Câu 1: Hỏi đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - {x^2} - 2x - 2\) và đồ thị của hàm số \(y = - {x^2} + x - 4\) có tất cả bao nhiêu điểm chung? A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Số điểm chung của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - {x^2} - 2x - 2\) và đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + x - 4\) chính là số nghiệm đôi một phân biệt của phương trình \({x^3} - {x^2} - 2x - 2 = - {x^2} + x - 4,\) hay chính là số nghiệm đôi một phân biệt của phương trình: \({x^3} - 3x + 2 = {(x - 1)^2}(x + 2) = 0\) Vậy có tất cả 2 điểm chung.
Câu 2: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D=(-4;4)\{-1;1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f(x) = + \infty \). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số f(x) có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x= -1 và x = 1. B. Đồ thị hàm số f(x) có đúng bốn tiệm cận đứng là các đường thẳng x=-4, x=-1, x=1 và x=4. C. Đồ thị hàm số f(x) có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x=-4 và x=4. D. Đồ thị hàm số f(x) có sáu tiệm cận đứng. Spoiler: Xem đáp án Theo định nghĩa tiệm cận đứng thì đồ thị hàm số f(x) có đúng bốn tiệm cận đúng là các đường thẳng x = -1, x = 1, x = -4 và x = 4.
Câu 3: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của đúng một hàm số trong các hàm số được liệt kệ ở bốn phương A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào? A. \(y = - {x^3} - 3{x^2} + 1.\) B. \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1.\) C. \(y = {x^3} - 3x - 1\) D. \(y = {x^3} + 3{x^2}\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị như hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc 3 có hệ số a > 0 nên loại phương án \(y = - {x^3} - 3{x^2} + 1.\) Ta thấy: Khi x = 0 thì y = -1 nên loại phương án \(y = {x^3} + 3{x^2}\) Khi x =-2 thì y = 3 nên loại phương án \(y = {x^3} - 3x - 1\)
Câu 4: Cho hàm số \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. a <0, b >0,c <0, d >0. B. a <0, b <0,c <0, d >0. C. a>0, b >0,c >0, d >0. D. a <0, b <0,c <0, d <0. Spoiler: Xem đáp án Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \) nên a < 0. Vì đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có hoành độ dương nên d >0. Vì hàm số có hai điểm cực trị âm nên a.c >0 mà a < 0 suy ra c < 0. Ta có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c.\) Ta thấy: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{2b}}{{3a}} < 0\) (\({x_1},{x_2}\) lần lượt là điểm cực tiểu, cực đại của hàm số) \( \Rightarrow b < 0\,\,(do\,a\, < 0)\) Vậy a <0, b <0, c <0, d >0.
Câu 5: Cho hàm số y=f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} - 2;2\} ,\) liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng y=2m-1 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. A. \(m \le - 1\) B. m>2 hoặc m<-1 C. \(m \ge 2\) D. \(m \ge 2\) hoặc \(m \le - 1\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y=2m-1 cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 1 > 3\\2m - 1 < - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 1\end{array} \right.\) Vậy tất cả các giá trị m cần tìm là m > 2 hoặc m < -1.
Câu 6: Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang và đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 4x + 1}}{{2|x| + 1}}.\) A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y =-2 và khộng có tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - \frac{1}{2}\) C. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng \(x = - \frac{1}{2};x = \frac{1}{2}.\) D. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = -2, y = 2 và không có tiệm cận đứng. Spoiler: Xem đáp án Vì hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên đồ thị của hàm số không có tiệm cận đứng. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 4x + 1}}{{2|x| + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 4x + 1}}{{2x + 1}} = - 2,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 4x + 1}}{{2|x| + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 4x + 1}}{{2x + 1}} = 2\) nên đồ thị của hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y=-2 và y=2.
Câu 7: Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + x - 2\) và đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - x + 2\) cắt nhau tại điểm duy nhất; kí hiệu \(({x_0};{y_0})\) là toạ độ của điểm đó. Tính \({y_0}.\) A. \({y_0} = 4\) B. \({y_0} = 2\) C. \({y_0} = 3\) D. \({y_0} = 6\) Spoiler: Xem đáp án Thấy ngay hoành độ giao điểm là \({x_0} = 2,\) khi đó \({y_0} = 4\)
Câu 8: Cho hàm số f(x) có đồ thị được minh hoạ như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số f(x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1 và một tiệm cận ngang là đường thẳng y=2. B. Đồ thị hàm số f(x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng x=2 và một tiệm cận ngang là đường thẳng y=-1. C. Đồ thị hàm số f(x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng y=2 và tiệm cận ngang là đường thẳng x=-1. D. Đồ thị hàm số f(x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng y=-1 và một tiệm cận ngang là đường thẳng x=2. Spoiler: Xem đáp án Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = - \infty \) nên đồ thị hàm số f(x) có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - 1\) nên đồ thị hàm số f(x) có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y = -1.
Câu 9: Đồ thị của hàm số \(f(x) = - {x^4} + 2{x^2} + 1\) được minh hoạ bởi hình nào dưới đây? A. Hình 3 B. Hình 2 C. Hình 4 D. Hình 1 Spoiler: Xem đáp án Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty \] nên loại phương án B và D. Vì f(0) = 1 nên loại phương án A. Vậy chọn C.
Câu 10: Tập hợp giá trị m để đồ thị hàm số\(y = \frac{{m{x^2} + 6x - 2}}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng là: A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{7}{2}} \right\}\) B. \(\mathbb{R}\) C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) D. \(\left\{ {\frac{7}{2}} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số có TCĐ khi và chỉ khi PT \(m{x^2} + 6x - 2 = 0\) không có nghiệm \(x = 2\) Khi đó \(m{\left( { - 2} \right)^2} + 6\left( { - 2} \right) - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{7}{2} \Leftrightarrow m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{7}{2}} \right\}.\)
