Bài 1: a. Tìm các số nguyên $x$ để $x^{2}-2x -14$ là số chính phương b. Tìm số nguyên tố $p$ để $4p +1$ là số chính phương. Spoiler: Lời giải a) $x^{2}-2x+14=y^{2}\Leftrightarrow (y-x+1)(y+x-1)=13$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y-x+1=1\\ y+x-1=13 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} y-x+1=-1\\ y+x-1=-13 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} y-x+1=13\\ y+x-1=1 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} y-x+1=-13\\ y+x-1=-1 \end{matrix}\right.$ Bài 2: Chứng minh $A = n^{6} - n^{4} +2n^{3} +2n$ không là số chính phương với mọi $n>1$. Spoiler: Lời giải $A=n^2(n^4-2n^2+1+n^2+2n+1)=n^2[(n^2-1)^2+(n+1)^2]=n^2(n+1)^2[(n-1)^2+1]$ Với n>1 thì rõ ràng trong [] ko CP nên A ko CP (ĐPCM) Bài 3: a.Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số $2^{8}+2^{11}+2^{n}$ là một số chính phương . b. Tìm các số chính phương sao cho nó chia 39 được thương số nguyên tố và dư 1 c. Tìm $a ,b$ để $M = x^{4}-6x^{3}+ax^{2} +bx +1$ là một số chính phương với mọi giá trị nguyên của x. Spoiler: Lời giải a. Ta có : $2^{8}+2^{11}+2^{n}=k^{2}\Leftrightarrow 2304+2^{n}=k^{2}\Rightarrow 2^{n}=(k-48)(k+48)$ Đặt $k - 48 = 2^{p}, k+48=2^{q} (p<q,p+q=n)$ $\Rightarrow 96=2^{q}-2^{p}=2^{p}(2^{q-p}-1)=2^{5}.3\Rightarrow p=5,q=7\Rightarrow n=12$ Bài 4: a. Số chính phương $M$ gồm 4 chữ số . Nếu ta thêm vào mỗi số của $M$ một đơn vị thì được số $N$ là số chính phương. Tìm $M$ ,$N$ . b. CMR: Số $a = 11...1 +44....4 +1$ là bình phương của một số tự nhiên . ( trong đó có $2k$ chữ số 1 và $k$ chữ số 4 ) c. CMR: Với mọi $n \epsilon Z$ ; $n> 0$ thì : $A = n^{4} +2n^{3} +2n^{2} +2n +1$ không là số chính phương. d. Cho $N= 1.2.3 + 2.3.4 + ....k(k+1)(k+2)$ CMR : $4N +1$ là một số chính phương với mọi k nguyên dương. Spoiler: Lời giải a/ 2025, 3136 b) $a=11...1+44...4+1=10^{2k-1}+10^{2k-2}+...+1+4(10^{k-1}+10^{k-2}+...+1)+1=\frac{10^{2k}-1+4(10^{k}-1)+9}{9}=\left ( \frac{10^{k}+2}{3} \right )^{2}$ Mặt khác do $10\equiv 1(mod 3)\Rightarrow 10^{k}\equiv 1(mod3)\Rightarrow 10^{k}+2\equiv 0(mod3)$ c) $(n^{2}+n)^{2} < n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+2n+1 < (n^{2}+n+1)^{2}$ Vậy $A$ không phải là số chính phương d) Ta có $k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3)-\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k-1)$ Do đó: $N=\frac{1}{4}.1.2.3.4-\frac{1}{4}.1.2.3.0+\frac{1}{4}.2.3.4.5-\frac{1}{4}.1.2.3.4+...+\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3)-\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k-1)$ $=\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3)$ $\Rightarrow 4N+1=k(k+1)(k+2)(k+3)+1$ $=(k^{2}+3k)(k^{2}+3k+2)+1=(k^{2}+3k)^{2}+2.(k^{2}+3k)+1$ $=(k^{2}+3k+1)^{2} \text{ là một số chính phương}$ Bài 5: a. Tìm số tự nhiên $n$ để $n+24$ và $n-65$ là hai số chính phương . b. CMR : Số $22499.....9100....09$ là số chính phương ($n-2$ chữ số $9$ ở giữa ; $n$ chữ số $0$) Spoiler: Lời giải a. Ta có : $n+24 = p^{2}, n-65 = q^{2}$ $\Rightarrow p^{2}-q^{2}=89\Leftrightarrow (p-q)(p+q)=1.89\Rightarrow q=\pm 44,p=\pm 45\Rightarrow n=2001$ b. $22499...9100...09=224.10^{2n}+99...9.10^{n+2}+10^{n+1}+9$ $=224.10^{2n}+(10^{n-2}-1).10^{n+2}+10^{n+1}+9$ $=225.10^{2n}-90.10^{n}+9$ $=(15.10^{n}-3)^{2}\text{ là một số chính phương}$ Bài 6: a. Chứng minh rằng $A = x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}$ là tổng các bình phương của 3 số nguyên nếu $x +y+z =t$ và thuộc nguyên. b. Chứng minh rằng với $x ; y \epsilon Z$ thì $P = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y^{4}$ là một số chính phương. c. Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương. Spoiler: Lời giải a) $A=2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+2xy+2yz+2zx=(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}$ b) $P=(x+y)(x+4y)(x+2y)(x+3y)+y^{4}=(x^{2}+5xy+4y^{2})(x^{2}+5xy+6y^{2})+y^{4}=(x^{2}+4xy+5y^{2})^{2}$ c) $H=(n-1)n(n+1)(n+2)+1=\left ( n^{2}+n \right )\left ( n^{2}+n-2 \right )+1=\left ( n^{2}-n-1 \right )^{2}$ Bài 7: a. Cho $m, n$ là các số thỏa mãn $3m^{2}+m= 4n^{2}+n$. Chứng minh rằng $m-n$ và $4m+4n+1$ đều là số chính phương . b. Tìm các số tự nhiên $x$ để $\frac{x^{2}+8}{x+8}$ là số chính phương . c. Chứng minh rằng : Với mọi $x\epsilon Q$ thì giá trị của đa thức: $M = (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16$ là bình phương của một số hữu tỉ. Spoiler: Lời giải a) $3m^{2}+m=4n^{2}+n\Leftrightarrow (m-n)(4m+4n+1)=m^{2}$ $(1)$ Mặt khác, $(m-n;4m+4n+1)=1$. Thật vậy, giả sử $(m-n;4m+4n+1)=d$ Khi đó $\left\{\begin{matrix} m-n\vdots d\\ 4m+4n+1\vdots d \end{matrix}\right.$ Từ $(1)$ suy ra $m^{2}\vdots d^{2}\Leftrightarrow m\vdots d$ Do đó $n\vdots d$ $\Rightarrow 1\vdots d$ Vậy $(m-n;4m+4n+1)=1$ Ta có đpcm. b) $Q=\frac{x^{2}+8}{x+8}=x-8+\frac{72}{x+8}$ Để $Q$ là số chính phương thì $72\vdots (x+8)$... c) $M=(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16=(x^{2}+10x+16)(x^{2}+10x+24)+16$ $=\left ( x^{2}+10x+16 \right )+8(x^{2}+10x+16)+16=\left ( x^{2}+10x+18 \right )^{2}$ Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thỏa mãn $3p^3-3p+1$ là số chính phương Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x lớn hơn 1 biểu thức $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x$ không là số chính phương Spoiler: Lời giải Giả sử $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x$ là số chính phương $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=k^{2}\Rightarrow 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4k^{2}$ Ta có : $\left ( 2x^{2}+x \right )^{2}\leq 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4k^{2}<\left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}$ $\Rightarrow \begin{bmatrix} 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x \right )^{2}\Rightarrow x=0(L) & & \\ 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x+1 \right )^{2}\Rightarrow x=1(L) & & \end{bmatrix}$ Vậy $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x$ không là số chính phương Bài 10: Cho $T=2+2\sqrt{12n^{2}+1}$ với n tự nhiên. CMR nếu T tự nhiên thì T là số chính phương
Bài 11: Tìm số tự nhiên lẻ $n$ nhỏ nhất sao cho $n^2$ biểu diễn được thành tổng của một số lẻ các số chính phương liên tiếp. Spoiler: Lời giải Giả sử số lẻ $n^2$ biểu diễn được thành $2k+1$ số chính phương liên tiếp với $k>0$, nghĩa là: $n^2=(a-k)^2+(a-k+1)^2+...+(a+k)^2$. Hay $n^2=(2k+1)a^2+2(1^2+2^2+...+k^2)(1)$. Áp dụng hệ thức quen thuộc: $1^2+2^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ Nên từ $(1)$ suy ra: $3n^2=3(2k+1)a^2+k(k+1)(2k+1)(2)$. Chú ý rằng: Với $n$ lẻ thì: $n^2=(2t+1)^2=4t(t+1)+1=8s+1$ với $t,s$ nguyên. Vì $a^2$ cũng lẻ nên $a^2=8r+1$ với $r$ nguyên. Từ đó và từ $(2)$ suy ra: $3(8s+1)=3(2k+1)(8s+1)+k(k+1)(2k+1)$. Suy ra: $6k+k(k+1)(2k+1)=k[6+(k+1)(2k+1)]$ chia hết cho $8$.(3) a) Nếu $k$ chẵn thì $6+(k+1)(2k+1)$ lẻ nên $k$ phải chia hết cho $8$. b) Nếu $k$ lẻ, đặt $k=8p+r$ với $r=1,3,5,7$. Thay vào $(3)$ ta được: $6+(8k+r)(16k+2r+1)=8v+6+(r+1)(2r+1)$ chia hết cho $8$ (với $v$ nguyên). Thử với $r=1,3,5,7$ chỉ có: $r=5$ thỏa mãn. Vậy $k=8p+5$. +Xét $k=5$. Từ $(2)$ có $n^2=11a^2+110$ hay $n^2=11(a^2+10)(4)$. Suy ra: $a^2+10=a^2-1+11=(a-1)(a+1)+11$ chia hết cho $11$. Chú ý rằng, số lẻ $a>k=5$ nên thử với $a=21,23,...$ thấy $a=23,n=77$.thỏa mãn $(4)$. Còn với $k=8p+5\ge 13$ thì: $n^2\ge (2k+1)k^2+\frac{k(k+1)(2k+1)}{3}>77^2$. Xét $k=8$. Từ $(1)$ có $n^2=17a^2+17.24(5)$. Phương trình $(5)$ không có nghiệm nguyên. Thật vậy: +nếu $n\vdots 3$ thì $a$ phải chia hết cho $3$, khi đó $n^2\vdots 9$ nhưng vế phải của $(4)$ không chia hết cho $9$. +nếu $n=3m+r,(r=1,2)$ thì $n^2\equiv 1(mod 3)$ nhưng vế phải của $(5)$ chia $3$ dư 2. Còn với $k=8p\ge 16\implies n^2>77^2$. Vậy số tự nhiên $n$ nhỏ nhất thỏa mãn đề bài là $77$, lúc đó ta có: $77^2=18^2+19^2+...+27^2+28^2$. Tổng này có $11$ số chính phương liên tiếp. Bài 12: Cho $P=(n+1)^7-n^7-1(n\in \mathbb{N})$. Chứng minh rằng có vô hạn số tự nhiên $n$ để $P$ là một số chính phương. Spoiler: Lời giải Ta có: $P=(n+1)^7-n^7-1=7n(n+1)(n^2+n+1)^2$. Thành thử ta chỉ cần chỉ ra có vô hạn số tự nhiên $n$ để $7n(n+1)$ là số chính phương hay để $n(n+1)=7y^2(y\in\mathbb{N^*})$. Ta có:$n(n+1)=7y^2\iff (2n+1)^2-28y^2=1(1)$. Đặt $x=2n+1$ ta được: $x^2-28y^2=1(2)$. Ta đã biết phương trình $(2)$(gọi là phương trình Pell có vô số nghiệm nguyên dương). Ngược lại, nếu $(x;y)$ là nghiệm của $PT(2)$ thì $x$ lẻ, do đó $n=\frac{x-1}{2}$ thỏa mãn $(1)$. Do đó với mỗi nghiệm nguyên dương của $(2)$ thì ứng với một giá trị $n=\frac{x-1}{2}$ để $n(n+1)=7y^2\iff P$ là số chính phương. Vậy bài toán được giải xong. Bài 13: Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ số nguyên dương $(a,b,c)$ sao cho $ab+1,bc+1,ca+1$ đều là số chính phương. Spoiler: Lời giải Chọn $a=n-1;b=n+1;c=4n$ trong đó $n\ge 2$. Khi đó: $ab+1=n^2;bc+1=(2n+1)^2;ac+1=(2n-1)^2$ đều là số chính phương. Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 14: Tìm số nhỏ nhất trong tập hợp các số chính phương dạng $15a+16b$ và $16a-15b$ với $a,b$ là các số nguyên dương nào đó. Spoiler: Lời giải Giả sử $15a+16b=m^2$ và $16a-15b=n^2(1)$ với $m,n$ là các số nguyên dương. Khi đó: $m^4+n^4=(15a+16b)^2+(16a-15b)^2=(15^2+16^2)(a^2+b^2)=481(a^2+b^2)$. Hay $m^4+n^4=13.37(a^2+b^2)(2)$. Các số nguyên tố $13$ và $37$ đều có dạng $p=2^2k+1$ với $k$ lẻ. Giả sử $(m,n)=d\implies m=du,n=dv$ với $(u,v)=1$ thì $(2)$ trở thành $d^4(u^4+v^4)=481(a^2+b^2)(3)$. Vì $(u,v)=1$ nên $u^4+v^4$ không chứa ước số nguyên tố $13$ và $37$ do đó $481$ là ước của $d\implies d=481t$. Để cho $m,n$ nhỏ nhất, ta lấy $t=1$. Lúc đó $(3)$ trở thành $481^3(u^4+v^4)=a^2+b^2(4)$ Từ $(1)$ có $m^2-n^2=31b-a$ hay $481^2(u^2-v^2)=31b-a(5)$. Có thể chọn $u=v=1$ để $m,n$ nhỏ nhất, lúc đó $a=31b$ và $a^2+b^2=481^3.2$. Từ đó có $b=481$ và $a=31.481$ suy ra $m=n=481$.
