Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2(y-1)+y^2(x-1)=1 \ (1)$ Spoiler: Lời giải Đặt $x=u+1;y=v+1$, khi đó phương trình đã cho trở thành: $(u+1)^2.v+(v+1)^2.u=1$. $\iff u^2v+2uv+v+uv^2+2uv+u=1$. $\iff uv(u+v)+4uv+(u+v)=1$ $\iff uv(u+v+4)+(u+v+4)=5$ $\iff (uv+1)(u+v+4)=5$. Từ đây ta có các trường hợp sau: TH1: $(uv+1;u+v+4)=(1;5)\iff (uv;u+v)=(0;1)\implies (u;v)=(0;1)\text{ hoặc }(u;v)=(1;0)$. $\implies (x;y)=(1;2)\text{ hoặc }(x;y)=(2;1)$ TH2: $(uv+1;u+v+4)=(5;1)\iff (uv;u+v)=(4;-3)\implies \text{ Vô Nghiệm( theo Vi-et)}$. TH3: $(uv+1;u+v+4)=(-1;-5)\iff (uv;u+v)=(-2;-9)\implies \text{ Không có nghiệm nguyên nào thỏa mãn}$. TH4: $(uv+1;u+v+4)=(-5;-1)\iff (uv;u+v)=(-6;-5)\iff (u;v)=(1;-6)\text{ hoặc }(u;v)=(-6;1)$. $\implies (x;y)=(-5;2)\text{ hoặc }(x;y)=(2;-5)$. Vậy nghiệm nguyên $(x;y)$ của phương trình đã cho là: $(1;2);(2;1);(-5;2);(2;-5)$.
