nên thay vào hàm nào đơn giản hơn vì khi thay vào hàm nào thì cũng cùng ra một số).
Tìm tập giá trị của hàm số sau: \(y=\frac{x-1}{\left|x\right|}\) \(\left(-\infty;0\right)\) \(\left(-1;+\infty\right)\) \(\left(-\infty;1\right)\) \(\left(-\infty;+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: Miền xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}\). Ta phá dấu trị tuyệt đối của hàm số như sau: \(y=\frac{x-1}{\left|x\right|}=\left\{\begin{matrix}\frac{x-1}{-x}=-1+\frac{1}{x},x< 0\\\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x},x>0\end{matrix}\right.\) Với \(x\in\left(-\infty;0\right)\) thì \(\frac{1}{x}\in\left(-\infty;0\right)\) \(\Rightarrow y=-1+\frac{1}{x}\in\left(-\infty;-1\right)\) Với \(x\in\left(0;+\infty\right)\) thì \(\frac{1}{x}\in\left(0;+\infty\right)\) \(\Rightarrow-\frac{1}{x}\in\left(-\infty;0\right)\) \(\Rightarrow y=1-\frac{1}{x}\in\left(-\infty;1\right)\) Hợp của hai miền giá trị của hàm số ứng với hai khoảng trên ta được miền giá trị của y là: \(\left(-\infty;-1\right)\cup\left(-\infty;1\right)=\left(-\infty;1\right)\)
Cho biết hàm số \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị như hình vẽ dưới: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(\left\{\begin{matrix}a>0\\b^2-3ac>0\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}a>0\\b^2-3ac< 0\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}a< 0\\b^2-3ac>0\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}a< 0\\b^2-3ac< 0\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: - Ta có nhận xét dấu của \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) khi \(x\rightarrow+\infty\) hoặc \(x\rightarrow-\infty\) là dấu của đơn thức có bậc cao nhất \(ax^3\) nên ta có ngay \(a>0\) (vì nhìn vào đồ thị ta có: \(x\rightarrow+\infty\) thì \(y\rightarrow+\infty\); \(x\rightarrow-\infty\) thì \(y\rightarrow-\infty\)) - Hàm số liên tục và đồ thi đi lên nên hàm số đồng biến, suy ra: \(y'=3ax^2+2bx+c>0\) với \(\forall x\), mà đã biết \(a>0\) nên tam thức bậc hai > 0 với mọi x khi: \(\Delta'=b^2-3ac< 0\) Vậy từ 2 nhận xét trên rút ra: \(\left\{\begin{matrix}a>0\\b^2-3ac< 0\end{matrix}\right.\)
Ch biết hàm số \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị như hình vẽ dưới: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(\left\{\begin{matrix}a>0\\b^2-3ac>0\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}a>0\\b^2-3ac< 0\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}a< 0\\b^2-3ac>0\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}a< 0\\b^2-3ac< 0\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: - Ta có nhận xét dấu của \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) khi \(x\rightarrow+\infty\) hoặc \(x\rightarrow-\infty\) là dấu của đơn thức có bậc cao nhất \(ax^3\) nên ta có ngay \(a< 0\) (vì nhìn vào đồ thị ta có: \(x\rightarrow+\infty\) thì \(y\rightarrow-\infty\); \(x\rightarrow-\infty\) thì \(y\rightarrow+\infty\)) - Hàm số liên tục và đồ thi đi xuống nên hàm số nghịch biến, suy ra: \(y'=3ax^2+2bx+c< 0\) với \(\forall x\), mà đã biết \(a< 0\) nên tam thức bậc hai < 0 với mọi x khi: \(\Delta'=b^2-3ac< 0\) Vậy từ 2 nhận xét trên rút ra: \(\left\{\begin{matrix}a< 0\\b^2-3ac< 0\end{matrix}\right.\)
Ch biết hàm số \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị như hình vẽ dưới: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(\left\{\begin{matrix}a>0\\b^2-3ac>0\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}a>0\\b^2-3ac< 0\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}a< 0\\b^2-3ac>0\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}a< 0\\b^2-3ac< 0\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: - Ta có nhận xét dấu của \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) khi \(x\rightarrow+\infty\) hoặc \(x\rightarrow-\infty\) là dấu của đơn thức có bậc cao nhất \(ax^3\) nên ta có ngay \(a< 0\) (vì nhìn vào đồ thị ta có: \(x\rightarrow+\infty\) thì \(y\rightarrow-\infty\); \(x\rightarrow-\infty\) thì \(y\rightarrow+\infty\)) - Hàm số có 2 điểm cực trị nên đạo hàm bậc 1 của hàm số có hai nghiệm: \(y'=3ax^2+2bx+c=0\) có hai nghiệm suy ra: \(\Delta'=b^2-3ac>0\) Vậy từ 2 nhận xét trên rút ra: \(\left\{\begin{matrix}a< 0\\b^2-3ac>0\end{matrix}\right.\)
Cho biết hàm số \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị như hình vẽ dưới: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(\left\{\begin{matrix}a>0\\b^2-3ac>0\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}a>0\\b^2-3ac< 0\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}a< 0\\b^2-3ac>0\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}a< 0\\b^2-3ac< 0\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: - Ta có nhận xét dấu của \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) khi \(x\rightarrow+\infty\) hoặc \(x\rightarrow-\infty\) là dấu của đơn thức có bậc cao nhất \(ax^3\) nên ta có ngay \(a>0\) (vì nhìn vào đồ thị ta có: \(x\rightarrow+\infty\) thì \(y\rightarrow+\infty\); \(x\rightarrow-\infty\) thì \(y\rightarrow-\infty\)) - Hàm số có 2 điểm cực trị nên đạo hàm bậc 1 của hàm số có hai nghiệm: \(y'=3ax^2+2bx+c=0\) có hai nghiệm suy ra: \(\Delta'=b^2-3ac>0\) Vậy từ 2 nhận xét trên rút ra: \(\left\{\begin{matrix}a>0\\b^2-3ac>0\end{matrix}\right.\)
Xác định dấu a, b, c của hàm số \(y=ax^3+bx+c\) nếu biết rằng đồ thị hàm số như hình vẽ dưới: \(a>0,b< 0,c>0\) \(a>0,b>0,c>0\) \(a< 0,b>0,c>0\) \(a>0,b>0,c< 0\) Hướng dẫn giải: - Dấu của \(y=ax^3+bx+c\) khi \(x\rightarrow\pm\infty\) là dấu của \(ax^3\). Từ đồ thi ta thấy \(a>0\) (vì khi \(x\rightarrow+\infty\) thì \(y\rightarrow+\infty\)). - Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(y\left(0\right)=c\). Theo đồ thị giao đồ thị với trục tung là điểm có tung độ lớn hơn 0 nên \(c>0\). - Đồ thị có 2 điểm cực trị nên đạo hàm cấp 1 có hai nghiệm phân biệt. Suy ra: \(y'=3ax^2+b=0\) có hai nghiệm phân biệt. Vì đã biết \(a>0\) nên để \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt thì \(b< 0\). Tổng hợp lại ta có: \(a>0,b< 0,c>0\)
Tìm a, b để đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+2}{x+b}\) có đồ thị như hình dưới: \(a=1,b=1\) \(a=1,b=2\) \(a=1,b=-2\) \(a=2,b=2\) Hướng dẫn giải: Đồ thị cắt trục hành tại điểm (0;-2) nên phương trình \(\frac{ax+2}{x+b}=0\) có nghiệm là \(x=-2\). Suy ra \(x=-\frac{2}{a}=-2\), hay là \(a=1\). Đồ thị nhận \(x=2\) làm tiệm cận đứng nên mẫu số của hàm số là \(x-2\), suy ra \(b=-2\).
Tim m để đường thẳng \(y=x+m\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2x}{x+1}\) tại hai điểm phân biệt? \(m\in\left(-\infty;3-3\sqrt{2}\right)\cup\left(3+3\sqrt{2};+\infty\right)\) \(m\in\left(-\infty;3-2\sqrt{2}\right)\cup\left(3+2\sqrt{2};+\infty\right)\) \(m\in\left(-\infty;1-2\sqrt{3}\right)\cup\left(1+2\sqrt{3};+\infty\right)\) \(m\in\left(-\infty;4-2\sqrt{2}\right)\cup\left(4+2\sqrt{2};+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình: \(x+m=\frac{2x}{x+1}\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(x+m\right)=2x\\x\ne-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x^2+\left(m-1\right)x+m=0\\x\ne-1\end{matrix}\right.\) Để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thì: Phương trình \(x^2+\left(m-1\right)x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt và khác -1. Hay là: \(\left\{\begin{matrix}\Delta=\left(m-1\right)^2-4m>0\\\left(-1\right)^2+\left(m-1\right).\left(-1\right)+m\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m^2-6m+1>0\\2\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}m< 3-\sqrt{8}\\m>3+\sqrt{8}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;3-2\sqrt{2}\right)\cup\left(3+2\sqrt{2};+\infty\right)\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y=x^3-\left(2m-1\right)x+m^2+1\) có hai điểm cực trị? \(m>0,5\) \(m< 0,5\) \(m>\sqrt{2}\) \(m\le0,5\) Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-\left(2m-1\right)\) Để hàm số có 2 điểm cực trị thì \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra \(\frac{2m-1}{3}>0\Leftrightarrow m>0,5\)
