I. Khái niệm cung lồi, cung lõm và điểm uốn Cho đồ thị ACB của hàm số y = f(x) như hình dưới, giả sử đồ thị có tiếp tuyến tại mọi điểm. f''(x) < 0 với mọi x thuộc (a,c): hàm số lồi trên (a,c) f''(x) > 0 với mọi x thuộc (c,b): hàm số lõm trên (c,b) f''(x) đổi dấu khi x đi qua c: hàm số có điểm uốn tại x = c Cung lồi: Tại mọi điểm của cung AC, tiếp tuyến luôn nằm bên trên cung, khi đó ta nói cung AC là một cung lồi. Khoảng [a, c] ứng vưới cung lồi AC gọi là khoảng lồi của đồ thị (với a là hoành độ điểm A, c là hoành độ điểm C) Cung lõm: Trên cung CB, mọi tiếp tuyến đều nằm dưới đồ thị, khi đó CB được gọi là cung lõm và đoạn [c, b] là khoảng lõm của đồ thị. Điểm uốn: điểm chuyển tiếp giữa cung lồi và cung lõm (từ lồi chuyển sang lõm hoặc từ lõm chuyển sang lồi) gọi là điểm uốn của đồ thị. Điểm C là điểm uốn. II. Dấu hiệu và cách tìm khoảng lồi, khoảng lõm và điểm uốn Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a; b). - Nếu f''(x) < 0 với mọi \(x\in\left(a;b\right)\) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó - Nếu f''(x) > 0 với mọi \(x\in\left(a;b\right)\) thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó - Nếu f''(x) đổi dấu khi x đi qua \(x_0\) thì điểm \(M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\) là điểm uốn của đồ thị hàm số III. Ví dụ Ví dụ 1: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của các đồ thị hàm số a) \(y=x^5\) b) \(y=-\sin x\) trên đoạn \(\left[0;2\pi\right]\) Giải: a) Tập xác định \(\mathbb{R}\), ta có: \(y'=5x^4\); \(y''=20x^3\), bảng xét dấu \(y''\) Vậy đồ thị hàm số lồi trên \(\left(-\infty;0\right)\), lõm trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\) và điểm (0; 0) là điểm uốn của đồ thị (xem hình vẽ dưới) b) Ta có \(y'=-\cos x\) ; \(y''=\sin x\), bảng xét dấu \(y''\) trên \(\left(0;2\pi\right)\) Vậy hàm số \(y=-\sin x\) lõm trên \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) , lồi trên \(\left(\frac{\pi}{2};2\pi\right)\). Điểm \(\left(\frac{\pi}{2};0\right)\) là điểm uốn của đồ thị (xem đồ thị phía dưới) Ví dụ 2: Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị \(y=\frac{x+1}{x-1}\) Giải: Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}\) Ta có: \(y'=-\frac{2}{\left(x-1\right)^2}\) ; \(y'=\frac{4}{\left(x-1\right)^3}\) Bảng xét dấu của y'': Đồ thị hàm số lồi trên \(\left(-\infty;1\right)\) và lõm trên \(\left(1;+\infty\right)\) (xem đồ thị phía dưới)
Cho hàm số \(y=2x^2+16\cos x-\cos2x\). Hoành độ các điểm uốn của đồ thị hàm số này là : \(x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\) \(x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\) \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) \(x=\frac{3\pi}{2}+k2\pi\) Hướng dẫn giải:
Giá trị thích hợp của \(m\) để đồ thị hàm số : \(y=x^3+3mx^2+\left(m+2\right)x-m+2\) có điểm uốn nằm trên trục hoành là : \(1;\frac{-1-\sqrt{17}}{4};\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\) \(-1;\frac{1+\sqrt{17}}{4};\frac{1-\sqrt{17}}{4}\) \(1;-\frac{3}{4};\frac{5}{4}\) \(-1;\frac{3}{4};-\frac{5}{4}\) Hướng dẫn giải:
Cho hàm số \(y=ax^3+bx^2+x+1\). Để điểm \(I\left(1;-2\right)\) là điểm uốn của đồ thị hàm số, các giá trị của a và b lần lượt là : $(a; b) = (- 2; 6)$ $(a; b) = (2; - 6)$ $(a; b) = (- 2; - 6)$ $(a; b) = (2; 6)$ Hướng dẫn giải:
Đồ thị của hàm số \(y=\frac{\left(x+1\right)^3}{x^2-x+1}\) có 3 điểm uốn. Tọa độ của cá điểm uốn này là : \(\left(-1;0\right),\left(2;9\right),\left(\frac{1}{2};\frac{9}{2}\right)\) \(\left(1;2\right),\left(2;-9\right),\left(\frac{1}{2};-\frac{9}{2}\right)\) \(\left(0;1\right),\left(-2;-9\right),\left(-\frac{1}{2};-\frac{9}{2}\right)\) \(\left(-2;1\right),\left(1;-2\right),\left(-\frac{1}{2};\frac{9}{2}\right)\) Hướng dẫn giải:
Đồ thị của hàm số \(y=\frac{x^2+3x+2}{x^2+x+1}\) có 3 điểm uốn. Tọa độ 3 điểm uốn này là : \(\left(\frac{1}{2};\frac{1}{3}\right);\left(1;-2\right):\left(2;0\right)\) \(\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{3}\right);\left(-1;2\right):\left(-2;1\right)\) \(\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{3}\right);\left(1;2\right):\left(-2;0\right)\) \(\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{3}\right);\left(-1;-2\right):\left(2;1\right)\) Hướng dẫn giải:
Ba điểm uốn của đồ thị hàm số \(y=\frac{x-1}{x^2+1}\) đều nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng này có phương trình : \(x+4y-3=0\) \(x-4y-3=0\) \(x+4y+3=0\) \(x-4y+3=0\) Hướng dẫn giải:
Đồ thị của hàm số \(y=\frac{2x+1}{x^2+x+1}\) có 3 điểm uốn. Ba điểm uốn này đều nằm trên một đường thẳng có phương trình : \(2x-3y+1=0\) \(2x-3y-1=0\) \(2x+3y+1=0\) \(2x+3y-1=0\) Hướng dẫn giải:
Ba điểm uốn của đồ thị hàm số \(y=\frac{x-2}{x^2-x+1}\) đều nằm trên một đường thẳng có phương trình : \(x-3y+5=0\) \(x-3y-5=0\) \(x+3y+5=0\) \(x+3y-5=0\) Hướng dẫn giải:
Đồ thị của hàm số \(y=e^{-x^2+2x+3}\) có hai điểm uốn. Hoành độ của các điểm uốn này là : \(x=1+\frac{1}{\sqrt{2}}\) hay \(x=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(x=-1+\frac{1}{\sqrt{2}}\) hay \(x=-1-\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(x=-1+\sqrt{2}\) hay \(x=-1-\sqrt{2}\) \(x=1+\sqrt{2}\) hay \(x=1-\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải:
