A. Kiến Thức Cần Nhớ Định nghĩa 1: Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(f\) là hàm số xác định trên K. • Hàm số \(f\) gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu ∀\(x_1,x_2\in K,\), \(x_1\) < \(x_2\) ⇒ \(f\left(x_1\right)\) < \(f\left(x_2\right)\) • Hàm số \(f\) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu ∀\(x_1,x_2\in K,\), \(x_1\) < \(x_2\) ⇒ \(f\left(x_1\right)\) > \(f\left(x_2\right)\) Lưu ý. • Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên; • Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống. Định lý 1 : Cho hàm số y = \(f\left(x\right)\)) có đạo hàm trên khoảng I. • Nếu \(f'\left(x\right)\) > 0, ∀x ∈ I thì y = \(f\left(x\right)\) đồng biến trên I; • Nếu \(f'\left(x\right)\) < 0, ∀x ∈ I thì y = \(f\left(x\right)\) nghịch biến trên I; • Nếu \(f'\left(x\right)\) = 0, ∀x ∈ I thì y = \(f\left(x\right)\) không đổi trên I. Lưu ý. • Nếu \(f'\left(x\right)\) $\geq $ 0 , ∀x ∈ I và \(f'\left(x\right)\)= 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = \(f\left(x\right)\) đồng biến trên I. • Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung : "Hàm số y = \(f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó" B. Kỹ Năng Cơ Bản 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số. Tìm tập xác định. Tính y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định. Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận. 2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến. • Tìm tập xác định \(D_f\) . • Tính y' và chỉ ra \(y'\ge0\), ∀x ∈ \(D_f\) (hoặc \(y'\le0\), ∀x ∈ \(D_f\) ). C. Các dạng bài tập: Dạng 1: Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số : \(y=\frac{x^3}{3}-x^2-3x+2\) Bài giải : Tập xác định : \(D=R\) Ta có : \(y'=x^2-2x-3,y'=0\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=-1;x=3\) Lập bảng biến thiên : Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(3;+\infty\right)\), nghịch biến trên \(\left(-1;3\right)\) Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số \(f\left(x\right)=x+\cos^2x\) đồng biến trên R Bài giải : Tập xác định \(D=R\) Ta có \(f'\left(x\right)=1-\sin2x;f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\sin2x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in Z\) Cách 1 : Hàm số \(f\) liên tục trên mỗi đoạn \(\left[\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+\left(k+1\right)\pi\right]\) và có đạo hàm \(f'\left(x\right)>0\) với mọi \(x\in\left[\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+\left(k+1\right)\pi\right],k\in Z\) Do đó hàm đồng biến trên mỗi đoạn \(x\in\left[\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+\left(k+1\right)\pi\right],k\in Z\) Vậy hàm đồng biến trên R Cách 2 : Vì \(f'\left(x\right)=0\) tại vô hạn điểm nên ta chưa kết luận được tính đơn điệu của hàm số Ta chứng minh hàm số nghịch biến theo định nghĩa. Với mọi \(x_1,x_2\in R,x_1\)<\(x_2\) khi đó sẽ tồn tại khoảng (a,b) chứa \(x_1,x_2\) ( chẳng hạn khoảng \(\left(x_1-1,x_2+1\right)\)) Ta có \(f'\left(x\right)\ge0,\)với mọi \(x\in\left(a,b\right)\) và \(f'\left(x\right)=0\) có hữu hạn nghiệm trên (a,b). Do đó, hàm số đồng biến trên (a,b) suy ra \(f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\) Ta đã chứng minh được mọi \(x_1,x_2\in R\) mà \(x_1\) <\(x_2\) thì \(f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\) Hay hàm số đã cho đồng biến trên R Ví dụ 3: Tìm m để hàm số : \(y=x^3-3mx^2+3\left(2m+3\right)x+1\) nghịch biến trong khoảng \(\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) Bài giải : Tập xác định R Ta có \(y'=3x^2-6mx+3\left(2m-1\right)=3\left[x^2-2mx+\left(2m+3\right)\right]\) Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) khi và chỉ khi \(y'\le0\), mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) hay \(f\left(x\right)=x^2-2mx+\left(2m+3\right)\le0\left(1\right)\)mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) Cách 1 : Ta có (1) \(\Leftrightarrow2m\left(x-1\right)\ge x^2+3\Leftrightarrow m\le\frac{x^2+3}{2x-2}\) với mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) Xét hàm số \(g\left(x\right)=\frac{x^2+3}{2x-2}\)\(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) \(g'\left(x\right)=\frac{2x\left(2x-2\right)-2\left(x^2+3\right)}{\left(2x-2\right)^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(2x-6\right)}{\left(2x-2\right)^2}<0\) với mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) Bảng biến thiên : xg'(x)g(x)-1212-1312-134 Từ bảng biến thiên suy ra \(m\le-\frac{13}{4}\) là giá trị cần tìm Cách 2 : Dễ thất nếu \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kéo thì \(f\left(x\right)\ge0\) với mọi x, khi đó không có giá trị nào m thỏa mãn Phương trình \(f\left(x\right)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) \(x_1,x_2,\) (\(x_1\)<\(x_2\))\(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow m^2-2m-2>0\) \(\Leftrightarrow m>3\) hoặc \(m<-1\) Khi đó \(f\left(x\right)\le0\), với mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)\(\Leftrightarrow\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\subset\left[x_1;x_2\right]\Leftrightarrow x_1\le-\frac{1}{2}\)<\(\frac{1}{2}\le x_2\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(2x_1-1\right)\left(2x_2-1\right)\le0\\\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)\le0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}4x_1x_2-2\left(x_1+x_1\right)+1\le0\\4x_1x_2+2\left(x_1+x_1\right)+1\le0\end{cases}\) Theo định lí Viet ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m+3\end{cases}\) do đó \(\begin{cases}4\left(2m+3\right)-4m+1\le0\\4\left(2m+3\right)+4m+1\le0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m\le-\frac{13}{4}\) Vậy \(m\le-\frac{13}{4}\) là giá trị cần tìm.
Cho hàm số $y=-x^{3}+3x^{2}-5$. Khẳng định nào dưới đây là đúng? Hàm số đồng biến trên $(0;2)$, nghịch biến trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$ Hàm số đồng biến trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$, nghịch biến trên $(0;2)$ Hàm số đồng biến trên $(-1;2)$, nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(2;+\infty)$ Hàm số đồng biến trên $(-\infty;-1)$ và $(2;+\infty)$,nghịch biến trên $(-1;2)$ Hướng dẫn giải: Tập xác định $D = R$ Ta có $y' = -3x^{2}+6x = -3x(x-2)$ $y' = 0 \Leftrightarrow x= 0; x=2$ Bảng biến thiên Vậy hàm số đồng biến trên (0;2), nghịch biến trên $(--\infty;0)$ và $(2;+-\infty)$
Cho hàm số $y=(m^{2}-1)\frac{x^{3}}{3}+(m+1)x^{2}+3x+4$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $R$. $m \leq -1$ hoặc $m\geq 2$ $m\leq -1$ $m\leq 2$ $m\geq 2$ Hướng dẫn giải: \(y'=\left(m^2-1\right)x^2+2\left(m+1\right)x+3\) a) Xét \(m^2-1=0\) hay \(m=1\) hoặc \(m=-1\) - Với \(m=1\) thì \(y'=4x+3\). Ta có \(y'\ge0\) khi \(x\ge-\frac{3}{4}\) và \(y'< 0\) khi \(x< -\frac{3}{4}\). Tức là hàm số đồng biến trên [-3/4; \(+\infty\)) và nghịc biến trên (\(-\infty\);-3/4). Vậy với m = 1 không thỏa mãn - Với \(m=-1\) thì \(y'=3\). Ta có \(y'\ge0\) với mọi x nên hàm số luôn đồng biến trên tập số thực R. Vậy với m = -1 thỏa mãn. b) Xét \(m\ne\pm1\) Hàm số đồng biến trên R thì \(y'\ge0\) với mọi x. y' là tam thức bậc 2, để \(y'\ge0\) với mọi x thì điều kiện là: hệ số a > 0 và \(\Delta\le0\), hay là: \(\begin{cases}m^2-1>0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-3\left(m^2-1\right)\le0\end{cases}\) <=> \(\begin{cases}m< -1;m>1\\-m^2+m+2\le0\end{cases}\) <=> \(\begin{cases}m< -1;m>1\\\left(m-2\right)\left(m+1\right)\ge0\end{cases}\) <=> \(\begin{cases}m< -1;m>1\\m\le-1;m\ge2\end{cases}\) Biểu diễn các điều kiện trên trục số ta rút ra được \(m\in\left(-\infty;-1\right)\cup\)[2;+\(\infty\)) Kết hợp với trường hợp b, ta kết luận: \(m\in\) (\(-\infty\); -1] \(\cup\) [2; +\(\infty\)).
Tìm m để hàm số $y=x^{3}- 3x^{2}+(m+1)x+4m$ nghịch biến trên $(-1; 1)$ $m \leq 10$ $m \leq -10$ $m \leq 2$ $-10 \leq m \leq 2$ Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-6x+m+1\) Để y nghịch biến trên (-1; 1) thì \(y'\le0\) trên (-1 ; 1). Ta có y' là tam thức bậc hai có hệ số a dương, đồ thị là parabol có hướng lõm quay lên và đỉnh parabol có hoành độ bằng \(-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2.3}=1\). Vậy để \(y'\le0\) trên (-1; 1) thì ta có điều kiện sau: (xem hình vẽ) \(\begin{cases}y'\left(-1\right)\le0\\y'\left(1\right)\le0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}3.\left(-1\right)^2-6.\left(-1\right)+m+1\le0\\3.1^2-6.1+m+1\le0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m+10\le0\\m-2\le0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\le-10\\m\le2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m\le-10\)
Tìm $x$ để \(x^3-4x+3>0\) ? \(x\in\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty\right)\) \(x>1\) \(x\in\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};1\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty\right)\) \(x\in\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)\) Hướng dẫn giải: Đa thức vế trái có tổng các hệ số bằng 0 nên dễ thấy nó có nghiệm x = 1. Ta chia đa thức vế trái cho x - 1 để phân tích nó thành dạng \(\left(x-1\right)\left(ax^2+bx+c\right)\). Vậy \(x^3-4x+3=\left(x-1\right)\left(x^2+x-3\right)\) Ta xét tiếp tam thức bậc hai \(x^2+x-3\) có hai nghiệm là \(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\) . Suy ra \(x^2+x-3=\left(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\) \(\Rightarrow x^3-4x+3=\left(x-1\right)\left(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\) Ba nghiệm của đa thức sắp xếp từ bé đến lớn là: \(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};1;\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\) Vậy đa thức có dấu âm trong khoảng \(\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\) (vì cả ba thừa số đều âm); dương trong khoàng \(\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};1\right)\); âm trong khoảng \(\left(1;\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)\) , dương trong khoảng \(\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty\right)\) Vậy để đa thức dương thì \(x\in\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};1\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty\right)\)
Hỏi đồ thị hàm số \(y=2x^4+1\) đồng biến trên khoảng nào? \(\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right)\) \(\left(0;+\infty\right)\) \(\left(-\frac{1}{2};+\infty\right)\) \(\left(-\infty;0\right)\) Hướng dẫn giải: \(y'=8x^3\) Ta có y' > 0 khi x > 0 và y' < 0 khi x < 0 nên y đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}\) đồng biến trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\). \(m\le0\) hoặc \(1\le m< 2\) \(m\le0\) \(1\le m< 2\) \(m\ge2\) Hướng dẫn giải: \(y'=\frac{\left(\tan x-m\right)\frac{1}{\cos^2x}-\left(\tan x-2\right)\frac{1}{\cos^2x}}{\left(\tan x-m\right)^2}=\frac{2-m}{\cos^2x\left(\tan x-m\right)^2}\) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) khi hàm số xác định và \(y'>0\) trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\). Để \(y'>0\Rightarrow2-m>0\Leftrightarrow m< 2\) Để hàm số xác định trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) thì \(\tan x\ne m\). Ta có \(0< \tan x< 1\) với \(0< x< \frac{\pi}{4}\) nên ta phải có: \(m\le0\) hoặc \(m\ge1\). Kết hợp với \(y'>0\) thì điều kiện là: \(m\le0\) hoặc \(1\le m< 2\).
Cho hàm số \(y=a\sin x+b\cos x+x\). Tìm hệ thức liên quan giữa a và b để hàm số luôn luôn đồng biến trên R. \(\begin{cases}a^2+b^2< 1\\a>1\end{cases}\) \(0\le a^2+b^2\le1\) \(\begin{cases}a^2+b^2>1\\a< 1\end{cases}\) \(\begin{cases}a^2+b^2\ge1\\a>1\end{cases}\) Hướng dẫn giải: Xét 2 trường hợp sau: - TH1 a = b = 0, khi đó y = x là hàm luôn đồng biến. - TH2: \(a\ne0\) hoặc \(b\ne0\) \(y'=a\cos x-b\sin x+1\) \(=\left[\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\right]\sqrt{a^2+b^2}\) \(=\left[\cos\phi.\cos x-\sin\phi.\sin x+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\right]\sqrt{a^2+b^2}\) (với góc \(\phi\) thỏa mãn \(\cos\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)) \(=\left[\cos\left(x+\phi\right)+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\right]\sqrt{a^2+b^2}\) Để hàm số đồng biến với mọi x thì \(y'\ge0\) với mọi x, hay là: \(\cos\left(x+\phi\right)+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge0\) với mọi x \(\Leftrightarrow\cos\left(x+\phi\right)\ge\frac{-1}{\sqrt{a^2+b^2}}\) với mọi x \(\Leftrightarrow-1\ge\frac{-1}{\sqrt{a^2+b^2}}\) (vì \(\cos\left(x+\phi\right)\in\left[-1;1\right]\)) \(\Leftrightarrow1\le\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\) \(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}\le1\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2\le1\), đối chiếu với trường hợp đang xét ta có: \(0\ne a^2+b^2\le1\) Tổng hợp cả hai trường hợp ta có: \(0\le a^2+b^2\le1\)
Tìm m để hàm số \(y=\left(m-3\right)x-\left(2m+1\right)\cos x\) nghịch biến trên tập xác định. \(m< 3\) \(\frac{2}{3}< m< 3\) \(m< -4\) hoặc \(m>3\) \(-4\le m\le\frac{2}{3}\) Hướng dẫn giải: Tập xác định của y là \(\mathbb{R}\). \(y'=m-3+\left(2m+1\right)\sin x\) - Xét trường hợp 2m + 1 = 0, hay \(m=-\frac{1}{2}\), khi đó \(y=-\frac{7}{2}x\) là hàm giảm trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn yêu cầu bài toán. - Xét trường hợp 2m + 1 > 0, hay \(m>-\frac{1}{2}\), để hàm số giảm trên \(\mathbb{R}\) thì \(y'\le0\) với mọi x, điều kiện là: \(m-3+\left(2m+1\right)\sin x\le0\) với mọi x \(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)\sin x\le3-m\) với mọi x \(\Leftrightarrow\sin x\le\frac{3-m}{2m+1}\) với mọi x (vì đang xét 2m+1>0) \(\Leftrightarrow1\le\frac{3-m}{2m+1}\) (vì \(\sin x\le1\)) \(\Leftrightarrow2m+1\le3-m\) \(\Leftrightarrow m\le\frac{2}{3}\) Kết hợp với điệu kiện đang xét ta có: \(-\frac{1}{2}< m\le\frac{2}{3}\) - Xét trường hợp 2m + 1 < 0, hay \(m< -\frac{1}{2}\), tương tự trên, để \(y'\le0\) với mọi x thì: \(m-3+\left(2m+1\right)\sin x\le0\) với mọi x \(\Leftrightarrow\sin x\ge\frac{3-m}{2m+1}\) với mọi x (chú ý ta đang xét 2m+1 <0) \(\Leftrightarrow-1\ge\frac{3-m}{2m+1}\) (do \(\sin x\ge-1\)) \(\Leftrightarrow-\left(2m+1\right)\le3-m\) \(\Leftrightarrow m\ge-4\) Kết hợp với trường hợp đang xét ta có: \(-4\le m< -\frac{1}{2}\) Tổng hợp ba trường hợp ta có: \(-4\le m\le\frac{2}{3}\)
Để hàm số \(y=-\frac{x^3}{3}+\left(a-1\right)x^2+\left(a+3\right)x-4\) đồng biến trong khoảng (0,3) thì giá trị cần tìm của tham số a là : \(a>-3\) \(-3< a< \frac{12}{7}\) \(a\ge\dfrac{12}{7}\) \(a< -3\) Hướng dẫn giải: \(y=-\frac{x^3}{3}+\left(a-1\right)x^2+\left(a+3\right)x-4\) \(\Rightarrow y'=-x^2+2\left(a-1\right)x+a+3\) \(\Leftrightarrow y'=-x^2+4+\left(a-1\right)\left(2x+1\right)\) Để hàm đồng biến trên khoảng \((0;3)\) thì \(y'=-x^2+4+(a-1)(2x+1)\geq 0\forall x\in (0;3)\) \(\Leftrightarrow (a-1)(2x+1)\geq x^2-4\) Vì \(x\in (0;3)\Rightarrow 2x+1>0\), do đó điều trên tương đương với \(a-1\geq \frac{x^2-4}{2x+1}\) \(\Leftrightarrow a\geq \frac{x^2-4}{2x+1}+1\Leftrightarrow a\geq \max (\frac{x^2-4}{2x+1}+1)\) (1) Xét hàm \(y=\frac{x^2-4}{2x+1}+1 \Rightarrow y'=\frac{2(x^2+x+4)}{(2x+1)^2}>0\) nên hàm đồng biến Do đó với \(x\in (0;3)\Rightarrow \frac{x^2-4}{2x+1}+1\in \left(\frac{0-4}{2.0+1}+1;\frac{3^2-4}{2.3+1}+1\right)\) \(\Leftrightarrow \frac{x^2-4}{2x+1}+1\in (-3;\frac{12}{7})\) (2) Từ \((1);(2)\Rightarrow a\geq \frac{12}{7}\)
