TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ1) Hệ số góc của tiếp tuyến, phương trình tiếp tuyến • Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (\(x_0;y_0\)) là \(k=y'\left(x_0\right)\) • Phương trình tiếp tuyến tại M (\(x_0;y_0\)) là \(y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0\) a. Tiếp tuyến tại điểm M(\(x_0;y_0\)). • Tính \(y_0\Rightarrow y'\left(x_0\right)\) ⇒ PTTT. Lưu ý. ∗ Nếu đề bài chỉ cho \(x_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và tính \(y_0=y'\left(x_0\right)\). ∗ Nếu đề chỉ cho \(y_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và giải phương trình \(y_0=y'\left(x_0\right)\Rightarrow x_0\) ∗ Nếu đề chưa cho \(x_0;y_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và lập phương trình tiếp tuyến theo x0. b. Tiếp tuyến biết hệ số góc k. • Gọi điểm tiếp xúc M(\(x_0;y_0\)); Tính \(y'\) ; Giải phương trình \(y'\left(x_0\right)=k\Rightarrow x_0;y_0\)⇒ Phương trình tiếp tuyến. Lưu ý. ∗ Tiếp tuyến song song ∆ ⇒ kT T = k∆. ∗ Tiếp tuyến vuông góc ∆ ⇒ kT T = − 1 k∆ 2) Các dạng bài tập Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến Ví dụ 1 : Cho hàm số \(y=x^4-8x^2+m+1\) \(\left(C_m\right)\). Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) luôn cắt đồ thị \(\left(C_m\right)\) tại 3 điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm. Bài giải : Ta có : \(y'=4x^3-16x\) Vì \(x_0=1\Rightarrow y_0=m-6\) \(y'\left(x_0\right)=-12\) Phương trình tiếp tuyến d của \(\left(C_m\right)\)tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) là : \(y=-12\left(x-1\right)+m-6=-12x+m+6\) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(C_m\right)\) với d là : \(x^4-8x^2+m+1=-12x+m+6\Leftrightarrow x^4-8x^2+12x-5=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x-5\right)=0\) \(\Leftrightarrow x=1;x=-1\pm\sqrt{6}\) Vậy d và \(\left(C_m\right)\) luôn cắt nhau tại 3 điểm phân biệt : \(A\left(1;m-6\right);B\left(-1\pm\sqrt{6};m+18\right)\) (vì \(m-6\ne m+18\)) Ví dụ 2 : Cho hàm số \(y=-x^4-\frac{1}{2}x^2+6\left(C\right)\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của (C) biết : a. \(\Delta\) vuông góc với đường thẳng \(d:y=\frac{1}{5}x-1\) b.\(\Delta\) tạo với hai đường thẳng \(d_1:2x-y+2=0\) \(d_2:x-2y+3=0\) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của \(d_1,d_2\) Bài giải giải :Tập xác định : D = R Gọi tiếp điểm là \(M\left(x_0;y_0\right);y'=-4x^3-x\) Hệ số góc của \(\Delta\) là \(k=y'\left(x_0\right)\) a. Vì \(\Delta\perp d\) nên \(\frac{1}{5}.k=-1\Leftrightarrow k=-5\Leftrightarrow-4x^3_0-x_0=-5\Leftrightarrow x_0=1\) (Chú ý: \(-4x_0^3-x_0=-5\Leftrightarrow\left(-4x_0^3+4x\right)-\left(5x_0-5\right)=0\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)\left(4x_0^2+4x+5\right)=0\Leftrightarrow x_0=1\)) \(x_0=1\Rightarrow y\left(x_0\right)=-1-\frac{1}{2}+6=\frac{9}{2}\Rightarrow\Delta:y=-5\left(x-1\right)+\frac{9}{2}\Leftrightarrow\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\) Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của (C) là \(\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\) b. Phân giác của hai đường thẳng \(d_1;d_2\) là : \(\frac{\left|2x-y+2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{\left|x-2y+3\right|}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=-x+1\\y=x+\frac{5}{3}\end{array}\right.\) Từ giả thiết suy ra \(\Delta\) vuông góc với các đường phân giác của \(d_1;d_2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(\pm1\) ( \(\Delta\) không đi qua giao điểm của \(d_1;d_2\) * Trường hợp 1 : Với k = 1 ta có \(-4x^3_0-x_0=1\Leftrightarrow x_0=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=\frac{93}{16}\) Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x+\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{101}{16}\) * Trường hợp 2 : Với k = -1 ta có \(-4x^3_0-4x_0=-1\Leftrightarrow x_0=\frac{1}{2}\) Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x-\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{85}{16}\) Dạng 2 : Tìm tọa độ điểm thỏa mãn tính chất của tiếp tuyến và số tiếp tuyến Ví dụ 1 : Cho hàm số \(y=\frac{2x}{x-1}\) có đồ thị (C). Tìm 2 điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm đó song song với nhau, đồng thời 3 điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O (O là gốc tọa độ) Bài giải : Gọi \(A\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);B\left(b;\frac{2b}{b-1}\right)\) (với \(a,b\ne0;a,b\ne1;a\ne b\)) Khi đó hệ số góc của các đường tiếp tuyến tại A và B lần lượt là : \(k_1=-\frac{2}{\left(a-1\right)^2};k_2=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2}\) Do các đường tiếp tuyến song song nên : \(-\frac{2}{\left(a-1\right)^2}=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2}\Leftrightarrow a+b=2\) Mặt khác, ta có : \(\overrightarrow{OA}=\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);\overrightarrow{OB}=\left(b;\frac{2b}{b-1}\right)\) Do OAB là tam giác vuông tại O nên \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\) Ta có hệ \(\begin{cases}a+b=2\\ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\end{cases}\) Giải hệ ta được \(\begin{cases}a=-1\\b=3\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=3\\b=-1\end{cases}\) Vậy 2 điểm cần tìm có tọa độ là : (-1;1) và (3;3) Ví dụ 2 : Tìm tất cả những điểm nằm trên trục tung sao cho từ đó có thể kẻ tới đồ thị hàm số \(y=x^4-2x^2-1\) đúng 3 tiếp tuyến Bài giải Xét \(M\left(0;m\right)\in Oy\) Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=kx+m\) d là tiếp tuyến suy ra hệ : \(\begin{cases}x^4-2x^2-1=kx+m\\4x^3-4x=k\end{cases}\) có nghiệm Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được : \(-x^4-2x^2-1=4x^4-4x^2+m\Leftrightarrow5x^4-2x^2+1+m=0\) (*) Để từ M ta có thể kẻ đến đồ thị đúng 3 tiếp tuyến suy ra (*) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\) Khi đó (*) có 3 nghiệm \(x=0;x=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\) Vậy 3 tiếp tuyến đó là : \(y=-1;y=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}x-1\)
Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3+2x^2+3x-1\quad (C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại giao điểm của $(C)$ với đường thẳng $y=-1$. $y=3x-1$ hoặc $y=-1$ $y=3x+1$ hoặc $y=1$ $y=3x-1$ hoặc $y=1$ $y=3x+1$ hoặc $y=-1$
Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}\quad (C)$. Xác định tọa độ giao điểm của $(C)$ với $y=x+3$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại mỗi giao điểm vừa tìm được. $A(2;5),B(-2;1)$ và các tiếp tuyến $y=-3x+11, y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}$ $A(-2;5),B(2;1)$ và các tiếp tuyến $y=-3x+11, y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}$ $A(2;5),B(-2;1)$ và các tiếp tuyến $y=3x+11, y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}$ $A(-2;5),B(2;1)$ và các tiếp tuyến $y=3x+11, y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}$
Cho $y=x^3+(m-1)x^2-3mx+2\quad (C_m)$. Tìm $m$ để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=1$ vuông góc với đường thẳng $d:x-2y+10=0$. $m=3$ $m=-2$ $m=1$ $m=0$
Cho $y=x^3-3x^2+4\quad (C)$. Tìm tọa độ điểm $M\in (C)$ sao cho tiếp tuyến tại điểm đó song song với đường thẳng $y=9x+3$. $M(-1;0)$ hoặc $M(3;4)$ $M(1;2)$ hoặc $M(0;4)$ $M(-1;0)$ hoặc $M(1;2)$ $M(0;4)$ hoặc $M(3;4)$
Cho hàm số $y=\dfrac{x-2}{2x+1}\quad (C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y=5x-2$. $y=5x+8$ $y=5x-8$ $y=5x-2$ $y=5x+2$
Cho $y=\dfrac{x+2}{x-2}\quad (C)$. Tìm $M\in(C)$ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ vuông góc với đường thẳng $y=\dfrac{1}{4}x+5$. $M(1;-3)$ hoặc $M(3;5)$ $M(0;-1)$ hoặc $M(4;3)$ $M(1;-3)$ hoặc $M(4;3)$ $M(0;-1)$ hoặc $M(3;5)$
Cho $y=\dfrac{2x-1}{x-1}\quad (C)$. Tìm điểm $M\in(C)$ sao cho tiếp tuyến tại $M$ và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân. $M(2;3)$ hoặc $M(0;1)$ $M\left(-2;\dfrac{5}{3}\right)$ hoặc $M\left(3;\dfrac{5}{2}\right)$ $M\left(-2;\dfrac{5}{3}\right)$ hoặc $M(0;1)$ $M(2;3)$ hoặc $M\left(3;\dfrac{5}{2}\right)$
Cho $y=\dfrac{1}{4}x^3-\dfrac{3}{2}x^2+5\quad (C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5. $y=5$ hoặc $y=-\dfrac{9}{4}x+5$ $y=5$ $y=-\dfrac{9}{4}x+5$ $y=5$ hoặc $y=\dfrac{9}{4}x+5$
Cho $y=\dfrac{-x+1}{2x+1}\quad (C)$. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục $Ox$. $y=-\dfrac{1}{12}x-\dfrac{1}{24}$ $y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}$ $y=\dfrac{1}{12}x+\dfrac{1}{24}$ $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}$