Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=a, \(\widehat {ACB} = {60^0}.\) Đường chéo BC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc \({30^0}\) . Tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp một hình lăng trụ. A. \(a\sqrt 2 \) (đvđd) B. \(a\sqrt 3 \) (đvđd) C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (đvđd) D. \(a\) (đvđd) Spoiler: Xem đáp án Bước 1: Xác định tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ. Gọi I và I’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ Ta có: I và I’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của 2 đáy ABC và A’B’C’ Lấy O là trung điểm của II’. \( \Rightarrow \) O là tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ. \( \Rightarrow \) OB là bán kính đường tròn ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ Bước 2: Tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ A là hình chiếu của B lên mp(AA’C’C) nên góc tạo bởi BC’ và mp(AA’C’C) là \(BC'A = {30^0}\) Tam giác ABC vuông tại A có: \(AC = a,ACB = {60^0} \Rightarrow AB = a\sqrt 3 \) Tam giác ABC’ vuông tại A có: \(BC' = \frac{{AB}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\sqrt 3 \) Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là: \(R = OB = \frac{{BC'}}{2} = a\sqrt 3 \) (đvđd)
Câu 2: Cho hình trụ có đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng 2. Trên đường tròn đáy tâm O lấy dây cung AB=2. Biết rằng thể tích khối tứ diện OO’AB là 8. Tính thể tích khối trụ. A. \(\frac{{32\sqrt 3 }}{3}\pi \) (đvtt) B. \(16\sqrt 3 \pi \) (đvtt) C. \(32\sqrt 3 \pi \) (đvtt ) D. \(\frac{{16\sqrt 3 }}{3}\pi \) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án Tam giác OAB có \(OA = OB = AB = 2 \Rightarrow {S_{OAB}} = \sqrt 3 \) Tứ diện OO’AB có \({\rm{OO}}' \bot (OAB)\) \( \Rightarrow {\rm{OO}}' = \frac{{3{V_{{\rm{OO}}'AB}}}}{{{S_{OAB}}}} = 8\sqrt 3 \) Thể tích hình trụ là: \(V = \pi .O{A^2}{\rm{.OO}}' = 32\sqrt 3 \pi \) (đvtt)
Câu 3: Một khối trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật có chiều dài 4cm, chiều rộng 3cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó. A. \({S_{xq}} = 12\pi (c{m^2})\) B. \({S_{xq}} = 6\pi (c{m^2})\) C. \({S_{xq}} = 24\pi (c{m^2})\) D. \({S_{xq}} = 9\pi (c{m^2})\) Spoiler: Xem đáp án Độ dài các cạnh của hình chữ nhật thiết diện là độ dài của đường cao và đường kính của khối trụ. Vây, diện tích xung quanh của khối trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi .r.h = \pi .d.h = \pi .3.4 = 12\pi (c{m^2})\)
Câu 4: Một các nón lá có bán kính đáy là 20cm và đường sinh là 30cm. Tính diện tích xung quanh của cái nón. A. \(300\pi (c{m^2})\) B. \(1200\pi (c{m^2})\) C. \(60\pi (c{m^2})\) D. \(600\pi (c{m^2})\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích xung quanh của cái nón là: \(\pi rl = \pi .20.30 = 600\pi (c{m^2})\)
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD có \(AD = a,AB = a\sqrt 3 ,\) cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) \(\widehat {SBA} = {30^0}\). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A. \(\frac{{5\sqrt 5 \pi {a^3}}}{6}\)(đvtt) B. \(\frac{{5\sqrt 5 \pi {a^3}}}{3}\)(đvtt) C. \(\frac{{5\pi {a^3}}}{6}\) (đvtt) D. \(\frac{{5\pi {a^3}}}{3}\) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là trung điểm của SC. Suy ra IC=IS (1) Gọi \(H = AC \cap BD \Rightarrow H\) là tâm của hình chữ nhật ABCD. Xét tam giác SAC, có HI là đường trung bình \( \Rightarrow HI//SA \Rightarrow HI \bot (ABCD)\) \( \Rightarrow \) Đường thẳng HI là tập hợp các điểm cách đều A, B, C,D (2) Từ (1) và (2) suy ra IA=IB=IC=ID=IS Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I và bán kính r = IC Xét tam giác ABC vuông tại B, có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} = 2a.\) Xét tam giác SAB vuông tại A, có \(SA = AB.\tan {30^0} = a\) Xét tam giác SAC vuông tại A, có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2}} = a\sqrt 5 \) \(r = IC = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\) Thể tích mặt cầu bán kính r là: \(V = \frac{4}{3}\pi .{r^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^3} = \frac{{5\pi {a^3}\sqrt 5 }}{6}\) (đvtt)
Câu 6: Cho một tam giác đều ABC cạnh 6cm ngoại tiếp hình tròn tâm O. Cho hình vẽ đó quay quanh đường cao AM ta được một khối nón ngoại tiếp khối cầu. Tính thể tích phần khối nón bên ngoài khối cầu. A. \(4\sqrt 3 \,(c{m^3})\) B. \(4\sqrt 3 \pi \,(c{m^3})\) C. \(5\sqrt 3 \,(c{m^3})\) D. \(5\sqrt 3 \pi \,(c{m^3})\) Spoiler: Xem đáp án Tam giác đều ABC có AM là đường cao \( \Rightarrow \) AM đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow \) M là trung điểm của BC \( \Rightarrow BM = MC = \frac{{BC}}{2} = 3(cm)\) Xét tam giác AMC vuông tại M có: \(AM = AC.sinC = 6.sin{60^0} = 3\sqrt 3 \,(cm)\) Vì O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều nên nó vừa là trực tâm vừa là trọng tâm. \( \Rightarrow OM = \frac{1}{3}.AM = \frac{1}{3}.3\sqrt 3 = \sqrt 3 (cm)\) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là \(R = OM = \sqrt 3 \,(cm)\) Mà bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC cũng là bán kính khối cầu nên ta có thể khối cầu là: \({V_C} = \frac{4}{3}.\pi .{R^3} = \frac{4}{3}.\pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^3} = 4\sqrt 3 \pi (c{m^3})\) Thể tích khối nón là: \({V_N} = \frac{1}{3}.\pi .{r^2}.h = \frac{1}{3}.\pi .B{M^2}.AM = \frac{1}{3}.\pi {.3^2}.3\sqrt 3 = 9\sqrt 3 .\pi (c{m^3})\) Thể tích phần khối nón bên ngoài khối cầu là: \(9\sqrt 3 .\pi - 4\sqrt 3 .\pi = 5\sqrt 3 .\pi \,\,(c{m^3})\)
Câu 7: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có thể tích là \(125c{m^3}.\) Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’. Tính S. A. \(25\pi \sqrt 2 (c{m^2})\) B. \(50\pi \sqrt 2 (c{m^2})\) C. \(25\pi (c{m^2})\) D. \(\frac{{25\pi \sqrt 2 }}{2}(c{m^2})\) Spoiler: Xem đáp án Gọi cạnh của hình lập phương là a. \( \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {a^3} \Rightarrow a = 5\) (cm) Xét tam giác vuông ABC có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5\sqrt 2 \,(cm).\) Hình trụ có một đáy là đường tròn tâm O ngoại tiếp hình vuông ABCD và đường cao AA’. Đường tròn tâm O ngoại tiếp hình vuông ABCD có bán kính là: \(OA = \frac{1}{2}.AC = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}(cm)\) Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \(S = 2\pi .R.h = 2\pi .\frac{{5\sqrt 2 }}{2}.5 = 25\pi \sqrt 2 (c{m^2})\)
Câu 8: Một khối nón có bán kính đáy là 9cm và góc giữa đường sinh với mặt đáy là \({30^0}\). Tính diện tích thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau. A. \(\frac{{27}}{2}(c{m^2})\) B. \(27(c{m^2})\) C. \(54(c{m^2})\) D. \(162(c{m^2})\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử khối nón có đỉnh S, tâm đáy là O và một đường kính của hình tròn đáy là AB. Khi đó ta có: \(OA = 9cm,\,SAO = {30^0} \Rightarrow SA = \frac{{OA}}{{{\rm{cosSAO}}}} = 6\sqrt 3 (cm)\) Thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau là một tam giác vuông cân nên ta có diện tích thiết diện là: \(S = \frac{1}{2}.{\ell ^2} = 54(c{m^2})\)
Câu 9: Một chiếc ly hình nón chứa đầy rượu. Người ta uống đi một phần rượu sao cho chiều cao phần rượu còn lại bằng một nửa chiều cao ban đầu. Số phần rượu được uống là: A. \(\frac{7}{8}\) B. \(\frac{1}{2}\) C. \(\frac{3}{4}\) D. \(\frac{2}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi h là chiều cao ban đầu; r và r’ là bán kính đường tròn mặt đáy rượu lức đầu và lức sau Ta có \(\frac{{r'}}{r} = \frac{{\frac{h}{2}}}{h} \Leftrightarrow r' = \frac{r}{2}\). Tỉ lệ thể tích rượu lúc sau và lúc đầu là: \(\frac{{\frac{1}{3}\pi r_1^2\frac{h}{2}}}{{\frac{1}{3}\pi {r^2}h}} = \frac{{\frac{{{r^2}}}{4}.\frac{1}{2}}}{{{r^2}}} = \frac{1}{8}.\) Số phần rượu đã được uống là \(1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}.\)
Câu 10: Cho hình nón tròn xoay \(\left( N \right)\) có đỉnh S và đáy là hình tròn tâm O bán kính r, đường cao \(SO = h\). Hãy tính chiều cao x của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón đã cho. A. \(x = \frac{1}{2}h\) B. \(x = \frac{1}{3}h\) C. \(x = \frac{2}{3}h\) D. \(x = \frac{3}{4}h\) Spoiler: Xem đáp án Theo định lý Talet ta có \(\frac{{SO'}}{{SO' + x}} = \frac{{h - x}}{h} = \frac{{r'}}{r}\left( {0 < x < h} \right)\) Thể tích hình trụ là \(V = \pi r{'^2}x = \pi \frac{{{{\left[ {\left( {h - x} \right)r} \right]}^2}}}{{{h^2}}}.x\) Vì thể tích khối nón không đổi nên để phần thể tích phần không gian nằm phía trong (N) nhưng phía ngoài của (T) đạt giá trị nhỏ nhất thì thể tích hình trụ là lớn nhất. Xét \(M\left( x \right) = x{\left( {h - x} \right)^2}\) Ta có \(M\left( x \right) = 4.\frac{{h - x}}{2}.\frac{{h - x}}{2}x \le 4{\left( {\frac{{\frac{{h - x}}{2} + \frac{{h - x}}{2} + x}}{3}} \right)^3} = \frac{{4{h^3}}}{{27}}\) Dấu bằng xảy ra khi: \(\frac{{h - x}}{2} = x \Leftrightarrow x = \frac{h}{3}.\)
