Tổng hợp lý thuyết và bài tập Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
    1) Hệ số góc của tiếp tuyến, phương trình tiếp tuyến
    • Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (\(x_0;y_0\)) là \(k=y'\left(x_0\right)\)
    • Phương trình tiếp tuyến tại M (\(x_0;y_0\)) là \(y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0\)

    a. Tiếp tuyến tại điểm M(\(x_0;y_0\)).

    • Tính \(y_0\Rightarrow y'\left(x_0\right)\) ⇒ PTTT.
    Lưu ý.
    ∗ Nếu đề bài chỉ cho \(x_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và tính \(y_0=y'\left(x_0\right)\).
    ∗ Nếu đề chỉ cho \(y_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và giải phương trình \(y_0=y'\left(x_0\right)\Rightarrow x_0\)
    ∗ Nếu đề chưa cho \(x_0;y_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và lập phương trình tiếp tuyến theo x0.

    b. Tiếp tuyến biết hệ số góc k.

    • Gọi điểm tiếp xúc M(\(x_0;y_0\)); Tính \(y'\) ; Giải phương trình \(y'\left(x_0\right)=k\Rightarrow x_0;y_0\)⇒ Phương trình tiếp tuyến.
    Lưu ý.
    ∗ Tiếp tuyến song song ∆ ⇒ kT T = k∆.
    ∗ Tiếp tuyến vuông góc ∆ ⇒ kT T = − 1 k∆

    2) Các dạng bài tập

    Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến
    Ví dụ 1 :
    Cho hàm số \(y=x^4-8x^2+m+1\) \(\left(C_m\right)\). Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) luôn cắt đồ thị \(\left(C_m\right)\) tại 3 điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm.
    Bài giải :
    Ta có : \(y'=4x^3-16x\)
    Vì \(x_0=1\Rightarrow y_0=m-6\)
    \(y'\left(x_0\right)=-12\)
    Phương trình tiếp tuyến d của \(\left(C_m\right)\)tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) là :
    \(y=-12\left(x-1\right)+m-6=-12x+m+6\)
    Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(C_m\right)\) với d là :
    \(x^4-8x^2+m+1=-12x+m+6\Leftrightarrow x^4-8x^2+12x-5=0\)
    \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x-5\right)=0\)
    \(\Leftrightarrow x=1;x=-1\pm\sqrt{6}\)
    Vậy d và \(\left(C_m\right)\) luôn cắt nhau tại 3 điểm phân biệt :
    \(A\left(1;m-6\right);B\left(-1\pm\sqrt{6};m+18\right)\) (vì \(m-6\ne m+18\))
    Ví dụ 2 : Cho hàm số \(y=-x^4-\frac{1}{2}x^2+6\left(C\right)\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của (C) biết :
    a. \(\Delta\) vuông góc với đường thẳng \(d:y=\frac{1}{5}x-1\)
    b.\(\Delta\) tạo với hai đường thẳng \(d_1:2x-y+2=0\)
    \(d_2:x-2y+3=0\) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của \(d_1,d_2\)
    Bài giải
    giải :Tập xác định : D = R
    Gọi tiếp điểm là \(M\left(x_0;y_0\right);y'=-4x^3-x\)
    Hệ số góc của \(\Delta\) là \(k=y'\left(x_0\right)\)
    a. Vì \(\Delta\perp d\) nên \(\frac{1}{5}.k=-1\Leftrightarrow k=-5\Leftrightarrow-4x^3_0-x_0=-5\Leftrightarrow x_0=1\)
    (Chú ý: \(-4x_0^3-x_0=-5\Leftrightarrow\left(-4x_0^3+4x\right)-\left(5x_0-5\right)=0\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)\left(4x_0^2+4x+5\right)=0\Leftrightarrow x_0=1\))
    \(x_0=1\Rightarrow y\left(x_0\right)=-1-\frac{1}{2}+6=\frac{9}{2}\Rightarrow\Delta:y=-5\left(x-1\right)+\frac{9}{2}\Leftrightarrow\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)
    Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của (C) là \(\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)
    b. Phân giác của hai đường thẳng \(d_1;d_2\) là :
    \(\frac{\left|2x-y+2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{\left|x-2y+3\right|}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=-x+1\\y=x+\frac{5}{3}\end{array}\right.\)
    Từ giả thiết suy ra \(\Delta\) vuông góc với các đường phân giác của \(d_1;d_2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(\pm1\) ( \(\Delta\) không đi qua giao điểm của \(d_1;d_2\)
    * Trường hợp 1 : Với k = 1 ta có \(-4x^3_0-x_0=1\Leftrightarrow x_0=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=\frac{93}{16}\)
    Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x+\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{101}{16}\)
    * Trường hợp 2 : Với k = -1 ta có \(-4x^3_0-4x_0=-1\Leftrightarrow x_0=\frac{1}{2}\)
    Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x-\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{85}{16}\)

    Dạng 2 : Tìm tọa độ điểm thỏa mãn tính chất của tiếp tuyến và số tiếp tuyến

    Ví dụ 1 : Cho hàm số \(y=\frac{2x}{x-1}\) có đồ thị (C). Tìm 2 điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm đó song song với nhau, đồng thời 3 điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O (O là gốc tọa độ)
    Bài giải :
    Gọi \(A\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);B\left(b;\frac{2b}{b-1}\right)\) (với \(a,b\ne0;a,b\ne1;a\ne b\))
    Khi đó hệ số góc của các đường tiếp tuyến tại A và B lần lượt là :
    \(k_1=-\frac{2}{\left(a-1\right)^2};k_2=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2}\)
    Do các đường tiếp tuyến song song nên :
    \(-\frac{2}{\left(a-1\right)^2}=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2}\Leftrightarrow a+b=2\)
    Mặt khác, ta có : \(\overrightarrow{OA}=\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);\overrightarrow{OB}=\left(b;\frac{2b}{b-1}\right)\)
    Do OAB là tam giác vuông tại O nên \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\)
    Ta có hệ \(\begin{cases}a+b=2\\ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\end{cases}\)
    Giải hệ ta được \(\begin{cases}a=-1\\b=3\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=3\\b=-1\end{cases}\)
    Vậy 2 điểm cần tìm có tọa độ là : (-1;1) và (3;3)
    Ví dụ 2 : Tìm tất cả những điểm nằm trên trục tung sao cho từ đó có thể kẻ tới đồ thị hàm số \(y=x^4-2x^2-1\) đúng 3 tiếp tuyến
    Bài giải
    Xét \(M\left(0;m\right)\in Oy\)
    Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=kx+m\)
    d là tiếp tuyến suy ra hệ : \(\begin{cases}x^4-2x^2-1=kx+m\\4x^3-4x=k\end{cases}\) có nghiệm
    Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :
    \(-x^4-2x^2-1=4x^4-4x^2+m\Leftrightarrow5x^4-2x^2+1+m=0\) (*)
    Để từ M ta có thể kẻ đến đồ thị đúng 3 tiếp tuyến suy ra (*) có 3 nghiệm phân biệt
    \(\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)
    Khi đó (*) có 3 nghiệm \(x=0;x=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\)
    Vậy 3 tiếp tuyến đó là :
    \(y=-1;y=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}x-1\)
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}\quad (C)$. Xác định tọa độ giao điểm của $(C)$ với $y=x+3$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại mỗi giao điểm vừa tìm được.
    • $A(2;5),B(-2;1)$ và các tiếp tuyến $y=-3x+11, y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}$
    • $A(-2;5),B(2;1)$ và các tiếp tuyến $y=-3x+11, y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}$
    • $A(2;5),B(-2;1)$ và các tiếp tuyến $y=3x+11, y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}$
    • $A(-2;5),B(2;1)$ và các tiếp tuyến $y=3x+11, y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}$
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪